福建省宁德市部分学校2024-2025学年高三下学期2月开学考试数学试题（Word版附解析）

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1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中 的系数为（ ）
A. B. C.6 D.
3.在平行四边形 中， 为线段 的中点，且 ，则（ ）
A. 为线段 的中点 B. 为线段 的中点
C. 为线段 的中点 D. 为线段 的中点
4.若 ，则（ ）
A. 为实数 B.
C. 为纯虚数 D.
5.已知 为常数，且非常数函数 是定义在 上的奇函数，则 （ ）
A. B. C. D.4
6.若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.抛物线 的顶点到抛物线 的准线的距离为（ ）
A.3 B. C.5 D.
8.下面四个绳结中，可以无损伤地变为下图中的绳结的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.已知曲线 与圆 ，则（ ）
A.曲线 为半个圆
B.当 时，曲线 与圆 有两个公共点
C.当曲线 与圆 相切时，
D.当 时，曲线 在圆 的内部
10.在棱长为 2 的正方体 中， 分别为棱 上一点，且
，则（ ）
A. 平面
B.正方体 的外接球的表面积为
C.四面体 的体积的最大值为
D.当 与平面 所成角的正切值为 2 时，
11.若函数 满足 对任意 恒成立，且 ，则（ ）
A.
B.
C. 可能为对数函数
D.存在 ，使得 为常数函数
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.若数据 的极差为 3，方差为 4，则数据 的极差为__________，方差为
__________.
13.已知角 的终边经过点 ，则 __________.
14.在正方形 中， ，则以点 为焦点且经过点 的椭圆的离心率为
__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13 分）
已知福建某地生产的罐装岩茶的净含量的均值为 250 克，且每罐岩茶的净含量 （单位：克）服从正态分
布 .
（1）求 ；
（2）若甲从该地生产的罐装岩茶中随机购买 7 罐，求恰有 3 罐的净含量不大于 250 克的概率；
（3）若乙从该地生产的罐装岩茶中随机购买 100 罐，设这 100 罐岩茶中净含量在 内的罐数为
，求 的数学期望.
16.（15 分）
已知数列 中， .
（1）若 依次成等差数列，求 ；
（2）若 ，证明数列 为等比数列；
（3）若 ，求 的前 项和 .
17.（15 分）
已知双曲线 的渐近线方程为 ，左、右焦点分别为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 与 交于 两个不同的点，求 ；
（3）已知点 ，且直线 与 只有一个公共点 ，求点 的横坐标.
18.（17 分）
如图，在三棱锥 中， 平面 ，且 .
（1）求 .
（2）若 的面积为 ，且 ，证明： 平面 .
（3）过点 作底面 的垂线，垂足 在 的内部，且 分别为 ， 的中点，
平面 与平面 所成的角为 ，求 .
19.（17 分）
已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 ，求 的值；
（3）若函数 恰有 8 个零点，求 的取值范围.
参考数据： .
高三数学 2 月联考试卷参考答案
1.C 因为 ，所以 .
2.B 的展开式中 的系数为 .
3.C 因为 为线段 的中点，且 ，所以 ，所以 为线段 的中
点.
4.A 因为 ，所以 ，所以 为实数， .
5.A 依题意可得 ，得 ，由 ，得 或 5，当 时，
为常数函数，不符合题意，则 ，易证此函数为奇函数，所以 .
6.D 因为 的值域为 ，所以 ，得 .
7.D 因为 ，所以抛物线 的顶点为 ，由 ，得 ，
所以抛物线 的准线方程为 ，故抛物线 的顶点到抛物线 的准线的距离
为 .
8.A 题图中的绳结是两个相扣的圆环，而（1）与（3）中的绳结由一根绳子扭成，（4）中的绳结由两个
没有相扣的圆环构成，都不可能扭成题图中的绳结.（2）中的绳结可以无损伤地变为题图中的绳结.故这四
个绳结中，可以无损伤地变为题图中的绳结的个数是 1.
9.ACD 由 ，得 ，所以曲线 表示圆 的上半部分，A 正
确.易知圆 的圆心为坐标原点 ，半径为 1，圆 的圆心为
，半径为 .当 时，曲线 与圆 只有 1 个公共点，B 错误.因为曲线 与圆 相切，所以
，则 ，得 ，C 正确.因为在曲线 的所有点中，离圆心 最远的是点
，所以当 时，曲线 在圆 的内部，D 正确.
10.AC 因为 ，所以 ，连接 ，可得 .又 平面
平面 ，所以 平面 ，A 正确.因为正方体外接球的直径
，所以外接球的表面积为 ，B 错误.设 ，则
，四面体 的体积
，当且仅当 ，
即 时，等号成立，C 正确.因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的
角，则 ，所以 ，所以
，D 错误.
11.BCD 令 ，得 ，则 ，A 错误.令 ，得
，则 ，B 正确.取 ，得
，C 正确.令 ，得
，即 ，即 ，故存在 ，使
得 为常数函数，D 正确.
12.6；16 因为 的极差为 3，方差为 4，所以数据 的极差为 ，方差为
.
13. 因为 ，所以 ，则 ，解得
，又 ，所以 .
14. 如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 .设 ，则
，所以 ，则所
求椭圆的离心率为 .
15.解：（1）因为 服从正态分布 ，且 ，
所以 ，
.
（2）因为 ，所以恰有 3 罐的净含量不大于 250 克的概率为 （或
0.2734375）.
（3）依题意可得 ，
所以 .
16.（1）解： .
因为 依次成等差数列，所以 ，
即 ，解得 .
（2）证明：因为 ，
且 ，所以 是首项为 1，公比为 2 的等比数列.
（3）解：由（2）可得 ，则 .
.
17.解：（1）依题意设 的方程为 ，
则 ，
解得 ，所以 的方程为 .
（2）设 ，联立
得 ，
则 ，
.
（3）直线 的方程为 ，即 ，
代入 的方程得 ，即 .
当 时， ，方程有两个解，不符合题意.
当 ，即 时，方程 即 ，方程只有一个
解 ，符合题意.
故点 的横坐标为 .
18.（1）解：因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，所以
.
（2）证明：因为 ，所以 ，因为
，所以 ，
由余弦定理得 ，所以 .
注意到 ，因此 .
因为 ，所以 平面 .
（3）解：连接 ，依题意可得 平面 ，则 与 均垂直.因为
，所以 .
设 ，由余弦定理计算得 ，
则 ，
由余弦定理得 ，由（2）知， ，则 两两垂直.
以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
.
设平面 的法向量为 ，则
令 ，得 .
易知平面 的一个法向量为 ，
则 .
19.解：（1） ，
，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）因为 ，所以 .
令 ，则 恒成立.
由 ，可得 .
，得 .
当 时， ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以
，即 恒成立.
故 的值为 .
（3） .
当 或 时， ；当 或 时， .
可知 在 和 上是增函数，在 和 上是减函数，
所以 的极小值为 ，
极大值为 和 ，且 ，即
.
当 时， ，当 时， ，当 时， .
令 ，得 ，
解得 .
令 ，得 或 或 ，
即 或 或 .
因为 ，
且 恰有 8 个零点，
所以
解得 ，即 的取值范围为 .