2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题33圆中的重要模型之圆幂定理模型(原卷版+解析)

这是一份2024年中考数学几何模型归纳训练(通用版)专题33圆中的重要模型之圆幂定理模型(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了相交弦模型，双割线模型，切割线模型，弦切角模型，托勒密定理模型等内容，欢迎下载使用。
模型1.相交弦模型
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．

例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．
例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．
模型2.双割线模型
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= .
例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ．
例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
模型3.切割线模型
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（ )

A．B．16cmC．D．
例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点， ．求证： ．
例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项）
(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线．
求证： 证明： ．
(2)已知，，则的长度是 ．
模型4.弦切角模型
条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1）；
2）；3）。
例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，．
求证：．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
(1)如图1，是的切线．点C，D在上．求证：；(2)如图2，是的切线．连接交于点D，为的直径．若，，的半径为5，求的长．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角．
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：．证明：
(2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长．
模型5.托勒密定理模型
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形内接于．求证：

下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作，交于点E．
∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴
∵∴
∵∴即∴
∴ ∴
∴
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________________．依据2：________________________________．
（2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形是的内接四边形，若，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点.
∵，∴，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.
课后专项训练
1．（2023山东九年级课时练习）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、C两点，且图中圆环的面积为，则 ．
4．（2023·重庆九年级期末）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）．
5．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ．
6．（2023·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．

7．（2023·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长．
8．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P是以O为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆O交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆O于F点，F为线段的中点，，，垂足为E．(1)求证：为小圆O的切线；(2)若，，求大圆的半径．

9．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，作线段的中点；②以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；
③连接、，则、是圆的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
(3)如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．
10．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．
11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．

(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
12．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．

13．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点．
14．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，内接于，点D为圆外上方一点，连接，若．
(1)求证：是的切线；(2)如图2，连接．若，，，求的半径．（注：本题不允许使用弦切角定理）
15．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C．
求证：．
证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴，……

任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．
证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，∴，即．……
任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是 ．②求的长．
17．（2022·山西·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明：
已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．
求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．
∵PA切⊙O于点A，∴，即．
∵，∴．
∵，∴．……
任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长．
18．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．
已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________．求证： ___________．
19．（2023·广东九年级期中）探究问题：

(1)阅读理解：①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；
第二步：在上任取一点，连接．易知________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
20．（2023·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是的内接四边形；求证：
证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴，
又，
∴ ∴
∴，∴ ∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

21．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ．

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型
圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Pncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。
模型1.相交弦模型
条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。
结论：。
例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点，，，在上，，．若，，则的长是 ．

【答案】
【分析】如图，连接，设交于点，根据题意可得是的直径，，设，证明，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出，根据，勾股定理求得，根据即可求解．
【详解】解：如图，连接，设交于点，

∵是的直径，， ，，
在中， ，
，，，
设则， ，，，
中，，
，，
又，，，，，
，，，解得，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．(1)求证；(2)当时，求CE的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等可得，再由对顶角相等得，故可证明绪论；
（2）根据可得由可得出连接AE，可证明，得出 代入相关数据可求出，从而可求出绪论．
【详解】（1）∵所对的圆周角是，∴，又，∴；
（2）∵△是等边三角形，∴
∵，∴∴
∵∴，∴∴
连接如图，∵∴ ∴∠
又∠，∴△∴，
∴
∴，∴（负值舍去） ∴，解得，
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形和判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________．
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径．
【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2)
【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为rcm，则，，根据（1）中结论代入求解即可．
【详解】（1）连接．∵，．
∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似）
∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；；
（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，
设圆O的半径为rcm，则，，
根据（1）中结论得，即为，
解得：或（不符合题意，舍去），的半径为．
【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键．
模型2.双割线模型
条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。
结论：
例1．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= .
例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ．
【答案】
【分析】延长交圆于点D，连接、，由圆内接四边形内对角互补性质可得，结合邻补角互补可得，继而证明，由相似三角形对应边成比例解得，由此计算，最后根据线段的和差解题即可．
【详解】如图，延长交圆于点D，连接、，
四边形为圆内接四边形，∴．
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，，
∵，∴，∴半径为，故答案为：．
【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
例3．（2022·河南洛阳·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整．
已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点．
求证：．
证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴______．
又∵，∴______，∴______．
即．
研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二．
证明二：连接、，
【答案】证明一：，∽，；证明二见解析
【分析】（1）证明∽即可得到结论；
（2）根据圆内接四边形的性质可得，进一步证明∽
【详解】解：证明一：连接、，
∵和为所对的圆周角，∴．
又∵，∴∽，∴．即．
故答案为：，∽，，
证明二：连接、，
∵四边形为圆内接四边形，∴，
又∵，∴，
又∵，∴∽，∴，即．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
模型3.切割线模型
条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。
结论：
例1．（2023·江苏南通·中考模拟）如图，已知是的切线，为切点，与相交于．两点，，，则的长等于（ )

A．B．16cmC．D．
【答案】D
【分析】根据已知得到的长，再根据切割线定理即可求得的长
【详解】解：∵，，∴，
∵，∴，故选D．
【点睛】本题是对圆知识的综合考查，熟练掌握圆及相似三角形的性质是解决本题的关键.
例2．（2023·河南郑州·一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线．
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36﹣2圆幂定理（切割线定理）内容如下：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．
为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．
已知：如图，A是⊙O外一点， ．
求证： ．
【答案】AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD，见解析
【分析】按照题设要求，写出“已知”和“求证”，然后证明△ABC∽△ADB，即可求解．
【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线．
求证：AB2＝AC•AD．
故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，AB2＝AC•AD，
证明：连接BD，连接BO并延长交⊙O于点E，连接CE，
∵AB是⊙O的切线，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∵BE是圆的直径，∴∠BCE＝90°＝∠E+∠CBE，
∴∠ABC＝∠E，而∠E＝∠CDB，∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠DAB，∴△ABC∽△ADB，∴，∴AB2＝AC•AD．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，作出辅助线是解决本题的关键．
例3．（2022·河南驻马店·校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课下他查阅了老师推荐他的《几何原本》，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作．它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项．（比例中项的定义：如果、、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项）
(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线．
求证：
证明：
(2)已知，，则的长度是 ．
【答案】(1)，证明见解析(2)
【分析】（1）根据比例中项的定义写出“求证”， 连接并延长交于点，连接，先根据圆的切线的性质可得，再根据圆周角定理可得，从而可得，然后根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质即可得证；
（2）先根据线段和差求出，再根据（1）的结论即可得．
【详解】（1）求证：．
证明：如图，连接并延长交于点，连接，
是的切线，，，
由圆周角定理得：，
，，
在和中，，
，，．
（2）解：，，，
由（1）已证：，，
解得或（不符题意，舍去），故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线的性质和圆周角定理是解题关键．
模型4.弦切角模型
条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。
结论：1）；
2）；3）。
例1．（2023·河南三门峡·统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角---弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质．
（1）如图，直线与⊙O相切于点，，为⊙O上不同于的两点，连接，，．请你写出图中的两个弦切角______；（不添加新的字母和线段）
（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？
已知：如图，直线与⊙O相切于点，，为圆上不同于的两点，连接，，．
求证：．（3）如果我们把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理______．
【答案】（1），，，（任意写出两个即可）；（2）见解析；（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角
【分析】（1）根据弦切角的定义加以识别即可；（2）过点C作直径CF，连接DF，借助于同弧所对的圆周角相等，将∠DEC转化为∠F，所以只需证∠DCB=∠F即可．（3）由题意可归纳：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
【详解】解：（1）弦CD、CE分别与切线CB构成的弦切角为：∠DCB，∠ECB；
弦CD、CE分别与切线CA构成的弦切角为：∠DCA，∠ECA．
故答案为：，，，（任意写2个即可）
（2）证明：过作直径，连接．
∵是直径，∴．∴．
又∵与相切于点，∴．∴．∴．
∴．∴．
（3）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．
【点睛】本题考查了圆的切线的性质、圆周角定理及推论、直角三角形的两锐角互余等知识点，熟知上述图形的相关性质是解题的基础，对新定义的理解及问题的概括能力是关键.
例2．（2023·河南洛阳·统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也．”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数．
(1)如图1，是的切线．点C，D在上．求证：；(2)如图2，是的切线．连接交于点D，为的直径．若，，的半径为5，求的长．
【答案】(1)详见解析 (2)
【分析】（1）连接，并延长交于点M，连接，先证明，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等得出，即可证明；（2）连接，，证明，得出，证明，得出，即，求出结果即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，并延长交于点M，连接，如图所示：

∵是的直径，∴，∴，
∵是的切线，∴，∴，∴，
∵，∴，∴．
（2）解：连接，，如图所示：
∵是的直径，∴，∴，∵是的切线，∴，
∵，∴，∴，
与（1）同理可得，，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∵，，∴，∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形相似的判定和性质，切线的性质定理，直径所对的圆周角为直角，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质定理．
例3．（2023·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角．
(1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．”
如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：．证明：
(2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长．
【答案】(1)见解析(2)21
【分析】（1）如图2，延长交于，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论；（2）如图3，连接，根据勾股定理得到，据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：求证：，
证明：如图2，延长交于，连接，

是的直径，，，
为的切线，，，
，，；即；
（2）如图3，连接，，，，
为的切线，，，，
，，．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
模型5.托勒密定理模型
条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：
例1．（2023·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptlemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptlemy）定理．
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．
已知：如图1，四边形内接于．求证：
下面是该结论的证明过程：
证明：如图2，作，交于点E．
∵∴（依据1）
∴（依据2） ∴∴
∵∴
∵∴
即∴
∴ ∴
∴
任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________________________．依据2：________________________________．
（2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长．
【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理，相似三角形的判定即可解决问题．
（2）首先证明，由托勒密定理，构建方程求出即可．
【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等．
“依据2”是两角对应相等的两个三角形相似．
故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似．
（2）∵为的直径，∴，
∵点D为的中点，∴，∴，∴在中，
∵∴在中，
∵∴，∴
【点睛】本题属于圆综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数，托勒密定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题．
例2．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 .
如图①，四边形是的内接四边形，若，则 .
【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？
如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现：
证明：如图③，作，交于点.
∵，∴，
∴ 即 （请按他们的思路继续完成证明）
【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长.
【答案】【旧知再现】互补， 110；【问题创新】见解析；【应用迁移】
【分析】【重温旧知】根据圆周角定理，得出，，化简得出，利用等腰三角形的两个底角相等和圆内接四边形对角互补，即可得；
【提出问题】所得等式两边加上AD•BC，右边变形后即可得证；
【应用迁移】由上题的结论，根据为等边三角形，可得AB=AC=BC，代入化简即可求出PA的长.
【详解】（1）如图示：

连接OA，OC，根据圆周角定理，则有：，
∴∴圆内接四边形的对角互补；
∵，∴在等腰三角形ABD中，
∴
（2）证明：如图，∵∴，即，
又∵，∴ ∴，即
∴， ∴，
（3）由（2）可知 ∵是等边三角形， ∴，
∴，∴即.
【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键．
课后专项训练
1．（2023山东九年级课时练习）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C．已知BC＝DC＝3，OD＝2，AB＝6，则圆的半径为 ．
【答案】
【分析】连接BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，连接，证明，则可得AB2＝BC•BF，进而求得DE＝，OD＝2，勾股定理求解即可．
【详解】解：连接BC并延长，交圆于F，过O作OE⊥BF，连接
∵BA是圆O的切线，切点为A，
在中，
则
又AB2＝BC•BF，
∵BC＝DC＝3，AB＝6，∴BF＝12，CF＝9，∴DE＝，OD＝2，
∴OE＝＝＝，CE＝，
∴OC＝＝＝．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，垂径定理，勾股定理，切线的性质，证明AB2＝BC•BF，是解题关键．
2．（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、C两点，且图中圆环的面积为，则 ．
【答案】4
【分析】设圆心为O，作与小圆相切，切点为M，与大圆交于点D，连接，根据勾股定理及题意得出，过点O作，连接，继续利用勾股定理进行等量代换得出，即可求解．
【详解】解：设圆心为O，作与小圆相切，切点为M，与大圆交于点D，连接，如图所示：
∴，∴，
∵，∴，过点O作，连接，
∴，，
∴，即，
∵，∴，故答案为：4．
【点睛】题目主要考查勾股定理解三角形，切线的性质，垂径定理等，理解题意，作出辅助线是解题关键．
4．（2023·重庆九年级期末）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、．已知，，则 ．
【答案】
【分析】根据切割线定理，可求PB=18，再根据相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方可求S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．
【详解】由切割线定理可得PA2=PD×PB，
∵PA=12，PD=8∴PB=18．由弦切角和公共角易知△ABP∽△DAP．
∴S△ABP：S△DAP=PB2：PA2=9：4．故答案为9：4
【点睛】本题应用了切割线定理和相似三角形的性质：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
4．（2023·浙江杭州·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）．
【答案】②③
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法得到，△PAD∽△PCB，根据相似三角形的对应边的比相等从而可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC，∴△PAD∽△PCB，
∴，∴①错误；②正确；
③连接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB，
∴，∴，正确；故答案为：②③．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，相似三角形的判定和性质，注意到题目中的相似三角形是解决本题的关键．
5．（2023·浙江绍兴·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ．
【答案】3或4
【分析】证明△ABD∽△AEB，求出AD，从而得到DE，再证明△AEC∽△BED，得到BE·CE=12，根据BE，CE都是整数可得所有可能的取值，再根据三角形三边关系可得BE，CE都是整数，从而得到DE的取值．
【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC，
∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB，
∴，即，∴AD=8，∴DE=6，
∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED，
∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数，
则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12；
∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7，
∴BE的值为3或4，故答案为：3或4．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，以及三角形三边关系，解题的关键是找出适当的相似三角形得到线段关系．
6．（2023·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．

【答案】(1)(2)见解析
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补和为正三角形即可求出；（2）证明即可求出．
【详解】（1）解： 为正三角形，．
四边形为圆内接四边形，∴；
（2）证明：由（1）知，，∵，
又∵，∴．∴则
又∵，∴．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合问题，涉及到等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质，灵活运用这些知识是关键．
7．（2023·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）连接，由题可知，D已经是圆上一点，欲证为切线，只需证明即可；
（2）连接．由（1）知，为的直径，由得，又，所以，所以，因为，所以，即可证明；
（3）连接，根据勾股定理求出，进而根据三角形的中位线定理可得的长，从而得的长．
【详解】（1）如图，连接．
∵平分，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
∵∴∴∴半径，∴是的切线；
（2）如图，连接．∵∴
∵为的直径，∴，∴，
∵， ∴，∴∵∴，
∵四点共圆，∴，∴，∴，
∵，∴， ∴，
∵，∴∴，∴，
在中，，∴，∴．
（3）如图，连接，交于点H．∵是的直径，∴，
∵，∴，
∵，∴， ∴，∵，∴，
∵∴∴，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握三角形的中位线定理，勾股定理，角平分线的定义，切线的判定等知识点是解题的关键．
8．（2023·云南昆明·统考一模）如图，P是以O为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆O交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆O于F点，F为线段的中点，，，垂足为E．(1)求证：为小圆O的切线；(2)若，，求大圆的半径．

【答案】(1)见解析；(2)．
【分析】（1）连接，，由，F是中点，依据等腰三角形三线合一可得，结合是小圆O的半径，即可证得是小圆O的切线；（2）连接，，由设，，结合题，即，再由三线合一可得即，易证得，即可求得、，及、，在中由即可求得的值，从而求得即大圆O的半径·
【详解】（1）连接，，∵，F是中点，∴，
∵是小圆O的半径，∴是小圆O的切线；

（2）连接，，∵，∴设，，
∵，则，∵，∴，
∵是圆O的直径，∴，∴，∴，即，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，，
∴，∴，在中，，
∴，即，解得，（不合题意，舍去），
∴，大圆O的半径为·
【点睛】本题考查了切线的证明，等腰三角形的判定及性质，直径所对的角是指教，相似三角形的判定及性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解·
9．（2023·广东揭阳·统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家．被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，作线段的中点；②以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；
③连接、，则、是圆的切线．(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；
(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；
(3)如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，，求圆的半径．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）根据题意画图即可；（2）画圆得到半径相等，然后推论出直角即可证切线；
（3）根据相似得到边的数量关系，列方程求解即可．
【详解】（1）如图，

（2）连接，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵是圆半径，∴是圆的切线，同理可得，是圆的切线．
（3）连接交于点，连接，∵、是圆的切线，∴
∵∴是线段的垂直平分线，∴，，
∵，，∴，
∵，，∴，∴，
设圆的半径为，∴，在中，，
∴，解得（负值舍去）
【点睛】此题考查圆的综合应用，解题关键是通过相似三角形得到边的数量关系，然后根据勾股定理列方程求解．
10．（2023·山东聊城·九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：PA切⊙O于点A，AB是⊙O的一条弦，∠PAB就是⊙O的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角．根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题．
（1）如图1，PA是⊙O的切线，A为切点，AC为直径，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠C．求证：∠PAB＝∠C．（2）如图2，PA是⊙O的切线，A为切点，∠PAB夹弧所对的圆周角为∠D．求证：∠PAB＝∠D．
（3）如图3，AB为半⊙O的直径，O为圆心，C，D为半⊙O上两点，过点C作半⊙O的切线CE交AD的延长线于点E，若CE⊥AD，且BC＝1，AB＝3，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由切线的性质可知，∠CAP＝90°，所以∠CAB+∠PAB＝90°．再根据直角三角形两锐角互余可得，∠CAB+∠C＝90°，所以∠PAB＝∠C．（2）如图2，作直径AC，连接BC，利用（1）中的结论及同弧所对的圆周角相等可得结论．（3）连接AC，由题意可知，△ACE∽△ABC，结合（1）中的结论易得△DCE∽△BAC，得出比例，进而可得结论．
【详解】解：（1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴∠CAP＝90°，∴∠CAB+∠PAB＝90°．
又∵AC是直径，∴∠B＝90°，∴∠CAB+∠C＝90°，∴∠PAB＝90°-∠CAB＝∠C．
（2）证明：如图，过点A作直径AC，连接BC，
∵AP为切线，由（1）得，∠PAB＝∠C，又∵∠C＝∠D，∴∠PAB＝∠D．
（3）连接AC，CD，∵EC为⊙O的切线，由①得∠ECA＝∠B，
又∵∠AEC＝∠ACB＝90°∴△ACE∽△ABC，∴，∠CAE=∠BAC，
在Rt△ACB中，根据勾股定理AC=，
∴，∴，
又∵CE为⊙O的切线，∴∠DCE＝∠EAC，∴∠DCE=∠BAC，
又∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△DCE∽△BAC，∴，∴，∴．
【点睛】本题考查弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握弦切角，直径所对圆周角性质，切线性质，勾股定理，三角形相似判定与性质是解题关键．
11．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，为⊙O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H．点A在上，点B在上，．

(1)求证：．(2)求证：．(3)在⊙O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G．若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】（1）证明即可；（2）连接，交于点，根据平行线的性质和已知条件证明垂直平分即可；（3）利用对称的性质作辅助线，根据已知条件，转化为解直角三角形问题即可．
【详解】（1）和是所对的圆周角，，
，∴，∴，∴．
（2）连接，交于点，

与为一组平行弦，即：，，
，，
，，
，，是的垂直平分线，．
（3）连接、，过点作，垂足为，设点的对称点，连接、，
，，∴，，
，是等腰三角形，
，，，，
为直径，，，
，，，
，在中，，
，，，
在中，，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，同弧所对圆周角相等、构建合适的辅助线是解题的关键；熟练掌握相似三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、熟悉锐角三角函数解决直角三角形．
12．（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；
(2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上）
(3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示．

【答案】(1)见解析(2)0，1，0(3)①等腰三角形，理由见解析，②
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，即可得证；
（2）由（1）的结论，根据相似三角形的性质可得，即可得出0，根据已知条件可得，，即可得出根据相似三角形的性质可得，根据恒等式变形，进而即可求解．（3）①记的面积为，则，，根据已知条件可得，进而可得，得出，结合同弧所对的圆周角相等即可证明是等腰三角形；
②证明，，根据相似三角形的性质，得出，则，，计算即可求解．
【详解】（1）证明：，，即，
又，；
（2），，
，，
∵∴，
∴，
∵，，，
，，
，，，，
，，，故答案为：0，1，0
（3）①记的面积为，则，，①
，即，②
由①②可得，即，，
，即，
∴点D和点C到的距离相等，，，
，，都为等腰三角形；
②，，，，，
，，
，，又，，，
，，
则，，．
【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定，对于相似恒等式的推导是解题的关键．
13．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点．

【答案】见解析
【分析】情况二：如图2，连接、，可得由同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，进而结论得证；情况三：如图3，连接，连接并延长交于，连接．由切线的性质可得，即，由直径所对的圆周角为直角可得，证明，由，可得，则，证明，进而结论得证．
【详解】

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，切线的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用
14．（2023·辽宁大连·模拟预测）如图1，内接于，点D为圆外上方一点，连接，若．
(1)求证：是的切线；(2)如图2，连接．若，，，求的半径．（注：本题不允许使用弦切角定理）
【答案】(1)见解析(2)R=
【分析】(1)连接，根据圆周角定理，得到；根据，得到即，等量代换即可证明．
(2) 延长交于F，连接，过A作于E．先证明，再利用勾股定理，三角函数计算，的长度，再次运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图，连接，根据题意，得；

∵，∴即，
∵，∴，∴，∴是的切线．
（2）如图，延长交于F，连接，过A作于E．
∵是的直径，，∴，，，
∴，∴，
∵，∴，∴，解得（舍去），∴；
∵；∴，∴，，
∴，∴，故的半径为．
【点睛】本题考查了圆周角定理，正切函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理，切线的判定，熟练掌握正切函数，三角形相似的判定和性质，勾股定理是解题的关键．
15．（2023秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务．
米勒定理
米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程
已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C．
求证：．
证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．
∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴，
∴，∴，……

任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）根据提供的过程，继而证明，可得，再转化为；
（2）连接，根据切割线定理得到，，将已知线段代入求出，再代入中，即可求出结果．
【详解】（1）解：证明：如图2，连接．
∵为的切线，∴，∴．∵，∴．
∵，∴．
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：由（1）可知：，，
∵，，∴，∴，
∵，∴，∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，圆的性质，根据题干中的材料，熟练掌握割线定理是解题的关键．
16．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：
弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）．
如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则．
证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，∴，即．……
任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分．
(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是 ．②求的长．
【答案】(1)见解析(2)①平行；②
【分析】（1）先根据切线的性质和圆周角定理证得，进而证明，利用相似三角形的性质求解即可；（2）根据圆周角定理证得，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）连接，根据已知和（1）中结论和求得，，再利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接．
∵是的切线，∴，∴，即．
∵是直径，∴，即，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：①∵，，
∴，∴，故答案为：平行；
②如图3，连接，∵与相切，为割线，∴，
∵，∴，∴，即，∴，
由（1）可知，，∴，∴，
在中，，由勾股定理可知，，
∴，即，∴，
由（1）中证明过程可知，又，
∴，∴，即 ∴．
【点睛】本题考查圆的切线和割线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键．
17．（2022·山西·三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明：
已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．
求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO．
∵PA切⊙O于点A，∴，即．
∵，∴．
∵，∴．……
任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长．
【答案】(1)补充证明见解析(2)
【分析】（1）根据圆周角定理确定∠O=2∠PCA，根据角的和差关系和等价代换思想确定∠APB=∠CPA，然后根据相似三角形的判定定理和性质即可证明．（2）根据（1）中结论先求出PA2，然后求出PE的长度，最后根据平行线分线段成比例定理即可求出EF的长度．
【详解】（1）解：补充证明如下．
∵∠PCA和∠O分别是所对的圆周角和圆心角，
∴∠O=2∠PCA．∴2∠OAB+2∠PCA=180°．∴∠OAB+∠PCA=90°．∴∠PAB=∠PCA．
∵∠APB=∠CPA，∴．∴．∴．
（2）解：由（1）中结论可知，．
∵PB=BC=4，∴PC=PB+BC=8．∴．
∵PD=5，∴．∴．
∵，∴．∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，角的和差关系，相似三角形的判定定理和性质，平行线分线段成比例定理，正确应用（1）中结论是解题关键．
18．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考
学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务．
任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______．
(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明．
已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________．求证： ___________．

【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；；(2)与相切于点E．；证明见解析
【分析】（1）根据题意得到结论即可；
（2）如图，连接，证明即可得到结论．
【详解】（1）如图，连接．
∵（依据：①__同弧所对的圆周角相等__），，
∴．∴②_______．
∴．故答案为：同弧所对的圆周角相等；；
（2）已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，与相切于点E．
求证： ．

证明：如图，连接，连接并延长交于点D，连接．
∵为的切线，∴，∴，
∵为的直径，∴，∴，∴
∵，∴．
∵，∴，∴，∴．
故答案为：与相切于点E．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，割线定理，熟练掌握割线定理是解题的关键．
19．（2023·广东九年级期中）探究问题：

(1)阅读理解：①如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离．
②如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理．
知识迁移：①请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点．求证：；②根据（2）①的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：
第一步：如图D，在的外部以为一边作等边及其外接圆；
第二步：在上任取一点，连接．易知________；
第三步：请你根据（1）①中定义，在图D中找出的费马点P，则线段______的长度即为的费马距离．(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水．已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值．
【答案】(1)①见解析；②，(2)最小值为
【分析】（1）知识迁移①问，只需按照题意套用托勒密定理，再利用等边三角形三边相等，将所得等式两边都除以等边三角形的边长，即可获证．②问，借用①问结论，及线段的性质“两点之间线段最短”数学容易获解．（2）知识应用，在（1）的基础上先画出图形，再求解．
【详解】（1）解：①证明：由托勒密定理可知
是等边三角形，；
②由题意可得：
线段的长度即为的费马距离．

（2）如图，以为边长在的外部作等边，连接，则知线段的长即为最短距离．
为等边三角形，，，，
，，在中，，，，
从水井到三村庄、、所铺设的输水管总长度的最小值为．
【点睛】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、勾股定理等知识．难度很大，有利于培养同学们钻研问题和探索问题的精神．
20．（2023·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务
托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分）
已知：如图①四边形是的内接四边形；求证：
证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得
又∵ ∴ ∴ ∴，
又，
∴ ∴
∴，∴ ∴
∴ 即
任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．

【答案】(1)
(2)勾股定理 (3)，证明见解析
【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；（2）根据矩形性质验证即可；（3）根据题中证明过程解答即可．
【详解】（1）解： ；
（2）解：当圆内接四边形是矩形时，∴，，∴，
∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理；
（3）解： 证明：∵，
∴ ∴ ∴是等边三角形∴
由托勒密定理得：
∴∴；
【点睛】本题考查新定义下的证明，涉及相似三角形的判定与性质，圆的性质，灵活运用所学知识是关键．
21．（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题：
克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理．
托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和．
如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ．

【答案】
【分析】连接AD，AC，根据圆周角与弦的关系可得AD=AC=BD，设BD=x，在四边形ABCD中，根据托勒密定理有，AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC，建立方程即可求得BD的长．
【详解】解：如图，连接AD，AC，
∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2，
∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x，
解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：．
【点睛】此题考查托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，解题的关键是理解题意添加辅助线．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接．
∵，．∴，（根据）
∴@，∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
证明
情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）：
，∴
∴，即
情况二点P在⊙O外时（如图2）：
情况三当点A和点B重合时（如图3）
割线定理
如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．

证明：如图，连接．
∵（依据：①________________），，
∴．∴②_________________．
∴．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．
已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：．
证明：如图1，连接．
∵，．∴，（根据）
∴@，∴，
∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
证明
情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）：
，∴
∴，即
情况二点P在⊙O外时（如图2）：
情况三当点A和点B重合时（如图3）
证明
情况一点P在内时，连接（如图1）：
，，
∴，
∴，即．
情况二点P在外时（如图2）：
连接、，
，
，，
∴．
情况三当点A和点B重合时（如图3）：
连接，连接并延长交于，连接．为的切线，，即，
是的直径，，
∴，∴，
∵，∴，
∴，
，即，
∴．
割线定理
如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．

证明：如图，连接．
∵（依据：①________________），，
∴．∴②_________________．
∴．