小学数学人教版（2024）五年级下册3 长方体和正方体探索图形测试题

这是一份小学数学人教版（2024）五年级下册3 长方体和正方体探索图形测试题，共19页。
A．4B．6C．8D．12
2．一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6B．8C．10D．4
3．丽丽拿了一个表面红色的棱长5厘米的正方体木块，把它切分成棱长1厘米的正方体小木块，其中有（ ）个小方块只有一面涂色。
A．27B．36C．54
4．用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，把大正方体的表面分别涂上红色。只有一面涂色的小正方体有（ ）
A．1个B．6个C．8个D．12个
5．将一个正方体木块的6个面涂上红色，然后锯成64个大小相等的小正方体，一个面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．24D．36
二．填空题（共5小题）
6．一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 个，2面涂色的小正方体有 个，3面涂色的小正方体有 个。
7．一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，共可切分成 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面3面涂色的有 块，表面2面涂色的有 块，表面1面涂色的有 块．
8．玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是 立方厘米，1面涂色的小正方体有 个。
9．把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 个，三面涂色的有 个。
10．把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有 个，两面涂色的小正方体有 个。
三．判断题（共5小题）
11．用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。
12．如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。
13．一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。
14．把27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，给大正方体表面涂上红色，其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个。
15．一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个．
四．计算题（共1小题）
16．将一个棱长为10厘米的正方体的6个面染成红色，然后全部切成棱长为1厘米的小正方体，六个面均无色的小正方体有多少个？
五．操作题（共1小题）
17．一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
六．应用题（共6小题）
18．一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
19．有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 行，从左到右的第 列。
20．一个正方体，先在它的每个面上都涂色，再把它切成若干个棱长是1cm的小正方体。已知两面涂色的小正方体有84个。
（1）这个正方体的体积是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方体有多少个？
21．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
22．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
23．一根2米长绳子从起点开始．每隔4cm标记一个红点，每隔5cm标记一个黄点，最后用剪刀在每个标记点处剪一刀，问一个可以将绳子剪成多少段？
探索图形A卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．将一个棱长5厘米的正方体的每个面都涂上绿色，再把它切成若干棱长是1厘米的小正方体。3面涂绿色的小正方体有（ ）个。
A．4B．6C．8D．12
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】C
【分析】3面涂色的小正方体的个数等于原正方体的顶点的个数，正方体有8个顶点；据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，所以3面涂绿色的小正方体有8个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上（顶点处的小正方体除外），一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
2．一个表面涂色的正方体，把它切成棱长是1厘米的小正方体，其中一面涂色的小正方体有96个，大正方体的棱长是（ ）厘米。
A．6B．8C．10D．4
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】A
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱上，除去顶点处的正方体有两面涂色，在6个面上，除去棱上的正方体都是一面涂色；据此解答。
【解答】解：96÷6＝16（个）
16＝4×4
4+2＝6（个 ）
1×6＝6（厘米）
答：大正方体的棱长是6厘米。
故选：A。
【点评】本题考查了数形结合的问题，关键明确正方体染色的特点。
3．丽丽拿了一个表面红色的棱长5厘米的正方体木块，把它切分成棱长1厘米的正方体小木块，其中有（ ）个小方块只有一面涂色。
A．27B．36C．54
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】把一块棱长5厘米的正方体木块的外表涂上红色，然后沿棱切成棱长1厘米的小方块，所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；根据立体图形的知识可知：在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：5÷1＝5（个），所以大正方体每条棱长上面都有5个小正方体；
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（个）
答：其中有54个小方块只有一面涂色。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
4．用棱长1cm的小正方体拼成一个棱长3cm的大正方体，把大正方体的表面分别涂上红色。只有一面涂色的小正方体有（ ）
A．1个B．6个C．8个D．12个
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】B
【分析】大正方体每条棱长上都有3个小正方体，每个面中间的一个小正方体的一面被涂色。
【解答】解：大正方体每条棱长上都有3个小正方体，所以一面涂色的小正方体共有：
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
答：只有一面涂色的小正方体有6个。
故选：B。
【点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
5．将一个正方体木块的6个面涂上红色，然后锯成64个大小相等的小正方体，一个面涂色的小正方体有（ ）个。
A．8B．12C．24D．36
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】C
【分析】因为4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：4×4×4＝64，所以大正方体每条棱长上面都有4个小正方体；
（4﹣2）×（4﹣2）×6
＝2×2×6
＝24（个）
答：一个面涂上红色的小正方体有24个。
故选：C。
【点评】此题考查了立方体的染色知识；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
二．填空题（共5小题）
6．一个表面涂色的正方体，把它的每条棱平均分成3份，再切成同样大小的小正方体，1面涂色的小正方体有 6 个，2面涂色的小正方体有 12 个，3面涂色的小正方体有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；应用意识．
【答案】6；12；8。
【分析】
把大正方体的每条棱平均分成3份，则每条棱上有3个小正方体；根据只有一面涂色的小正方体在每个大正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在大正方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部，据此即可解答问题。
【解答】解：1面涂色：（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
2面涂色：（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
3面涂色：8个。
答：1面涂色的小正方体有6个，2面涂色的小正方体有12个，3面涂色的小正方体有8个。
故答案为：6；12；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除去顶点处的），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
7．一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，共可切分成 125 个相同的小正方体，这些小正方体中，表面3面涂色的有 8 块，表面2面涂色的有 36 块，表面1面涂色的有 54 块．
【考点】染色问题．
【专题】综合填空题；代数方法；立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】一个棱长为5厘米、表面涂色的正方体，将它每条棱切分成5等份，即每条棱有5个小正方体，所以共可切分成 5×5×5＝125个相同的小正方体，根据正方体表面涂色知识可知，顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可．
【解答】解：5×5×5＝125（个），
三面涂色的在顶点处，共8块；
两面涂色：（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（块）；
一面涂色：（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝54（块）；
答：表面3面涂色的有8块，表面2面涂色的有36块，表面1面涂色的有54块．
故答案为：125，8，36，54．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
8．玩具厂的工人用棱长为1厘米的小正方体组成了一个魔方，他们把这个魔方的6个面都涂色，其中2面涂色的小正方体有12个，这个魔方的体积是 27 立方厘米，1面涂色的小正方体有 6 个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】27；6。
【分析】根据只有一面涂色的小正方体在每个正方体的面的中间，只有2面涂色的小正方体在长方体的棱上（不包括8个顶点处的小正方体），3面涂色的小正方体都在顶点处，没有涂色的在内部。每条棱上小正方体有：12÷12+2＝3（个）；即棱长是3厘米，然后根据“正方体的体积＝棱长3”进行解答即可。
【解答】解：每条棱上小正方体有：
12÷12+2
＝1+2
＝3（个）
1×3＝3（厘米）
3×3×3＝27（立方厘米）
（3﹣2）×（3﹣2）×6
＝1×1×6
＝6（个）
答：这个魔方的体积是27立方厘米，1面涂色的小正方体有6个。
故答案为：27；6。
【点评】弄清处在什么位置的小正方体几个面涂色是解答本题的关键。
9．把一个棱长为5厘米且表面涂色的正方体，分割成若干个体积为1立方厘米的小正方体，其中两面涂色的小正方体有 36 个，三面涂色的有 8 个。
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】36；8。
【分析】根据题意可发现顶点处的小方块三面涂色，除顶点外位于棱上的小方块两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可。
【解答】解：5÷1＝5（个）
两面涂色：
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
三面涂色：顶点处的小正方体三面涂色，共8个。
答：其中两面涂色的小正方体有36个，三面涂色的有8个。
故答案为：36；8。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上（除顶点外），3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
10．把一个棱长为5厘米的正方体的6个面都涂上颜色，并切成棱长为1厘米的小正方体，其中三面涂色的小正方体有 8 个，两面涂色的小正方体有 36 个。
【考点】染色问题．
【专题】应用题；应用意识．
【答案】8；36。
【分析】棱长为5厘米的正方体，每条大正方体棱长可以切5个小正方体的棱长，则小正方体的数量为（5×5×5）个，大正方体顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，据此解答即可。
【解答】解：正方体有8个顶点，三面涂色的小正方体有8个。
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×12
＝3×12
＝36（个）
两面涂色的小正方体有36个。
答：其中三面涂色的小正方体有8个，两面涂色的小正方体有36个。
故答案为：8；36。
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题。
三．判断题（共5小题）
11．用棱长是1厘米的小正方体拼成棱长是5厘米的大正方体后，再把它们的表面分别涂上颜色，一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】
如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
12．如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，把它们的表面涂上颜色，只有一面涂色的小正方体有54块。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】√
【分析】如图，用棱长是1cm的小正方体拼成一个大正方体后，每条大正方体的棱上有5块小正方体，大正方体每个面中间部分的小正方体一面涂色，据此解答即可。
【解答】解：一面涂色的小正方体块数：
（5﹣2）×（5﹣2）×6
＝3×3×6
＝9×6
＝54（块）
即一面涂色的小正方体有54块，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】根据大正方体的面、棱、顶点分析每个小正方体的涂色情况是解答题目的关键。
13．一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的。 √
【考点】染色问题．
【专题】压轴题；空间观念．
【答案】√
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面涂色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的小正方体有两面涂色，一面涂色的小正方体在每个面的中间；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：3面涂色的小正方体在8个顶点处，所以“一个由若干小正方体组成的大正方体，如果把它的表面涂色，最多有8个小正方体是3面涂色的”说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了立方体的涂色问题；注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
14．把27个棱长1cm的小正方体拼成一个大正方体，给大正方体表面涂上红色，其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个。 √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；应用意识．
【答案】√
【分析】因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，没有涂色的小正方体在中心；根据上面的结论，即可求得答案。
【解答】解：因为27＝3×3×3，所以大正方体每条棱长上面都有3个小正方体；
3面涂色的都在顶点处，所以一共有8个，
两面涂色的有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（个）
12﹣8＝4（个）
即其中三面涂红色的小正方体比两面涂红色的小正方体少4个，所以原题说法正确。
故答案为：√。
【点评】此题考查了立方体的知识。注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用。
15．一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体有8个． √
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据立体图形的知识可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体；在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色；在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色；所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．
【解答】解：一个正方体每面都涂上红色，把它切成若干个大小相等的小正方体后，3面涂色的小正方体在8个顶点上，
所以共有8个，
所以原题说法正确．
故答案为：√．
【点评】此题考查了立方体的知识．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．
四．计算题（共1小题）
16．将一个棱长为10厘米的正方体的6个面染成红色，然后全部切成棱长为1厘米的小正方体，六个面均无色的小正方体有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】竞赛专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出每条棱上切成棱长为1厘米的小正方体的个数：10÷1＝10（个），根据题意可发现顶点处的小正方体三面涂色，除顶点外位于棱上的小正方体两面涂色，位于表面中心的一面涂色，而处于正中心的则没涂色，据此解答即可．
【解答】解：10÷1＝10（个）
六个面均无色的有：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）
＝8×8×8
＝512（个）
答：六个面均无色的小正方体有512个．
【点评】抓住表面涂色的正方体切割小正方体的特点：1面涂色的在面上，2面涂色的在棱长上，3面涂色的在顶点处，没有涂色的在内部，由此即可解决此类问题．
五．操作题（共1小题）
17．一个长方体有六个面，下面是其中的四个面，请认真观察。
请在下面的格子图中画出这个长方体的另外2个面，并涂上阴影。
【考点】染色问题．
【专题】综合题；几何直观．
【答案】
【分析】根据已知图示所示的4个面，可知这个长方体另外的2个面的长是4个方格宽是3个方格，依此画出这个长方体另外的2个面。
【解答】解：如图所示：
【点评】本题是考查长方体的展开图，意在培养学生的观察、分析和空间想象能力。
六．应用题（共6小题）
18．一个长方体木块长7厘米，宽6厘米，高5厘米。把它的表面涂成红色，再切割成棱长1厘米的小正方体且没有剩余。切割成的小正方体中两面红色的有多少个？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】48个。
【分析】根据长方体切割正方体的特点可知，2个面都是红色的应该是在每条棱长上的小正方体（除去顶点外），由此即可求出只有2个面是红色的小正方体的总个数。
【解答】解：7÷1＝7（个）
6÷1＝6（个）
5÷1＝5（个）
（5﹣2）×4+（6﹣2）×4+（7﹣2）×4
＝12+16+20
＝48（个）
答：切割成的小正方体中两面红色的有48个。
【点评】此题考查了立方体的切拼问题中涂色问题，这里抓住三面涂色在顶点；两面涂色的在棱上，一面涂色的在表面中，没涂色的在内部。
19．有一个横2000格，竖1000格的矩形方格纸。现从它的左上角开始向右沿着边框逐格涂色到右边框，再从上到下逐格涂色到底边框，再沿底边框从右到左逐格涂色到左边框，再从下到上逐格涂色到上面涂色过的方格，如此一直螺旋式地涂下去……，直到将所有的方格都涂满，那么最后被涂的那格是从上到下的第 501 行，从左到右的第 500 列。
【考点】染色问题．
【专题】推理能力；模型思想．
【答案】501，500。
【分析】第1圈涂完，止于2行1列，即（2，1 ）；第2圈涂完，止于3行2列，即（3，2）；……第k圈涂完，止于k+1行k列，即（ k+1，k）。横2000格，竖1000格，需要1000：2＝500（圈），涂完。所以，止于501行500列。
【解答】解：顺时针涂完第1圈后，有两行两列被涂了色，下一个要涂色的是第2行第2列的方格。涂完第499圈后，有998行998列被涂了色，剩下2行1002列未被涂色。最后一圈从500行500列开始，到501行500列结束.那么最后被涂色的就是第501行，第500列。
故答案为：501，500。
【点评】一圈涂上下两行，所以最后涂色的方格位于第501行。当涂到这一行时，左边已经涂完499列，所以最后涂色的方格位于第500列。
20．一个正方体，先在它的每个面上都涂色，再把它切成若干个棱长是1cm的小正方体。已知两面涂色的小正方体有84个。
（1）这个正方体的体积是多少立方厘米？
（2）一面涂色的小正方体有多少个？
【考点】染色问题；长方体和正方体的体积．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】（1）729立方厘米；（2）294个。
【分析】（1）由于两面涂色的小正方体处在12条棱的中间，所以每条棱的中间有小正方体：84÷12＝7（个），那么每条棱上有小正方体：7+2＝9（个），所以大正方体的棱长是：1×9＝9（厘米），然后根据正方体的体积公式解答即可。
（2）一面涂色的小正方体处在每个面的中间，计算一面涂色的个数的方法：（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6；据此解题即可。
【解答】解：（1）84÷12＝7（个）
7+2＝9（个）
1×9＝9（厘米）
9×9×9＝729（立方厘米）
答：这个正方体的体积是729立方厘米。
（2）（9﹣2）×（9﹣2）×6
＝7×7×6
＝294（个）
答：一面涂色的小正方体有294个。
【点评】本题考查了正方体表面涂色问题，解答本题的关键是掌握正方体表面涂色的公式。
21．一个大正方体由若干个相同的小正方体组成，在大正方体的表面上涂色，其中一面涂色的小正方体有150个，这个大正方体由多少个小正方体组成？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】343个。
【分析】一面涂色的正方体的个数为150个，则正方体的一个面的中间就有150÷6＝25（个），因为5×5＝25，所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，则这个大正方体中的小正方体的总数为（7×7×7）个；据此解答即可。
【解答】解：150÷6＝25，因为5×5＝25，
所以这个大正方体的每条棱上有5+2＝7（个）小正方体，
则小正方体的总个数为：7×7×7＝343（个）
答：这个大正方体是由343个小正方体组成的。
【点评】根据大正方体的表面涂色的特点，得出一面涂色的小正方体都在大正方体的6个面的中间，并且每条棱长上的小正方体是2面涂色的（顶点除外），顶点处的小正方体是3面涂色的，抓住这个特点即可解决此类问题。
22．把一个大正方体的表面涂上红色，再把它切成27个大小一样的小正方体，在切成的小正方体中，三面涂有红色的有多少块？两面涂有红色的有多少块？
【考点】染色问题．
【专题】立体图形的认识与计算；空间观念．
【答案】8块；12块。
【分析】
根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）没有涂色的都在内部；（2）一面涂色的都在每个面上（除去棱上的小正方体）；（3）两面涂色的在每条棱上（除去顶点处的小正方体）；（4）三面涂色的在每个顶点处；据此解答即可。
【解答】解：27＝3×3×3
3面涂色的小正方体在大正方体的8个顶点处，所以有8个；
两面涂色的小正方体有：
（3﹣2）×12
＝1×12
＝12（块）
答：三面涂有红色的有8块；两面涂有红色的有12块。
【点评】本题关键要明确：三面有色的处在8个顶点上，两面有色的处在12条棱上，一面有色的处在每个面的中间，无色的处在里心。
23．一根2米长绳子从起点开始．每隔4cm标记一个红点，每隔5cm标记一个黄点，最后用剪刀在每个标记点处剪一刀，问一个可以将绳子剪成多少段？
【考点】染色问题．
【专题】传统应用题专题．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每5厘米作一个记号，可以作几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．
【解答】解：2米＝200厘米
200÷4﹣1＝49（个）
200÷5﹣1＝39（个）
4和5互质，所以4和5的最小公倍数是4×5＝20；
200÷20﹣1＝9（个）
49+39﹣9＝79（个）
79+1＝80（段）
答：可以将绳子剪成80段．
【点评】解答此题的关键是分析出每20厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数．
考点卡片
1．长方体和正方体的体积
【知识点归纳】
长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高）
正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长）
【命题方向】
常考题型：
例1：一个正方体的棱长扩大3倍，体积扩大（ ）倍．
A、3 B、9 C、27
分析：正方体的体积等于棱长的立方，它的棱长扩大几倍，则它的体积扩大棱长扩大倍数的立方倍，据此规律可得．
解：正方体的棱长扩大3倍，它的体积则扩大33＝27倍．
故选：C．
点评：此题考查正方体的体积及其棱长变化引起体积的变化．
例2：一只长方体的玻璃缸，长8分米，宽6分米，高4分米，水深2.8分米．如果投入一块棱长为4分米的正方体铁块，缸里的水溢出多少升？
分析：根据题意知用水的体积加铁块的体积，再减去玻璃缸的容积，就是溢出水的体积．据此解答．
解：8×6×2.8+4×4×4﹣8×6×4，
＝134.4+64﹣192，
＝6.4（立方分米），
＝6.4（升）．
答：向缸里的水溢出6.4升．
点评：本题的关键是让学生理解：溢出水的体积＝水的体积+铁块的体积﹣玻璃缸的容积，这一数量关系．
2．染色问题
【知识点归纳】
这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法．染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案．这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性、逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色方法．
染色问题基本解法：三面涂色和顶点有关，8个顶点．
两面染色和棱长有关．即新棱长（棱长﹣2）×12
一面染色和表面积有关．同样用新棱长计算表面积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×6
0面染色和体积有关．用新棱长计算体积公式（棱长﹣2）×（棱长﹣2）×（棱长﹣2）
长方体的解法和立方体同理，即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算．

题号
1
2
3
4
5
答案
C
A
C
B
C