河南省驻马店市新蔡县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省驻马店市新蔡县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则实数m的值为（ ）
A．B．1C．D．2
3．的平方根是（ ）
A．±4B．±2C．-2D．2
4．关于x的一元二次方程 根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
5．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )
A．2B．3C．4D．5
7．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°
9．如图，平行四边形ABCD中，对角线为AC，且AC⊥CD，以点B为圆心，以适当长度为半径作弧，交AB、BC于点M、N两点，再分别以M、N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP分别交AC、AD于QE，若AB＝1，BC＝，则AQ的长度为（ ）
A．2B．C．D．
10．如图，在等边三角形中，，点D是边上一点，且，点P是边上一动点（D、P两点均不与端点重合），作，交边于点E．若，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为（ ）
A．2B．C．3D．4
二、填空题（本大题共5小题，共15分）
11．若，则 ．
12．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ．
13．在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，则方程的解为 ．
14．等腰三角形一边长是3，另两边长是关于x的方程的两个根，则k的值为 ．
15．如图，在中，分别为上的点，沿直线将折叠，使点B恰好落在上的D处，当恰好为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（1）计算：
（2）解方程：
17．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣3x+2＝0有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根．
18．如图，已知直线分别截直线于点，截直线于点，且．
(1)如果，求的长；
(2)如果，求的长．
19．如图，折叠矩形的一边，使点落在边上的点处，已知折痕，且．
(1)求证：；
(2)求矩形的周长．
20．如图，已知，为了求边的长，小亮想出了一个好办法：将边反向延长至点，使，连接，从而小亮发现图中存在一对相似三角形，问题便迎刃而解了！
(1)请你找出这对相似三角形，并进行证明；
(2)求边的长．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“十一”国庆节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
(1)设每件童装降价x元时，每天可销售_______________件，每件盈利____________元；（用x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天赢利1200元．
(3)要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由．
22．如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA以3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)当时，求x的值．
(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．
23．（）问题发现
如图（），在和中，，，，连接交于点．填空：
的值为______；的度数为______．
（）类比探究
如图（），在和中，，，连接，交的延长线于点．请求出的值及的度数，并说明理由．

参考答案与解析
1．C
2．C
3．B
4．B
5．D
6．B
7．D
8．C
9．C
10．D
11．##0.6
13．，
14．3或4．
15．或
16．（1）（2），
（1）解：
；
（2）解：，
原方程可化为：，
整理得：，
分解因式得：
∴，
解得：，．
17．（1）且m≠1；（2）x1＝1，x2＝2．
解：（1）∵△=b2﹣4ac=（﹣3）2﹣4（m﹣1）×2=﹣8m+17，
依题意，得 ，
解得且m≠1；
（2）∵m为正整数，结合（1），
∴m=2，
∴原方程为x2﹣3x+2=0，
即，
解得x1=1，x2=2．
18．(1)
(2)
（1）解：∵，
，
，
，
；
（2）解：∵，
，
∵，
，
解得：，
．
19．(1)见解析
(2)
（1）证明：由题意易得，
．
（2）解：
设，
．
，
，
即，
．
在中，由勾股定理，得，
（负值已舍去），
矩形的周长为．
20．(1)，证明见解析
(2)
（1）解：．
证明：，
，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得．
∵，
∴．
21．(1)；
(2)每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元
(3)不可能平均每天赢利2000元，理由见解析
（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元，
故答案为：，；
（2）依题可得：，
∴，
∴，
∴，，
扩大销售量，增加利润，
，
答：每件童装降价20元时，平均每天赢利1200元；
（3）根据题意得：，
∴，
∴△= =-4×1×600=-15000，
∴原方程无解.
答：不可能平均每天赢利2000元．
22．(1)
(2)能，AP＝cm或20cm
（1）解：当时，AP：AB＝AQ：AC，
∵AP＝4x，AQ＝30－3x，
∴，
解得：x＝；
（2）解：∵BA＝BC
∴，
①当△APQ∽△CQB时，有，
即：，
解得：，
∴（cm），
②当△APQ∽△CBQ时，有，
即：，
解得：x＝5或x＝－10（舍去），
∴PA＝4x＝20（cm），
综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．
23．（） ；；（），，理由见解析．
（），
，
又∵，，
，
，，
，
故答案为；
设交于点，

，，
，
故答案为：；
（），．
理由如下：，
，
即，
，
，
，，
设交于点，

，，
，
．
x
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
0.09
0.34
0.61