2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题33最值模型之胡不归模型解读与提分精练(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题33最值模型之胡不归模型解读与提分精练(原卷版+解析)，共48页。
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\l "_Tc24901" 模型1.胡不归模型（最值模型） PAGEREF _Tc24901 \h 1
\l "_Tc28366" PAGEREF _Tc28366 \h 13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（ ）

A．3B．4C．5D．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
例5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标．
(3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．

1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
3.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 ．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ．
12．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上．
（1）的值等于 ；（2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
16．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t．
(1)求直线的函数解析式；(2)连接，，若面积等于面积的，求t的值；
(3)求的最小值．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
专题33 最值模型之胡不归模型
胡不归模型可看作将军饮马衍生，主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握。本专题就最值模型中的胡不归问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。在解决胡不归问题主要依据是：点到线的距离垂线段最短。
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\l "_Tc24901" 模型1.胡不归模型（最值模型） PAGEREF _Tc24901 \h 1
\l "_Tc28366" PAGEREF _Tc28366 \h 13
模型1.胡不归模型（最值模型）
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？”
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.

一动点P在直线MN外的运动速度为V1，在直线MN上运动的速度为V2，且V11，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）。
【最值原理】垂线段最短。
例1.（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在中，，，P为边上的一个动点（不与A、C重合），连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．8
【答案】B
【分析】以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，通过解直角三角形可得的长，再根据，可得，据此即可解答．
【详解】解：如图，以为斜边在下方作等腰直角，过B作于E，连接
，，，，
，，的最小值为．故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，点到直线的距离，作出辅助线是解决本题的关键．
例2．（23-24九年级上·湖南娄底·阶段练习）如图，在矩形中，，E，P分别是边和对角线上的动点，连接，记，若，则的最小值为（ ）

A．3B．4C．5D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角函数的定义，矩形的判定和性质．过点P作于点H，交于点G，求得，根据垂线段最短，知当点E与点G重合时，有最小值，据此求解即可．
【详解】解：过点P作于点H，交于点G，

∵四边形是矩形，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，
当点E与点G重合时，有最小值，最小值为的长，
∵，∴的最小值为3，故选：A．
例3．（2024·陕西渭南·二模）如图，在菱形中，对角线相交于点，，，是对角线上的动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，解直角三角形，过点P作，连接，由菱形的性质可得，则由勾股定理可得，解直角三角形得到，则，进而得到当三点共线，且时，最小，最小值为的长，据此利用等面积法求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点P作，连接，
∵在菱形中，对角线相交于点，，，
∴，∴，∴，
∴在中，，∴，
∴当三点共线，且时，最小，最小值为的长，
∴此时有，∴，∴，
∴的最小值为，故答案为：．
例4．（2023·云南昆明·统考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】连接AC，作，证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，再利用勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果．
【详解】解：连接AC，作
∵是正方形且边长为4，∴，，，
∵，∴，∴，
∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG，
∵，，∴，∵，∴，
设，则，∴，解得：，
设，则，∵，∴，解得：
∴，故选：D
【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，勾股定理，所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是证明当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG．
例5．（23-24九年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是的直径，切于点交的延长线于点．设点是弦上任意一点（不含端点），若，，则的最小值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作平分，交于，连接、、，过点作于，根据切线的性质和三角形内角和定理可得，求得，根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得，求得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据菱形的判定和性质可得平分，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质可得，根据等边对等角和三角形内角和定理求得，根据特殊角的锐角三角函数可求得，推得，根据垂线段最短可得，当、、三点共线时，的值最小，即时，的值最小，根据特殊角的锐角三角函数可求得，即可求解．
【详解】解：作的角平分线，交于，连接、、，过点作于，如图：

∵，∴，又∵，∴，∴，
∵平分，则，
∵，，∴，即，
又∵，，∴，∴，即圆的半径为，
∵，，∴、是等边三角形，
∴，∴四边形是菱形，∴平分，∴，
又∵，，∴，∴，
∵，∴，
∴，即，∴．若使的值最小，即的值最小，
当、、三点共线时，，此时的值最小，即时，的值最小，
此时，，，故选：D．
【点睛】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，特殊角的锐角三角函数，垂线段最短，解题的关键是明确当、、三点共线时， 的值最小，即的值最小．
例7．（2023·四川自贡·统考中考真题）如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线上的一动点，动点，连接．当取最小值时，的最小值是 ．

【答案】
【分析】作出点，作于点D，交x轴于点F，此时的最小值为的长，利用解直角三角形求得，利用待定系数法求得直线的解析式，联立即可求得点D的坐标，过点D作轴于点G，此时的最小值是的长，据此求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴，，
作点B关于x轴的对称点，把点向右平移3个单位得到，
作于点D，交x轴于点F，过点作交x轴于点E，则四边形是平行四边形，
此时，，∴有最小值，作轴于点P，

则，，∵，∴，∴，
∴，即，∴，则，设直线的解析式为，
则，解得，∴直线的解析式为，
联立，，解得，即；过点D作轴于点G，
直线与x轴的交点为，则，∴，
∴，∴，
即的最小值是，故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
例8．（2024·山东济南·一模）实践与探究
【问题情境】（1）①如图1，，，，分别为边上的点，，且，则______；②如图2，将①中的绕点顺时针旋转，则所在直线较小夹角的度数为______．
【探究实践】（2）如图3，矩形，，，为边上的动点，为边上的动点，，连接，作于点，连接．当的长度最小时，求的长．
【拓展应用】（3）如图4，，，，，为中点，连接，分别为线段上的动点，且，请直接写出的最小值．
【答案】（1）①；②；（2）2；（3）
【分析】（1）①由得出，再由相似三角形的性质即可得解；②延长交于，令交于，由旋转的性质结合三角形内角和定理计算即可得出答案；
（2）延长，相交于点，连接．由矩形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质得出点为中点，由直角三角形的性质得出，当，三点共线时取得最小值，证明出为等边三角形，即可得解；
（3）分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，证明，得出，再证明出四点共圆，得出，，解直角三角形得出，即可得出，最后由勾股定理计算即可得出答案．
【详解】解：（1）①，，，故答案为：；
②如图，延长交于，令交于，

由①可得，由旋转的性质可得：，
，，，
所在直线较小夹角的度数为，故答案为：；
（2）延长，相交于点，连接．
四边形是矩形，，，∴，
，∴，∴，∴点为中点， ，
∵于点，∴在中，，
∵在中，，且为定值，∴当，三点共线时取得最小值，
∵，∴，此时为等边三角形，．
（3）如图，分别过点和作垂线，两线相交于点，连接、、，则，
，，，，为中点，
，，，
为等边三角形，，，
，，，，，
，，，，四点共圆，
，， 在中，，
，，
在中，，的最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、矩形的性质、旋转的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
例9．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，连接．(1)直接写出点B、C的坐标，B________；C________．
(2)点P是y轴右侧抛物线上的一点，连接、．若的面积，求点P的坐标．
(3)设E为线段上任意一点（不含端点），连接，一动点M从点A出发，沿线段以每秒1个单位速度运动到E点，再沿线段以每秒2个单位的速度运动到C后停止，求点M运动时间的最小值．

【答案】(1)，(2)或或(3)点M的运动时间的最小值为7秒
【分析】（1）根据抛物线计算即可；（2）利用同底等高的三角形面积相等构造与平行直线，找到与抛物线的交点P；（3）如图，在x轴上取一点G，连接，使得，作于N．作于交于．由点M的运动时间，，推出点M的运动时间，根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．由此即可解决问题；
【详解】（1）解：当时，，
当时，，解得：，，故答案为：，；
（2）解：设x轴上点D，使得的面积，，解得：，
，，则可求直线解析式为：，故点D坐标为或，
当D坐标为时，过点D平行于的直线l与抛物线交点为满足条件的P，
则可求得直线l的解析式为：，
求直线l与抛物线交点得：，解得：，，
则P点坐标为或，同理当点D坐标为时，直线l的解析式为，
求直线l与抛物线交点得：，解得：（舍弃），，
则点P坐标为，综上满足条件P点坐标为：或或；
（3）解：如图，在x轴上取一点G，连接CG，使得，作于N．作于交BC于．

，，，
，直线的解析式为，
点M的运动时间， ，点M的运动时间，
根据垂线段最短可知，当A，E，N关系，点N与重合，点E与重合时，点M的运动时间最少．
由题意，，，点M的运动时间的最小值为7秒，此时．
【点睛】本题为代数几何综合题，考查了二次函数图象性质、一次函数图象性质及圆的有关性质是解答本题的关键．
1．（2024·山东淄博·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点C的坐标是，点是x轴上的动点，点B在x轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P不在第二象限），连接，求得的最小值为（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】C
【分析】如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，先求出点D的坐标，然后证明△BAO≌△PAD得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，当点P运动到y轴时，如图2所示，证明此时点P的坐标为（0，-2）从而求出直线PD的解析式；如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，设直线PD与x轴的交点为H，先求出点H的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G在x轴上，则OG即为所求．
【详解】解：如图1所示，以OA为边，向右作等边△AOD，连接PD，过点D作DE⊥OA于E，
∵点A的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D的坐标为；
∵△ABP是等边三角形，△AOD是等边三角形，∴AB=AP，∠BAP=60°，AO=AD，∠OAD=60°，
∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO，即∠BAO=∠PAD，∴△BAO≌△PAD（SAS），∴∠PDA=∠BOA=90°，
∴点P在经过点D且与AD垂直的直线上运动，
当点P运动到y轴时，如图2所示，此时点P与点C重合，
∵△ABP是等边三角形，BO⊥AP，∴AO=PO=2，∴此时点P的坐标为（0，-2），
设直线PD的解析式为，∴，∴，∴直线PD的解析式为；
如图3所示，作点A关于直线PD的对称点G，连接PG，过点P作PF⊥y轴于F，连接CG，设直线PD与x轴的交点为H，∴点H的坐标为，∴，∴∠OCH=30°，∴，
由轴对称的性质可知AP=GP，∴，
∴当G、P、F三点共线时，有最小值，即有最小值，
∵A、G两点关于直线PD对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD，即点D为AG的中点，
∵点A的坐标为（0，2），点D的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，
∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG是等边三角形，∵OC=OA，∴OG⊥AC，即点G在x轴上，
∴由勾股定理得，∴当点P运动到H点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG的长，∴的最小值为，故选：C．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，解直角三角形等等，正确作出辅助线确定点P的运动轨迹是解题的关键．
2．（2024·四川德阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点．若P为y轴上一个动点，连接，则的最小值为（ ）
A．B．2C．2D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，关键在于把求最小值转化为求的最小值；连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H；由B、C的坐标得，则有，从而；于是求最小值转化为求的最小值；利用勾股定理即可求得最小值．
【详解】解：连接，过点P作于点G，连接，过点A作于点H，如图，
，，，，
∴，的最小值为的长，
∵， ，在中，，，
的最小值为．故选：C．
3.（2024·山东校考一模）如图，，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为，在AD上的速度为4个单位/秒，在CD上的速度为1个单位/秒，则整个运动时间最少时，D的坐标为 ．
【答案】
【分析】如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M，交AO于D′．运动时间，由，推出，可得，推出当共线且和重合时，运动时间最短．
【详解】如图，作于H，于，交AO于．
∵运动时间，∵，，∴，
∵，C（1，0），，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴当C，D，H共线且和CM重合时，运动时间最短，
，∴，∴，
∵，设，则，则有：
∴或（舍去），∴∴
4．（2023·湖南湘西·统考中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．

【答案】6
【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可．
【详解】如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接

∵是等边三角形， ∴
∵是等边三角形的外接圆，其半径为4∴，，
∴ ∴
∵∴∴
∵，∴∴
∴的最小值为的长度∵是等边三角形，，
∴∴的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
5．（2023·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在中，，，，按下列步骤作图：①在和上分别截取、，使．②分别以点D和点E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M．③作射线交于点F．若点P是线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点P作于点Q，过点C作于点H，先利用角平分线和三角形的内角和定理求出，然后利用含的直角三角的性质得出，则，当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，利用含的直角三角的性质和勾股定理求出，，最后利用等面积法求解即可．
【详解】解：过点P作于点Q，过点C作于点H，
由题意知：平分，∵，，∴，
∴，∴，∴，
∴当C、P、Q三点共线，且与垂直时，最小，最小值为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了尺规作图-作角平分线，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识，注意掌握利用等积法求三角形的高或点的线的距离的方法．
6．（2022·湖北武汉·九年级期末）如图，▱中，，，为边上一点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】作PH丄AD交AD的延长线于H，由直角三角形的性质可得HP=DP，因此PD+2PB=2(DP+PB)=2(PH+PB)，当H、P、B三点共线时HP+PB有最小值，即PD十2PB有最小值，即可求解．
【详解】如图，过点作，交的延长线于，
四边形是平行四边形，，∴
∵PH丄AD∴∴，，
∴
当点，点，点三点共线时，HP+PB有最小值，即有最小值，
此时 ，，，∴ ，
则最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了胡不归问题，平行四边形的性质，直角三角形的性质，垂线段最短等知识．构造直角三角形是解题的关键．
7．（2023·江苏宿迁·统考二模）已知中，，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】过点C作，垂足为D，取，即可说明是等腰直角三角形，求出，进一步求出，继而将转化为，推出点D在以为直径的圆上，从而可知当为等腰直角三角形时，最大，再求解即可．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为D，取，
∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，
∵，而一定，
∴当的面积最大时，最大，∵，∴点D在以为直径的圆上，
∴当D平分时，点D到的距离最大，即高最大，则面积最大，
此时，则为等腰直角三角形，∴，故答案为：．
．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是添加辅助线，将最值转化为的长．
8．（2023·陕西西安·校考二模）如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，D、F分别是边AB、BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB的最小值为 ．
【答案】
【分析】“胡不归模型”，以BF为斜边构造含30°角的直角三角形，结合∠B＝30°，即把Rt△ABC补成等边△ABP，过F作BP的垂线FH，根据垂线段最短得，当G、F、H成一直线时，GF+FB最短，又根据直角所对的弦是直径，可得点G在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，据此解题．
【详解】解：如图，延长AC到点P，使CP=AC，连接BP，
过点F作FH⊥BP于点H，取AC的中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=8，∴AC=CP=4，AP=8，BP=AB=8，∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH=30°，
在Rt△FHB中，FH=FB， ∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB=GF+FH取得最小值，
∵AE⊥CD，∴∠AGC=90°，∵O为AC的中点，∴OA=OC=OG=AC，
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动，∴当点G运动到OQ上时，GF+FH取得最小值，
∵在Rt△OPQ中，∠P=60°，OP=6，sinP=，
∴，∴GF+FH的最小值为，即GF+FB的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查含30°直角三角形性质，特殊角的三角函数值，垂直平分线性质，点到直线距离，圆周角定理，最短路径，解题关键是找到点G运动到什么位置时，GH最小，联想到找出点G运动路径再计算．
9．（2023上·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，，点E，F分别在边上，且，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】作于H，作于L，首先利用勾股定理得的长，再根据，求出的长，再利用，得，则当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，进而解决问题．
【详解】解：如图，作于H，作于L，
在矩形中，，，，， ，
∵沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，∴，，∴，
又∵，∴，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴当E、M、L三点共线时，最小，最小值为的长，
∴，∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，垂线段最短等知识，熟练掌握最短路径的计算方法是解题的关键．
10．（2023·浙江宁波·九年级开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，若C为x轴上的一动点，则2BC+AC的最小值为__________．
【答案】6
【分析】先求出点A，点B坐标，由勾股定理可求AB的长，作点B关于OA的对称点，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得CH＝AC，则，即当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：∵一次函数分别交x轴、y轴于A、B两点，
∴点A（3，0），点，∴AO＝3，，∴，
作点B关于OA的对称点，连接 ，，过点C作CH⊥AB于H，如图所示：
∴，∴，∴，∴是等边三角形，
∵，∴，∵CH⊥AB，∴，
∴，
∴当点，点C，点H三点共线时，有最小值，即2BC＋AC有最小值，
此时，，是等边三角形，∴，，
∴，∴2BC＋AC的最小值为6．故答案为：6．
【点睛】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点C的位置是解题的关键．
11．（2023·四川成都·九年级校考期中）如图，在矩形中，，E是上一个动点，连接，过点C作的垂线l，过点D作交l于点F，过点D作于点G，，点H是中点，连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】证明，得出，再证，求出，所以，即，可得．作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，求出，所以．求的最小值，即为求的最小值，过点H作于点J，即为所求最小值．设，根据勾股定理可得出，所以，由，可求得的长度．
【详解】解：在矩形中，，∴，
∵于点C，∴，∴．
∴．同理可证，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵于点G，∴，
∵，∴，
∴，即，
∵，∴，∴，∴．
如图，作的垂直平分线，交的延长线于点T，连接，过点E作于点Q，
∴，∴，即．
∴．∴，∴求的最小值，即为求的最小值，
过点H作于点J，HJ即为所求最小值．设，则，
在中，由勾股定理可知，，解得，∴．
如图，连接，，∵点H是的中点，∴，
∵，∴，
即，解得．故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，垂线段最短，三角形的面积等相关知识，根据题意作出辅助线，将所求目标转化为求垂线段的长度是解题关键．
12．（2023春·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，菱形的边长为5，对角线的长为，为上一动点，则的最小值等于______．
【答案】4
【分析】由四边形是菱形，根据已知线段长度，将转化，再根据垂线段最短即可求解．
【详解】解：如图，连接交于点M，过点M作于点H，过点A作于点G，交于点P，
四边形是菱形，边长为5，，
，，，，
，，
，，，，，
，即，，
当A，P，G三点共线且时，取最小值，最小值为，
菱形的面积，，
的最小值是4．故答案为：4．
【点睛】本题考查菱形的性质，解直角三角形，以及最短路径问题，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，菱形的面积公式，将转化为是解题的关键．
13．（2023·广东珠海·校考三模） 如图，在中，，，，点是斜边上的动点，则的最小值为 .

【答案】
【分析】根据两点之间线段最短画出图形，再根据锐角三角函数及相似三角形判定可知，最后利用相似三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
【详解】解：过点做，过点作于，过点作于点，
∴，∴，
∵两点之间线段最短，∴当共线时，的值最小，即的最小值为，
∵，，，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
∴，，∵，∴，
∴，，
∴，∴，故答案为．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
14．（2024·湖北黄冈·模拟预测）如图，在中，，，，点D是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】本题考查利用轴对称求最小值问题，涉及解直角三角形、勾股定理等知识．作点关于的对称点，连接，作，垂足为，利用勾股定理求得，利用三角函数求得，将转化为，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，作，垂足为，
∵，，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵点与点关于对称，∴，∴，
当共线时，有最小值，最小值为的长．
在中，，∴，
∴，即的最小值为．故答案为：．
15．（2024·天津红桥·二模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上．
（1）的值等于 ；（2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ．
【答案】 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求．
【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解，
（2）由，当时，取得最小值，即取得最小值，找到中点，中点G，，，根据特殊角直角三角形的性质，通过的圆心角得到，的圆周角，即可求解，
本题考查了，直径所对圆周角为，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：将问题转化为．
【详解】解：（1）连接，∵为直径，∴，
∵等腰直角三角形，∴，∴，∴；
（2）在左侧，作，，
则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值，此时 ，，
则是等边三角形，过点作，交于点，交于点，则为中点，为中点，
∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点，用无刻度直尺作图如下，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求．
16．（23-24八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，直线分别交轴，轴于点，点，点在轴正半轴上，且，点在直线上，点是轴上的一个动点，设点P横坐标为t．
(1)求直线的函数解析式；(2)连接，，若面积等于面积的，求t的值；
(3)求的最小值．
【答案】(1)(2)10或(3)
【分析】（1）根据题意求得，，推得，求得，待定系数法求直线的函数解析式即可；（2）根据题意求得，，根据面积等于面积的，列式即可求得或；（3）过点作点，根据等边对等角可得，推得，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得，推得，当点、、三点共线时，为的最小值，根据等角对等边可得，推得，根据勾股定理可得，即可得到的最小值为．
【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于点，点，
将代入，解得，将代入，解得，
∴，，∴，，∵，∴，
设直线的解析式为．将，代入得
，解得，∴直线的解析式为；
（2）解：如图：
∵设点横坐标为，，∴，∵点在直线：上，
将代入解得，∴，
∵面积等于面积的，∴，
∴解得：或．
（3）如图，过点作点，
在中，∵，∴，
∴，∴，
在，根据勾股定理得，，∴；
当点、、三点共线时，为的最小值，
在中，∵，∴，
∵，根据勾股定理，得∴的最小值为．
【点睛】本题考查了求一次函数与坐标轴交点，求一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，根据勾股定理求得最小值是解题的关键．
17．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；(2)当时，求的函数值的取值范围；(3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值．
【答案】(1)(2)(3)的最小值为：
【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可；（2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案；（3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，∴，解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵的对称轴为直线，而，∴函数最小值为：，
当时，，当时，，∴函数值的范围为：；
（3）解：∵，当时，，∴，
当时，解得：，，∴，∴，
设直线为，∴，∴，∴直线为，
∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为，∴，∴在直线上，
如图，过作于，连接，过作于，
∵，，∴，，
∵对称轴与轴平行，∴，∴，∴，
由抛物线的对称性可得：，，
∴，当三点共线时取等号，
∴，∴，∴，
即的最小值为：．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
18．（2023·山东济南·统考二模）如图①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，连接OB，反比例函数y=(x＞0)的图象经过线段OB的中点D，并与矩形的两边交于点E和点F，直线l：y=kx+b经过点E和点F．
（1）写出中点D的坐标 ，并求出反比例函数的解析式；（2）连接OE、OF，求△OEF的面积；
（3）如图②，将线段OB绕点O顺时针旋转一定角度，使得点B的对应点H恰好落在x轴的正半轴上，连接BH，作OM⊥BH，点N为线段OM上的一个动点，求HN+ON的最小值．

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．
【分析】（1）首先确定点B坐标，再根据中点坐标公式求出点D的坐标即可解决问题．
（2）求出点E，F的坐标，再根据S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB计算即可．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先证明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ON•sin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的长，由此即可解决问题．
【详解】（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，∴B(3，4)．
∵OD=DB，∴D(，2)．∵y=经过D(，2)，∴k=3，∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图①中，连接OE，OF．由题意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．
（3）如图②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．由题意OB=OH=5，∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，
∴BH==2，∴sin∠CBH==．∵OM⊥BH，∴∠OMH=∠BCH=90°．
∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，∴∠MOH=∠CBH．
∵OB=OH，OM⊥BH，∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，
∴sin∠JOD=，∴NJ=ON•sin∠NOD=ON，∴NH+ON=NH+NJ，
根据垂线段最短可知，当J，N，H共线，且与HK重合时，HN+ON的值最小，最小值=HK的长．
∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，∴HK=BC=4，∴HN+ON是最小值为4．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，矩形的性质，解直角三角形，三角形的面积，最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
19．（2023·吉林长春·统考一模）（1）【问题原型】如图①，在，，，求点到的距离．
（2）【问题延伸】如图②，在，，．若点在边上，点在线段上，连结，过点作于，则的最小值为______．
（3）【问题拓展】如图（3），在矩形中，．点在边上，点在边上，点在线段上，连结．若，则的最小值为______．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）过点作于，过点作于，根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（2）连接，过点作于，过点作于．根据题意可得的最小值等于的长，再由当时，的长最小，可得的最小值等于的长，再根据等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长，再由，即可求解；
（3）过点F作于点H，连接，过点E作于点G，根据直角三角形的性质可得在，从而得到，继而得到的最小值等于，再由当时，的长最小，即的长最小，可得的最小值等于，即可求解．
【详解】解：（1）如图，过点作于，过点作于．

∵，∴．在中，．
∵，∴．∴点到的距离为．
（2）如图，连接，过点作于，过点作于．
∵，∴的最小值等于的长，
∵当时，的长最小，此时点Q与点H重合，
∴的最小值等于的长，∵，∴．
在中，．
∵，∴．
即的最小值为；故答案为：
（3）如图，过点F作于点H，连接，过点E作于点G，
在中，，∴，
∴，∴的最小值等于，
∵当时，的长最小，即的长最小，此时点H与点G重合，
∴的最小值等于，
∵四边形是矩形，∴，
∴，∴，即的最小值等于．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．