2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题28最值模型之阿氏圆模型(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题28最值模型之阿氏圆模型(原卷版+解析)，共57页。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
例2．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值

例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足  k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB  4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为( )
A．6B．4C．4D．6
3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______
13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：
（1）初步思考：如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．（3）推广运用：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．

图1 图2 图3
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且．
(1)求的取值范围；(2)若，求的长；(3)求的最小值．
17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值.

17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足．
显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为．
（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，故点的坐标为；
（2）如图③，连接、，由反演变换知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为．
（1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；
（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________．
专题28 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足 PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。如图3所示：
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在中，，，，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接最小值__________．最小值__________．
【答案】 ； ．
【分析】如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，可证△PCD∽△BCP．可得PD=BP，当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，在Rt△ACD中，由CD=1，CA=6，根据勾股定理AD==即可；在AC上取CE=，△PCE∽△ACP．可得PE=AP，当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，在Rt△BCE中，由CE=，CB=4，根据勾股定理BE=即可．
【详解】解：如图，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，连结AD，
∵CP=2，BC=4，

∴，∴，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD∽△BCP．
∴，∴PD=BP，∴AP+BP=AP+PD，
当点A，P，D在同一条直线时，AP+BP的值最小，
在Rt△ACD中，∵CD=1，CA=6，∴AD==，
∴AP+BP的最小值为．故答案为：
在AC上取CE=，连接CP，PE
∵∴
又∵∠PCE=∠ACP，∴△PCE∽△ACP．
∴，∴PE=AP，∴BP+AP=BP+PE，
当点B，P，E在同一条直线时，BP+AP的值最小，
在Rt△BCE中，∵CE=，CB=4，∴BD=，
∴BP+AP的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．
例2．（2023春·江苏·九年级校考阶段练习）如图，正方形的边长为4，的半径为2，为上的动点，则的最大值是 ．
【答案】2
【分析】解法1，如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，连接、，推得，因为，求出即可求出答案．
解法2：如图：连接、、，在上做点，使，连接，证明，在上做点，使，连接，证明，接着推导出，最后证明，即可求解．
【详解】解法1：如图：以为斜边构造等腰直角三角形，连接，，
∴，，四边形正方形，
又，
在与中，

故答案为：2．
解法2 如图：连接、、 根据题意正方形的边长为4，的半径为2
，
在上做点，使，则，连接
在与中，，则
在上做点，使，则，连接
在与中，
，则 如图所示连接
在与中，，
故答案为：2．
【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．
例3．（2023·广东·九年级专题练习）如图，菱形的边长为2，锐角大小为，与相切于点E，在上任取一点P，则的最小值为___________．
【答案】．
【分析】在AD上截取AH=1.5，根据题意可知，AP=，可得，证△APH∽△ADP，可知PH=，当B、P、H共线时，的最小，求BH即可．
【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，
∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=，
∴，∵∠PAD =∠PAH，∴△ADP∽△APH，
∴，∴PH=，
当B、P、H共线时，的最小，最小值为BH长，
BH=；故答案为：．
【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．
例4．（2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上，
在线段上取一点，使得，则

∵，∴
又∵∴∴∴
∴
如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值
，∴的最小值为：故答案为：
【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把转化为是解决此题的关键．
例5．（2023·浙江·一模）问题提出：
如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+BP的最小值
(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)
如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有
又∵∠PCD＝∠
△ ∽△
∴ ∴PD＝BP
∴AP+BP＝AP+PD
∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为 ．
(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则AP+PC的最小值为 ．(请在图3中添加相应的辅助线)
(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．
【答案】（1）BCP，PCD，BCP，；（2）2；（3）作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为．
【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；
(2)在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，AB＝8，PB＝4，BF＝2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；
(3)延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定，且∠AOP＝∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．
【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，
∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，
∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，
∵AC＝9，AF⊥BC，∠ACB＝60°∴CF＝3，AF＝；
∴DF＝CF﹣CD＝3﹣1＝2，∴AD＝，
∴AP+BP的最小值为；故答案为：；

(2)如图2，在AB上截取BF＝2，连接PF，PC，∵AB＝8，PB＝4，BF＝2，
∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，
∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，
∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，
∴CF＝，∴AP+PC的值最小值为2，故答案为：2；
(3)如图3，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，
∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，
∴，且∠AOP＝∠AOP∴△AOP∽△POF
∴，∴PF＝2AP∴2PA+PB＝PF+PB，
∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，
∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM
∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7
∴FB＝，∴2PA+PB的最小值为．
【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..
例6．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值．
（2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值．
（3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值

【答案】见详解
【分析】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出，推出PG=PC，推出PD+PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG==5．由PD-PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-PC的值最大（如图2中），最大值为DG=5；可以把转化为4（），这样只需求出的最小值，问题即可解决。
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．解法类似（1）；
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=4，作DF⊥BC于F．解法类似（1）；
【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．

∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5．
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5．
如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC
∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD，
∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC，
由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=，
∴最小值为FC===
∴的最小值为：．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ．
当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=．
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．
∴△PBG∽△CBP，
∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG．
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2，
在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
例7．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足  k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，
【问题解决】如图，在△ABC 中，CB  4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．
【答案】
【分析】以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，证出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，从而求出AP、BP和CP，即可求出点A的运动轨迹，最后找出距离BC最远的A点的位置即可求出结论．
【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，
∴∴BP=2AP，CP=AP
∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大
S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：．
【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质、确定点的运动轨迹和求三角形的面积，掌握相似三角形的判定及性质、圆的定义和三角形的面积公式是解决此题的关键．
例8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．

【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴，
将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；
将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，∴，
①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，得或，∴点M的坐标为；
②当时，设直线的解析式为，将代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，∴，∵，、∴，
又∵，∴，∴，即，
∴，∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，∴，∴的最小值为．

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
课后专项训练
1．（2023春·浙江九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则AP＋BP的最小值为（ ）
A．7B．5C．D．
【答案】B
【详解】思路引领：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．利用相似三角形的性质证明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．
答案详解：如图，在CA上截取CM，使得CM＝1，连接PM，PC，BM．
∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM•CA，∴，
∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，∴AP+BP＝PM+PB，
∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，
∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值为5．故选：B．
2．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长AB=8，E为平面内一动点，且AE=4，F为CD上一点，CF=2，连接EF，ED，则EFED的最小值为( )
A．6B．4C．4D．6
【答案】A
【分析】如图（见解析），在AD边上取点H，使得，连接EH、FH，先根据正方形的性质得出，，再根据相似三角形的判定与性质得出，从而可得，然后利用三角形的三边关系定理、两点之间线段最短可得取得最小值时，点E的位置，最后利用勾股定理求解即可得．
【详解】如图，在AD边上取点H，使得，连接EH、FH
四边形ABCD是正方形，
，，即
又，即
由三角形的三边关系定理得：
由题意得：点E的轨迹是在以点A为圆心，AE长为半径的圆上
由两点之间线段最短可知，当点E位于FH与圆A的交点时，取得最小值，最小值为
，
在中，由勾股定理得即的最小值为故选：A．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的三边关系定理、两点之间线段最短等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．
3．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为_____．
【答案】5
【详解】分析: 由PD−PC＝PD−PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝5．
详解: 在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵，，∴，
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD−PC的值最大，最大值为DG＝＝5．故答案为5
点睛: 本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
4．（2023·浙江·九年级专题练习）如图所示，，半径为2的圆内切于．为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，本题属于动点最值问题-“阿氏圆”模型，首先作于，作于，如图所示，通过代换，将转化为，得到当与相切时，取得最大值和最小值，分两种情况，作出图形，数形结合解直角三角形即可得到相应最值，进而得到取值范围．
【详解】解：作于，作于，如图所示：

，，，
，，
，，
，当与相切时，取得最大和最小，
①连接，，，如图1所示：
可得：四边形是正方形，，
在中，，，
在中，，
，即；
②连接，，，如图2所示：
可得：四边形是正方形，，
由上同理可知：在中，，，
在中，，
，即，
．故答案为：．
【点睛】本题考查动点最值模型-“阿氏圆”，难度较大，掌握解决动点最值问题的方法，熟记相关几何知识，尤其是圆的相关知识是解决问题的关键．
5．（2023·湖南·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为 ．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），
∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
6．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，已知，若点、在射线上，且满足，，是射线上的动点，同时在右侧作，且满足，则的面积为 ．若点运动轨迹与射线交于点，当的最小值时，此时的值为 ．
【答案】
【分析】过点H作，利用勾股定理与逆定理可判断是等腰三角形，过E作于，在右侧作，则可证明，得出，进而得出，然后利用三角形的面积公式即可解答第一空；过H作于K，利用含的直角三角形的性质得出，则，故当A、H、K三点共线，且时，取最小值，过H作于P，得出，，然后利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点H作，

∵，，，∴，，
设，则，∵，∴，，
∴，∴，∴，
过E作于，在右侧作，
∴，∴，，
∴，∴，，∴，
∵，，∴，，
∴，，∴，∴，
∴；如图，过H作于K，

∵，，∴，∴，
∴当A、H、K三点共线，且时，取最小值，
如图，过H作于P， ∴，，，∴，
又，∴，∴，
即当取最小值时，的值为．故答案为：，
【点睛】本题考查了含的直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造相似三角形求解，判定点H在平行与的直线上运动，当A、H、k三点共线，且时，取最小值，是解题的关键．
7．（2023·广西·南宁市一模）如图，在平面直角坐标系中，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．首先利用四点共圆证明OP=2，再利用相似三角形的性质证明PT=PC，推出2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），根据PD+PT≥DT，求出DT即可解决问题．
【详解】解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD．
∵A（2，0），B（0，2），C（4，0），∴OA=OB=2，OC=4，
以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，
∵∠Q=∠AOB=45°，∠APB=135°，∴∠Q+∠APB=180°，
∴A，P，B，Q四点共圆，∴OP=OA=2，∵OP=2，OT=1，OC=4，∴OP2=OC•OT，
∴，∵∠POT=∠POC，∴△POT∽△COP，
∴，∴PT=PC，∴2PD+PC=2（PD+PC）=2（PD+PT），
∵PD+PT≥DT，DT=，∴2PD+PC≥，
∴2PD+PC的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查几何问题的最值，相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
8．（2023·江苏苏州·苏州市二模）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】延长到，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，求的最小值问题转化为求的最小值．求出即可判断．
【详解】解：延长到，使得，连接，．
，，，，，
，，，，
，
又在中，，，，
，，
的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
9．（2023秋·浙江温州·九年级校考期末）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP＝．连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ．连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 ．
【答案】5
【分析】连接AC、AQ，先证明△BCP∽△ACQ得即AQ＝2，在AD上取AE＝1，证明△QAE∽△DAQ得EQ＝QD，故DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，求出CE即可．
【详解】解：如图，连接AC、AQ，
∵四边形ABCD是正方形，PC绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ，∴∠ACB＝∠PCQ＝45°，
∴∠BCP＝∠ACQ，cs∠ACB＝，cs∠PCQ＝，
∴∠ACB=∠PCO，∴△BCP∽△ACQ，∴
∵BP＝，∴AQ＝2，∴Q在以A为圆心，AQ为半径的圆上，在AD上取AE＝1，
∵，，∠QAE＝∠DAQ， ∴△QAE∽△DAQ，
∴即EQ＝QD，∴DQ+CQ＝EQ+CQ≥CE，连接CE，
∴，∴DQ+CQ的最小值为5．故答案为：5．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，三角函数，解题的关键在于能够连接AC、AQ，证明两对相似三角形求解.
10．（2020·广西·中考真题）如图，在Rt中，AB＝AC＝4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是 ．
【答案】．
【分析】在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．证明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根据PC+PT≥TC，求出CT即可解决问题．
【详解】解：在AB上取一点T，使得AT＝1，连接PT，PA，CT．
∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT•AB，∴＝，
∵∠PAT＝∠PAB，∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，
∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，
∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值为．故答案为．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _____．
【答案】5
【分析】因为DG＝EF＝2，所以G在以D为圆心，2为半径圆上运动，取DI＝1，可证△GDI∽△CDG，从而得出GI＝CG，然后根据三角形三边关系，得出BI是其最小值
【详解】解：如图，
在Rt△DEF中，G是EF的中点，∴DG＝，∴点G在以D为圆心，2为半径的圆上运动，
在CD上截取DI＝1，连接GI，∴＝＝，∴∠GDI＝∠CDG，∴△GDI∽△CDG，
∴＝，∴IG＝，∴BG+＝BG+IG≥BI，
∴当B、G、I共线时，BG+CG最小＝BI，在Rt△BCI中，CI＝3，BC＝4，∴BI＝5，故答案是：5．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆的概念，求得点的运动轨迹是解题的关键．
12．（2023·四川成都·九年级专题练习）在中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A的半径为6，P是上一动点，连接PB，PC，则的最小值_____________的最小值_______
【答案】
【分析】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，利用相似三角形的判定和性质得到，推出，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解；
②在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，同①得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理即可求解．
【详解】①连接AP，在AB上取点Q，使AQ=4，连接CQ，

∵⊙A的半径为6，即AP=6，∴，又，且，
∴，∴，∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，过C作CI⊥AB于I，
∴，在Rt△CIB中，∵，BC=8，
，∴，∴，
，在Rt△CIQ中，，
∴的最小值为；故答案为：；
②连接AP，由①得：在Rt△CIA中，，
在AC上取点G，使AG=，连接PG，BG，
∴，∵，∴，
且，∴，∴，∴，
∴，
当三点共线时，的值最小，最小值为的长，过G作GH⊥AB于H，
∴，在Rt△CIA中，，
在Rt△GAH中，，∴，∴，
，在Rt△GHB中，，
∴的最小值为．故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解本题的关键是构造出相似三角形，也是解本题的难点．
13．（2023·广西·九年级专题练习）如图，已知菱形的边长为4，，的半径为2，P为上一动点，则的最小值 ．的最小值
【答案】
【分析】①在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F．利用相似三角形的判定和性质推出，得到，由，推出当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，再利用特殊角的三角函数值以及勾股定理求解即可；
②连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，同一的方法利用相似三角形的判定和性质推出，当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，再利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
【详解】①如图，在BC上取一点G，使得BG=1，连接PB、PG、GD，
作DF⊥BC交BC延长线于F．
∵，，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，

∵，∴当D、P、G共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=2，CF=2，
在Rt△GDF中，DG，故答案为：；
②如图，连接BD，在BD上取一点M，使得BM=，连接PB、PM、MC，过M作MN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是菱形，且，∴AC⊥BD，∠AOB=90，∠ABO=∠CBO=∠ABC=30，
∴AO=AB=2，BO=，∴BD=2 BO=，
∴，，∴，
且∠MBP=∠PBD，∴△MBP△PBD，∴，
∴，∴，
∴当M、P、C共线时，的值最小，最小值为CM，
在Rt△BMN中，∠CBO =30，BM=，
∴MN=BM=，BN=，∴CN=4-，
∴MC=，∴的最小值为．
【点睛】本题考查了圆综合题、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
14．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知：

图1 图2 图3
（1）初步思考：
如图1， 在中，已知，BC=4，N为BC上一点且，试说明：
（2）问题提出：
如图2，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值．
（3）推广运用：
如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B﹦60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最大值．
【答案】（1）详见解析；（2）5；（3）最大值
【分析】（1）利用两边成比例，夹角相等，证明∽，得到，即可得到结论成立；
（2）在BC上取一点G，使得BG=1，由△PBG∽△CBP，得到，当D、P、G共线时，的值最小，即可得到答案；
（3）在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，与（2）同理得到，当点P在DG的延长线上时，，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：如图，在BC上取一点G，使得BG=1，

∵，∴，
∴，∴，∴，∴；
∵，∴当D、P、G共线时，的值最小，∴最小值为：；
（3）如图，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F，
与（2）同理，可证，在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，
∴DF=CD•sin60°=，CF=2，在Rt△GDF中，DG=，
∴，当点P在DG的延长线上时，，
∴最大值为：.
【点睛】本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．
15．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②；③或(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；
（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．
（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，∴点是关于点的勾股点；
∵点是关于点的勾股点，∴
∵，∴，如图所示，即为所求；
（2）解：①∵点是关于点的勾股点，∴，
∵菱形中，，∴在中，，∴；
②∵，，∴在中，，∴，
∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，
∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；
③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．
当点在左侧时，连接．当时，∵，∴，
过点作，∴点为中点，即，
∴，，
过点作，则四边形为正方形，
∴，∴，∴．
当点在右侧时，可得点与点关于对称，∴∴或

（3）解：如图4，在上取点，使，则，
∵是关于点的勾股点，∴，
在中，，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴当A、E、F共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
16．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知是等边三角形，，点D为的中点，点E，F分别为边，上的动点（点E不与B，C重合），且．
(1)求的取值范围；(2)若，求的长；(3)求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)取得最小值是，见解析
【分析】（1）根据题中条件求解即可；（2）过点D作，过点F作，证明即可求解；（3）连接，过点F作，过点C作且，证明，再结合题中条件即可求得答案．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，，∴，∴；
（2）解：过点D作，过点F作，如图所示，

∴，∴，∵，∴，∴，
∴，设，∵，∴，∵点D为的中点，，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，，∴，
∵，∴∵∴，，，
∵，∴，即，解得：，即；
（3）解：连接，过点F作，过点C作且，
在和中，∵是等边三角形，点D为的中点，∴
∵，，∴，∴，
设，由（2）知，，∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，
当且仅当B、F、K三点共线时取等号，即取得最小值，
过点 K作交的延长线于点M，
∵，，∴，，∴，
在中，，
∴，即取得最小值是．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
17．（2023·重庆大渡口·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形中，，分别以所在的直线为轴、轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接,反比例函数的图象经过线段的中点，并与矩形的两边交于点和点，直线经过点和点. （1）连接、，求的面积；（2）如图2，将线段绕点顺时针旋转—定角度，使得点的对应点好落在轴的正半轴上，连接，作，点为线段上的一个动点，求的最小值.

【答案】（1）；（2）4.
【分析】(1)连接、，过点D作DP⊥OC，易得：B(3，4)，从而得D(1.5，2)，进而得，即：，E(，4)，F(3，1)，根据割补法，即可求出答案；
(2)过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，易得OH=OB=5，BH=，HG=BC=4，易证∆OQN~∆OMB，得NQ=，得到，进而得到答案.
【详解】（1）连接、，过点D作DP⊥OC，如图1，
∵在矩形中，，∴B(3，4)，
∵点D是OB的中点，∴DP=BC=OA=2，OP=OC=1.5，即：D(1.5，2)，
∵反比例函数的图象经过线段的中点，
∴k=xy=1.5×2=3，即：，∴，E(，4)，F(3，1)，
∴BE=3-=，BF=4-1=3，∴，
∴=；
（2）过点N作NQ⊥OB于点Q，HG⊥OB于点G，如图2，
∵线段绕点顺时针旋转—定角度，点的对应点好落在轴的正半轴上，
∴OH=OB=，∴CH= OH-OC=5-3=2，
∴BH=，∵，∴HG=BC=4，
∵，∴BM=BH=，∵∠NOQ=∠BOM，∠OQN=∠OMB=90°，∴∆OQN~∆OMB，
∴，即：，∴NQ=，∴，
∵，∴，∴的最小值是：4.

【点睛】本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义以及相似三角形的判定和性质定理的综合，添加辅助线，构造相似三角形是解题的关键.
17．（2023·深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？

第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．(1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可；（2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，

∵点，点，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
当点P在上时，取得最小值，
∴，故最小值为；
（2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得：
，解得，∴，设，
∵半径为3，∴，解得：（负值舍去），
∴，∴ ．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
18．（2023·江苏扬州·校联考二模）请认真阅读下列材料：
如图①，给定一个以点O为圆心，r为半径的圆，设点A是不同于点O的任意一点，则点A的反演点定义为射线上一点，满足．
显然点A也是点的反演点．即点A与点互为反演点，点O为反演中心，r称为反演半径．这种从点A到点的变换或从点到点A的变换称为反演变换．
例如：如图②，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径的圆，交y轴的正半轴于点B；C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为；若C关于的反演点分别为．
（1）求点的坐标；（2）连接、，求的最小值．
解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，故点的坐标为；
（2）如图③，连接、，由反演变换知，
即，而，∴．
∴，即．
∴．故的最小值为13.
请根据上面的阅读材料，解决下列问题：
如图④，在平面直角坐标系中，点，以点O为圆心，为半径画圆，交y轴的正半轴于点B，C为线段的中点，P是上任意一点，点D的坐标为．
（1）点D关于的反演点的坐标为________；（2）连接、，求的最小值；
（3）如图⑤，以为直径作，那么上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是__________________．
【答案】（1）；（2）13；（3）过点A且与x轴垂直的一条直线
【分析】（1）根据反演变换的定义即可求出结论；
（2）连接，根据相似三角形的判定定理证出，列出比例式即可求出，然后代入所求关系式并根据两点之间线段最短即可求出结论；
（3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和，根据相似三角形的判定定理证出，根据相似三角形的性质可得，然后根据直径所对的圆周角是直角即可求出=90°，从而得出结论．
【详解】解：（1）由反演变换的定义知：，其中，．
∴，∴点D关于的反演点的坐标为 故答案为：；
（2）连接，
由反演变换知，即，而，
∴．∴，即．
∴．故的最小值13．
（3）在上任取一点P，连接OP并延长至点P关于的反演点，连接AP和
由反演变换知，即，而，
∴，∴
∵OA为的直径∴90°∴=90°∴⊥x轴
∴上所有的点（点O除外）关于的反演点组成的图形具有的特征是过点A且与x轴垂直的一条直线
故答案为：过点A且与x轴垂直的一条直线．
【点睛】此题考查的是圆的综合题型和相似三角形的判定及性质，掌握直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定及性质和反演变换的定义是解题关键．