2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题13等腰(等边)三角形中的重要模型之维维尼亚模型(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了75B．0，教材再现等内容，欢迎下载使用。
而今天我们要学习的维维亚尼模型就是维维亚尼定理及其拓展，它的证明主要利用了等面积法，消去相等底边后得到高之间的关系，因此等腰三角形的维维亚尼模型动点只能在底边所在直线上运动，此时连接点和底边所对顶点，能江原图分割成两个底相等的三角形。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc25575" PAGEREF _Tc25575 \h 2
\l "_Tc31770" 模型1.等边三角形中维维尼亚模型 PAGEREF _Tc31770 \h 2
\l "_Tc19386" 模型2.等腰三角形中维维尼亚模型 PAGEREF _Tc19386 \h 7
\l "_Tc23716" PAGEREF _Tc23716 \h 14
模型1.等边三角形中维维尼亚模型
条件：在等边中，P是平面上一动点，过点P作PE⊥AC，PF⊥BC，PD⊥AB，过点A作AM⊥BC。
结论：①如图1，若动点P在三角形ABC内时，则PD+PE+PF=AM；
②如图2，若动点P在三角形ABC外时，则PD+PE-PF=AM。
（当点P在三角形ABC外时，受P的位置影响，不同的位置结论稍有不同，但都可以使用等面积法证明）。

图1 图2
证明：①如图1，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=AC，
则，
∵； ∴PD+PE+PF=AM。
②如图3，连结AP，BP，CP。∵是等边三角形，∴AB=BC=CA，
则，
∵； ∴PD+PE-PF=AM。
例1．（2024·河北·二模）如图，P为边长为2的等边三角形ABC内任意一点，连接PA、PB、PC，过P点分别作BC、AC、AB边的垂线，垂足分别为D、E、F，则PD+PE+PF等于（ ）
A．B．C．2D．
例2．（2024八年级·广东·培优）如图，点P为等边外一点，设点P到三边的距离，且，则的面积等于（ ）

A．B．C．D．
例3．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，P是等边三角形内一点，且，，，以下3个结论：①；②；③；④若点P到三边的距离分别为，，，则有，其中正确的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
例4．（23-24八年级上·云南昆明·期末）如图（1），已知在中， 且 过A作 于点P，点M是直线上一动点，设点M到 两边、的距离分别为m，n， 的高为h．

(1)当点M运动到什么位置时， ，并说明理由．
(2)如图（2），试判断m、n、h之间的关系，并证明你的结论．
(3)如图（3），当点M运动到的延长线上时，求证：
模型2.等腰三角形中维维尼亚模型
条件：如图，等腰（AB=AC）中，点P在BC上运动，过点P作PD⊥AB，PH⊥AC，CE⊥AB，
结论：①如图1，若动点P在边BC上时，则PE+PD=CF。
②如图2，若动点P在BC延长线上时，则|PF-PE|=CD。

图1 图2
证明：①如图1，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PE+PD=CF。
①如图2，连结AP；∵是等边三角形，∴AB=AC，
则，∵； ∴PF-PE=CD。
例1．（23-24八年级上·广西百色·期末）如图，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点O是BC上任意一点，OE⊥AB，OF⊥AC，等腰三角形的腰长为4，面积为4，则OE+OF的值为( )
A．1.5B．2C．2.5D．3
例2．（23-24九年级下·四川成都·阶段练习）如图，将矩形沿EF折叠，使点D落在点B处，P为折痕上的任意一点，过点P作，垂足分别为G，H，若，，则 ．
例3．（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）数学课上，老师画出一等腰并标注：，，然后让同学们提出有效问题并解决请你结合同学们提出的问题给予解答．

(1)甲同学提出：______度；(2)乙同学提出：的面积为：______；
(3)丙同学提出：点D为边的中点，，，垂足为E、F，请求出的值；
(4)丁同学说受丙同学启发，点D为边上任一点，，，，垂足为E、F、H，则有．请你为丁同学说明理由．
例4．（23-24山西八年级上期中）（1）如图（1），已知在等腰三角形中，，点是底边上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．
（2）如图（2），已知在等腰三角形中，，点是底边的延长线上的一点，，垂足为点，，垂足为点．求证：为定长．（3）如图（3），已知：点为等边三角形内任意一点，过分别作三边的垂线，分别交三边与、、．求证：为定长．
例5．（2024·江西·一模）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”，例如：如图1，∠B＝∠C，则四边形ABCD为等邻角四边形．
(1)定义理解：已知四边形ABCD为等邻角四边形，且∠A＝130°，∠B＝120°，则∠D＝______度．
(2)变式应用：如图2，在五边形ABCDE中，ED∥BC，对角线BD平分∠ABC．
①求证：四边形ABDE为等邻角四边形；②若∠A+∠C+∠E＝300°，∠BDC＝∠C，请判断△BCD的形状，并明理由．(3)深入探究：如图3，在等邻角四边形ABCD中，∠B＝∠BCD，CE⊥AB，垂足为E，点P为边BC上的一动点，过点P作PM⊥AB，PN⊥CD，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，判断PM+PN与CE的数量关系？请说明理由．(4)迁移拓展：如图4，是一个航模的截面示意图．四边形ABCD是等邻角四边形，∠A＝∠ABC，E为AB边上的一点，ED⊥AD，EC⊥CB，垂足分别为D、C，AB＝2dm，AD＝3dm，BD＝dm．M、N分别为AE、BE的中点，连接DM、CN，求△DEM与△CEN的周长之和．
1．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在等腰△中，，，是△外一点，到三边的垂线段分别为，，，且，则的长度为（ ）
A．5B．6C．D．
2．（23-24九年级上·重庆·期中）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，tanC＝2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若BD＝4，GE＝1.5，则BF的长度为（ ）

A．0.75B．0.8C．1.25D．1.35
3．（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，是三角形内一点，，若，且是等边三角形，则的周长为（ ）

A．12B．18C．24D．30
4．（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，为等边三角形，点是边上异于B，的任意一点，于点E．于点F．若边上的高线，则 ．
5．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，，点为此三角形内部（包含三角形的边）的一点且到三角形三边的距离和为7，则的最小值为 ．
6．（2024八年级·广东·培优）如图，中，，点P是边上任意一点，点Q是延长线上任意一点，过点P分别作于点D，于点E，过点Q分别作于点F，于点G，则 ．（填“>”“