数学七年级下册（2024）第十章 二元一次方程组10.4 三元一次方程组的解法教案设计

这是一份数学七年级下册（2024）第十章 二元一次方程组10.4 三元一次方程组的解法教案设计，共3页。教案主要包含了导入新课，合作探究，当堂检测，课堂小结【板书设计】等内容，欢迎下载使用。

1．通过提炼实际问题中的数量关系，结合二元一次方程组的概念，锻炼抽象能力，培养类比推理能力.
2．能解简单的三元一次方程组，通过探索三元一次方程组的解法，进一步感受“消元法”化繁为简的化归思想，培养举一反三的迁移意识．
重点：会解简单的三元一次方程组．
难点：根据方程组的特点，选择最合适的解法．
一、导入新课
知识链接
什么叫二元一次方程组？解二元一次方程组的方法有哪些？
（方程组中有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．解二元一次方程组的方法有代入法和加减法）
创设情境
二、合作探究
探究点一：三元一次方程（组）的概念
问题1：题中有哪些未知量？你能找出哪些等量关系？可以列出几个方程？
三个人年龄未知，设小明年龄是x岁，小天年龄是y岁，小红年龄是z岁，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝26，,x＝z＋1，,2x＋y＝z＋18.))
问题2：你能类比二元一次方程（组）给上面的方程（组）取名字吗？
在这个方程组中，x＋y＋z＝26，2x＋y＝z＋18这两个方程都含有三个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程．
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程叫作三元一次方程组．
追问：你能根据二元一次方程组的解说出什么是三元一次方程组的解吗？
（三元一次方程组中各个方程的公共解叫作这个三元一次方程组的解）
练一练：下列方程组不是三元一次方程组的是D
A． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,x－y＝2，,x＋z＝10)) B． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－3y＋2z＝1，,2x－y－4z＝0，,3x－2y＋z＝3))
C． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,x＋z＝2，,y＋z＝15)) D． eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－z＝1，,x－3y＋4z＝7，,xyz＝12))
探究点二：三元一次方程组的解
解方程组： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝26①，,x＝z＋1②，,2x＋y＝z＋18③.))
问题1：你能把上面的方程组化成只含有两个未知数的方程组吗？
（参考解二元一次方程组的方法，利用代入消元或加减消元消去一个未知数）
问题2：如何求方程组中第三个未知数的值？
（消元成二元一次方程组后，解二元一次方程组，再把得到的解代入原方程组中求第三个未知数）
解：把②代入①，得z＋1＋y＋z＝26④.
把②代入③，得2（z＋1）＋y＝z＋18⑤.
④和⑤组成二元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＋1＋y＋z＝26，,2（z＋1）＋y＝z＋18，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝7，,z＝9.))
把y＝7，z＝9代入①，得x＝10.
因此原方程组解为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝10，,y＝7，,z＝9.))
问题3：类比二元一次方程组的解法总结解三元一次方程组的方法．
教材P109例2，课件出示，学生独立思考，老师总结．
若|a－b－1|＋（b－2a＋c）2＋|2c－b|＝0，求a，b，c的值．
解：因为三个非负式的和等于0，
所以每个非负式都为0.可得方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b－1＝0，,b－2a＋c＝0，,2c－b＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝－4，,c＝－2.))
幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素．现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A，B，C三种食物，下表给出的是每份（50 g）食物A，B，C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）：
解：设食谱中A，B，C三种食物各x，y，z份，由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5x＋5y＋10z＝35，,20x＋10y＋10z＝70，,5x＋15y＋5z＝35，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，,z＝2.))
答：该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份．
三、当堂检测
1．下列方程：① eq \f(x,2) ＋ eq \f(y,3) ＋ eq \f(z,4) ＝5；② eq \f(1,x) ＋ eq \f(2,y) ＋ eq \f(3,z) ＝6；③2x＋3a＋b＝7；④x＋3y－4z＝1.其中能与方程x＋y＋z＝3和2x－y＝3组成三元一次方程组的是①④（填序号）.
2．解方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＝x＋y①，,3x－2y－2z＝－5②，,2x＋y－z＝3③，)) 根据方程组的特点，可采取先将①分别代入③②式得x＝3，x－4y＝－5，从而求出y＝2，z＝5．
3．若a，b，c为三角形的三边长，此三角形周长为18，且a＋b＝2c，b＝2a，则a＝4，b＝8，c＝6．
（其他课堂拓展题，见配套PPT）
四、课堂小结【板书设计】
三元一次方程组 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(三元一次方程组的概念,三元一次方程组的解法,三元一次方程组的应用))
本节课主要内容是类比二元一次方程组的概念和解法去学习三元一次方程组的概念和解法．通过对二元一次方程组的类比学习，让学生感受把新知转化为已知，把不会的问题转化为学过的问题，把难度大的问题转化为难度较小的问题这一化归思想．感受数学知识之间的密切联系，增强学生的数学应用意识，初步培养学生建立数学模型解决问题的良好思维习惯．
食物
铁
钙
维生素
A
5
20
5
B
5
10
15
C
10
10
5