2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题34最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练(原卷版+解析)

这是一份2025年中考数学几何模型归纳训练(全国通用)专题34最值模型之阿氏圆模型解读与提分精练(原卷版+解析)，共51页。

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\l "_Tc28838" 模型1.阿氏圆模型 PAGEREF _Tc28838 \h 1
\l "_Tc23193" PAGEREF _Tc23193 \h 12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的最大值是9B．的最小值是
C．D．面积的最大值是40
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为 ．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF 的最小值为 ．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值= ．
11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在中，，的半径为2，D是上一动点，点E在上，，连接，则的最小值
12．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .

16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
20．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．(1)如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．(2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．(3)如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．
专题34 最值模型之阿氏圆模型
最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
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\l "_Tc28838" 模型1.阿氏圆模型 PAGEREF _Tc28838 \h 1
\l "_Tc23193" PAGEREF _Tc23193 \h 12
模型1.阿氏圆模型
动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。
如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？
如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴，
∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。
其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。
阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。
阿氏圆最值问题常见考法：点在圆外：向内取点（系数小于1）；点在圆内：向外取点（系数大于1）；一内一外：提系数；隐圆型阿氏圆等。
注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
例1．（2024·安徽合肥·二模）在中，，点D是平面上一点，且，连接，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的最大值是9B．的最小值是
C．D．面积的最大值是40
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、勾股定理、点和圆的位置关系等知识，牢记相关性质是解题关键，根据点和圆的位置关系直接判断A、C、D，根据相似三角形判定与性质及勾股定理、两点之间线段最短判断B即可．
【详解】解：A、，点D是平面上一点，且，
点A、C、D在同一直线上且D在延长线上时，长度的最大值是，故本选项不符合题意；

B、在上取点E，使，连接，
当B、D、E共线时最小，
此时，，故本选项符合题意；
C、点D是平面上一点，且，点在以点C为圆心，4为半径的圆上，
随着点D 的变化而变化，故本选项不符合题意；
D、点在以点C为圆心，4为半径的圆上，
如下图，当所在直线垂直于时，面积的最大，
在中，，，
，，，
，面积的最大值是44，故本选项不符合题意；故选：B．
例2．（2024·广东·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______．
【答案】
【解析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造，在BC上取M使得此时PM=，则在点P运动的任意时刻，均有PM=，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．
例3.（2023·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则PA＋PB的最小值为________．
【答案】
【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形构造PB即可解答．
【详解】解：设⊙O半径为r，
OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，
∵， ，∴ ，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，
∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，
∴当A、P、I在一条直线上时，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，
∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB−BE＝3，
∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，
∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．
【点睛】本题是“阿氏圆”问题，解决问题的关键是构造相似三角形．
例4．（2024·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ___．
【答案】
【分析】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC, 根据，∠AOP是公共角，可得△AOP∽△POC，得PC=3PA，当B,C,P三点共线时，3PA+PB的值最小为BC，利用勾股定理求出BC的长即可得答案．
【详解】如图，在y轴上取一点C（0,9），连接PC,
∵⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），∴OP=3，OA=1，OB=2，OC=9,
∵，∠AOP是公共角，∴△AOP∽△POC，∴PC=3PA，
∴3PA+PB=PC+PB,∴当B,C,P三点共线时，3PA+PB最小值为BC,
∴BC===，∴3PA+PB的最小值为．故答案为：
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质及最小值问题，正确理解C、P、B三点在同一条直线上时3PA+PB有最小值，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
例5．（2024·山东·模拟预测）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．
【解答】解：在上取点，使，，，
，，，，
在延长线上取，，则，
又，，，，
，
当为和圆的交点时最小，即最小，且值为，
，的最小值为，故答案为：．
例6．（2024·广东·模拟预测）如图，在中，，，，、分别是边、上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【解答】解：如图，在上取一点，使得，连接，．
，，，，，，，
，，，，，
，，
，的最小值为
例7．（2024·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】由折叠的性质可得，点在以为圆心，以为半径的圆上，在线段上取一点，使得，利用相似三角形的性质得到，从而得到，当且仅当三点共线时，取得最小值，即可求解．
【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上，
在线段上取一点，使得，则 ∵，∴

又∵∴∴∴
∴
如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值
，∴的最小值为：
例8．（2024·广东·校考二模）（1）初步研究：如图1，在△PAB中，已知PA=2，AB=4，Q为AB上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）10；（3）
【分析】（1）证明△PAQ∽△BAP，根据相似三角形的性质即可证明PB=2PQ；
（2）在AB上取一点Q，使得AQ=1，由（1）得PB=2PQ，推出当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小，再利用勾股定理即可求得2PC+PB的最小值；（3）作出如图的辅助线，同（2）法推出当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大，再利用勾股定理即可求得2PC−PB的最大值．
【详解】解：（1）证明：∵PA=2，AB=4，AQ=1，∴PA2=AQ⋅AB=4．∴．
又∵∠A=∠A，∴△PAQ∽△BAP．∴．∴PB=2PQ；
（2）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ．
∴AP=2，AB=4，AQ=1．由（1）得PB=2PQ，∴2PC+PB=2PC+2PQ=2(PC+PQ)．
∵PC+PQ≥QC，∴当点C、P、Q三点共线时，PC+PQ的值最小．
∵QC==5，∴2PC+PB=2(PC+PQ)≥10．∴2PC+PB的最小值为10．

（3）如图，在AB上取一点Q，使得AQ=1，连接AP，PQ，CQ，延长CQ交⊙A于点P′，过点C作CH垂直AB的延长线于点H．易得AP=2，AB=4，AQ=1．
由（1）得PB=2PQ，∴2PC−PB=2PC−2PQ=2(PC−PQ) ，
∵PC−PQ≤QC，∴当点P在CQ交⊙A的点P′时，PC−PQ的值最大．
∵QC= =，∴2PC−PB=2(PC−PQ)≤2．∴2PC−PB的最大值为2．
【点睛】本题考查了圆有关的性质，正方形的性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决．
例9．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．

(1)求直线及抛物线的表达式；(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)以点为圆心，画半径为2的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】(1)直线的解析式为；抛物线解析式为
(2)存在，点M的坐标为或 或(3)
【分析】（1）根据对称轴，，得到点A及B的坐标，再利用待定系数法求解析式即可；
（2）先求出点D的坐标，再分两种情况：①当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；②当时，求出直线的解析式为，解方程组，即可得到点M的坐标；（3）在上取点，使，连接，证得，又，得到，推出，进而得到当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，利用勾股定理求出即可．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，∴，
将代入直线，得，解得，∴直线的解析式为；
将代入，得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在点，∵直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点．
∴当时，，∴，
①当时，设直线的解析式为，将点A坐标代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，得或，∴点M的坐标为；
②当时，设直线的解析式为，将代入，
得，解得，∴直线的解析式为，
解方程组，解得或，∴点M的坐标为 或
综上，点M的坐标为或 或；
（3）如图，在上取点，使，连接，
∵，∴，∵，、∴，
又∵，∴，∴，即，
∴，∴当点C、P、F三点共线时，的值最小，即为线段的长，
∵，∴，∴的最小值为．

【点睛】此题是一次函数，二次函数及圆的综合题，掌握待定系数法求函数解析式，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求两图象的交点坐标，正确掌握各知识点是解题的关键．
1．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，．
沿边翻折到，，又，，，，
又，，，，
，当、、三点共线时，最小，
在中，，，，
，即的最小值为．
2．（2024年广东深圳中考模拟试题）如图，矩形中，，点是矩形内部一个动点，且，连接，则三分之二的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，由矩形的性质可得，，推出，证明，得到，推出，即当、、共线时，取最小值，最小值为，最后根据勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：点在以为圆心，为半径的圆弧上运动，在上取一点，使，连接，矩形中，，，，，，
，，又，，，，
，当、、共线时，取最小值，最小值为，
，故选:B．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆的性质，勾股定理，线段和最短问题，解题的关键是正确作出辅助线．
3．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形中，已知，，E为边上一动点，将沿翻折到的位置，点A与点F重合，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，找到最小距离是解题的关键．在上取点G，使，连接FG，DG，证明，可得出，则，当、、三点共线时，最小，在中，利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，在上取点G，使，连接，．
沿边翻折到，，又，，，，
又，，，，，
当、、三点共线时，最小，在中，，
，，，即的最小值为．故选：D．
4．（2024·山东泰安·二模）如图，在中，，，，以为圆心，为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．在上截取，使得，连接，，．利用相似三角形的性质证明，可得，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，在上截取，使得，连接，，．
∵，，，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵ ，在中，，，，
∴，∴，∴的最小值为．故选：C．
5．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，点P为边的中点，点E在边上，连接，点F为上的动点，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．作于点，证明，求得，当三点共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：∵矩形中，，点P为边的中点，
∴，，
作于点，∴，∴，
∴，即，∴，∴，
当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
此时，∴的最小值为6，故答案为：6．
6．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图所示，正方形边长为8，为中点，为上的动点，为上的点，且，连接，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，取的中点，连接，证明，得出，从而得出，连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，再由勾股定理求出的长即可．
【详解】解：取的中点，连接，
，
∵四边形为正方形，边长为8，为中点，∴，，，
∵为上的动点，∴，∴，
∵为中点，∴， ∴，∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
连接交于，当、、在同一直线上时，最小，即最小，最小为，
∵，∴最小值为，故选：D．
7．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，
如图，连接，由勾股定理得，，
如图，在上取点使，则，连接，，
∵，，∴，∴，即，∴，∴当三点共线时，的值最小，为，
如图，作于，∴，∴，∴，
∴，即，解得，∴，
由勾股定理得，，由勾股定理得，，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
8.（2024·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，点，分别在边，上（不与顶点重合），且满足，连接，交于点．，分别是边，的中点，连结接，．若正方形的边长为，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由四边形是正方形，得，，证明，根据性质得出，点无论在何处，均有，即点在以中点为圆心，为直径的圆上，用点表示的中点，连接，用点表示的中点，用点表示的中点，连接，以为圆心，为半径画圆，然后证明，则，故的最小值也就是的最小值，当点三点共线时，最小，最小值为线段的长度，最后由勾股定理即可求解．
【详解】∵四边形是正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴点无论在何处，均有，即点在以中点为圆心，为直径的圆上，用点表示的中点，连接，用点表示的中点，用点表示的中点，连接，以为圆心，为半径画圆，如图中的，
∵在上运动且不与重合，∴点的轨迹就是，不与重合，
∵，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，
∴的最小值也就是的最小值，
∵点在上，∴当点三点共线时，最小，最小值为线段的长度，
∵点分别是正方形边的中点，∴四边形是矩形，
∵点分别是矩形边的中点，∴四边形是矩形，∴，，
∵，∴在中，由勾股定理得，
即：的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
9．（2024·广西·一模）图所示，在半径为 6 的扇形 ABC 中， ∠BAC＝60° ，点 D ，E 分别在半径 AB，AC 上，且BD＝CE＝2，点F 是弧BC 上的动点，连接DF，EF，则DF＋EF 的最小值为 ．
【答案】
【分析】连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，先证△FAE∽△GAF，得出，根据两点间距离最短得出FG+FD≥GD，即，当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即最短=DG，然后利用30°直角三角形先证求出AH=，利用锐角三角函数求出GH=AG·cs30°=，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：连结AF，延长AC到G使CG=3，连结GF，过G作AH⊥AB于H，
∴AG=AC+CG=6+3=9，CE=2，AE=AC-CE=4，∵，，∴，
∵∠FAE=∠GAF，∴△FAE∽△GAF，∴，∴，
∴FG+FD≥GD，即
当点G，F,D三点在同一直线上时GF+FD最短即最短=DG，
在Rt△GHA中AG=9，∠GAH=60°，∴∠HGA=90°-∠GAH=30°，
∴AH=，GH=AG·cs30°=，∵BD=2，∴AD=AB-BD=6-2=4，∴HD=AH-AD=，
∴GD=，∴．故答案为．
【点睛】本题考查圆与相似，解直角三角形联合应用，最短路径问题，勾股定理，利用辅助线构造三角形相似是解题关键．
10．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值= ．
【答案】5
【分析】如图，在上取一点，使得，连接．证明，推出，推出，由，由此可得结论．
【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接．
∵四边形是正方形，，，，
，，，
，，，，
，∴的最小值为5，故答案为：5．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
11．（2024九年级·广东·专题练习）如图，在中，，的半径为2，D是上一动点，点E在上，，连接，则的最小值
【答案】
【分析】在AC上取点H使CH=1，连接CD、BD、HD，根据和∠DCB=∠DCE，得出△CDE∽△CBD，从而得出DB=2DE，再根据△CHD∽△CDA，得出，根据两点之间线段最短得出的最值小为BH，再根据勾股定理即可得出答案
【详解】解：在AC上取点H使CH=1，连接CD、BD、HD，
∵的半径为2，∴CD=2，∵CE=1，CB=4∴，
∵∠DCB=∠DCE，∴△CDE∽△CBD，∴∴DB=2DE
∵CH=1，CA=4同理可证：△CHD∽△CDA，∴，∴
∴当点H、D、B三点共线时，DH+DB的值最小，即的值最小为BH；
连接BH，∵，，CH=1 ∴故答案为：
【点睛】本题考查了圆的基本性质和相似三角形的性质和判定，以及勾股定理等知识点，得出和DB=2DE是解题的关键
12．（2024·四川·校考一模）如图，为的直径，，点C与点D在的同侧，且，，，，点P是上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】连接，先利用勾股定理求得，，在上截取，过作于，于，求得，，，进而求得，证明求得，利用两点之间线段最短得到，当共线时取等号，即可求解．
【详解】解：连接，∵为的直径，，∴，
∵在中，，∴，，
在上截取，过作于，于，连接、，
∴四边形是矩形，，
∴，，∴，
在中，，
∵，是公共角，∴，
∴，则， ∴，当共线时取等号，
故的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的基本概念、相似三角形的判定与性质、两点之间线段最短等知识，解答的关键是截取在上截取，构造相似三角形求得是关键．
13．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质．设半圆与、的切点为、，取的中点，连接、，根据已知条件证明，得，当且仅当、、三点共线时，取得最小值，进而求解．
【详解】解：设半圆与、的切点为、，
连接、、、，则，，，所以平分，
，，，，
，取的中点，连接、，
则，，，
在和中，，，，
，，，当且仅当、、三点共线时，
取得最小值, 最小值为．故答案为：．
14．（2024·江苏镇江·二模）如图，边长为2的正方形中，E、F分别为上的动点，，连接交于点P，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】证明，则，，如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，如图，连接，由勾股定理得，，如图，在上取点使，则，连接，，证明，则，即，由，可得当三点共线时，的值最小，为，如图，作于，则，，，则，即，可得，即，由勾股定理得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵正方形，∴，，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
如图，记的中点为，则在以为圆心，为直径的圆上，
如图，连接，由勾股定理得，，
如图，在上取点使，则，连接，，
∵，，∴，∴，即，
∴，∴当三点共线时，的值最小，为，
如图，作于，∴，∴，∴，
∴，即，解得，∴，由勾股定理得，，
由勾股定理得，，故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角所对的弦为直径，相似三角形的判定与性质，正弦是解题的关键．
15．（2024·江苏·校考二模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是 .

【答案】
【分析】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4，先证△DCE∽△ACD，将转化为DE，从而求得的最小距离，进而得出2AD+3BD的最小值．
【详解】如下图，在CA上取一点E，使得CE=4

∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=
在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小为EB，即ED+DB=EB∴
在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案为：．
【点睛】本题考查求最值问题，解题关键是构造出△DCE∽△ACD．
16．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在 中，，，，D、E分别是边、上的两个动点，且，P是的中点，连接，，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，在CB 上取一点F，使得，连接，，利用相似三角形的性质证明，根据，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：如图，在上取一点F，使得，连接，，
∵，，，∴，∵，，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
17．（2024·江苏·无锡市九年级阶段练习）问题提出：如图①，在中，，，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求的最小值．
（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接CP，在CB上取一点D，使，则．又，所以∽．所以．
所以，所以．
请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为________；
（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值；
（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一点，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）13．
【分析】（1）根据题意可知最小值为AD长度，利用勾股定理即可求出AD长度．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BD长度，利用勾股定理即可求出BD长度．
（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，即可证明∽，得到，即，所以的最小值为BE长度，利用勾股定理即可求出BE长度．
【详解】（1）根据题意可知，当A、P、D三点共线时，最小，最小值． 故答案为：．
（2）连接CP，在CA上取一点D，使，则有，
∵，∴∽，得，
∴，故，仅当B、P、D三点共线时，
的最小值．

（3）延长OC到E，使，连接PE，OP，
则，∵，∴∽，∴，
∴，∴，仅当E、P、B三点共线时，
，即的最小值为13．
【点睛】本题考查圆的综合，勾股定理，相似三角形的判定和性质．根据阅读材料的思路构造出∽和∽是解题的关键．本题较难．
18．（2023春·江苏宿迁·九年级校考开学考试）
【问题呈现】如图1，∠AOB=90°， OA=4，OB=5，点P在半径为2的⊙O上，求的最小值．
【问题解决】小明是这样做的：如图2，在OA上取一点C使得OC=1，这样可得，又因为∠COP=∠POA，所以可得△COP ∽△POA，所以，得所以．
又因为，所以最小值为 ．
【思路点拨】小明通过构造相似形（图3），将转化成CP，再利用“两点之间线段”最短”求出CP+ BP的最小值．
【尝试应用】如图4，∠AOB=60°， OA=10，OB=9，点P是半径为6的⊙O上一动点，求最小值．
【能力提升】如图5，∠ABC=120°， BA= BC=8，点D为平面内一点且BD= 3CD，连接AD，则△ABD面积的最大值为 ．
【答案】[问题解决]；[尝试应用]，见详解；[能力提升]
【分析】[问题解决]利用勾股定理即可求出，最小值为；
[尝试应用]在上取一点C使OC=4，通过证明得到，，所以，再求出AC的值，问题即可求解；
[能力提升]由BD= 3CD确定点D的运动轨迹是一个圆，过点D作于G，若△ABD面积的最大，则DG最大，所以DG过圆心，进而求解本题.
【详解】解：[问题解决]如图，在中，，
的最小值为，故答案为：；
[尝试应用]如图，在OB上取一点C，使OC=6，连续PO，PC，AC
，，，
，，，，
过点C作于D，sin，
，，
在中，，最小值为；

[能力提升]在BC上取一点E，使BE=6，延长BC到F，使BF=12，则，
，，，，
连接DE，DF，由，
点E，F到BD，CD的距离相等，，DE，DF是的内，外角平分线，，
点D是平面内任意一点，点D在以EF为直径的圆O上，
过点O作交AB的延长线于点G，交圆O于点D，则DG是直线AB到圆上的最大距离，此时的面积最大，，EO=3，
在中，，
，，
，△ABD面积的最大值为，故答案为：
【点睛】本题考查了圆和相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的性质，直径所对的圆周角直角，角平分线的判定，最短路径，锐角三角函数等知识，构造辅助线是角本题的关键.
19．（2023·江苏连云港·统考一模）如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点．
(1)如图2，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B、C、D、E均在小正方形的格点上，则点是关于点______的勾股点；若点在格点上，且点是关于点的勾股点，请在方格纸中画出；(2)如图3，菱形中，与交于点，点是平面内一点，且点是关于点的勾股点．①求证：；②若，，则的最大值为______（直接写出结果）；
③若，，且是以为底的等腰三角形，求的长．
(3)如图4，矩形中，，，是矩形内一点，且点是关于点的勾股点，那么的最小值为______（直接写出结果）．
【答案】(1)C；见解析(2)①见解析；②；③或(3)
【分析】（1）根据勾股定理得到，则点是关于点的勾股点；根据勾股定理结合定义得到，据此画图即可；（2）①根据定义可得，利用菱形的性质和勾股定理可得，即可证明；②利用勾股定理求出，则点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，即可当（点O在）三点共线时，最大，据此求解即可；如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．当点在左侧时，连接．先证明，过点作，求出，，过点作，则四边形为正方形，则，，即可得到；当点在右侧时，同理求解即可．（3）如图4，在上取点，使，则，先求出，进而证明，得到，则，故当A、E、F共线时，值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，，
∴，∴点是关于点的勾股点；
∵点是关于点的勾股点，∴
∵，∴，如图所示，即为所求；

（2）解：①∵点是关于点的勾股点，∴，
∵菱形中，，∴在中，，∴；
②∵，，∴在中，，∴，
∴点E在以O为圆心，半径为的圆上运动，
∴当（点O在）三点共线时，最大，最大值为；
③如图3，由②可知点在以为圆心，为半径的圆上运动．
当点在左侧时，连接．当时，∵，∴，
过点作，∴点为中点，即，
∴，，过点作，则四边形为正方形，
∴，∴，∴．
当点在右侧时，可得点与点关于对称，∴∴或
（3）解：如图4，在上取点，使，则，
∵是关于点的勾股点，∴，
在中，，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
∴，∴当A、E、F共线时，值最小，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点距离的最值问题，菱形的性质，勾股定理，矩形的性质，正方形的性质与判定等等，灵活运用数形结合的思想是解题的关键．
20．（23-24九年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，交于点，为线段上一动点，连接．(1)如图1，连接，若是的角平分线且时，求的度数．(2)如图2，将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，连接交线段于点，连接，若点为线段的中点，求证：．(3)如图3，在（2）的基础上，若，将绕点顺时针旋转角度，旋转后对应，点对应的点为，连接，，．旋转过程中，当线段与线段存在交点且时，记；当取得最小值时，记为．请直接写出的值．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）结合，，得到，继而得到，结合，证明，得出，根据三角形的外角的性质即可求解；
（2）延长至，使得，连接，证明，进而证明，，得出是等腰直角三角形，，即可得证；
（3）根据已知条件设，则，，得出，则，延长至，延长交于点，得出，在上截取，过点作于点，连接，构造，依题意当三点共线时，取得最小值进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，是的角平分线，
∴，，，
在与中，，∴，
∴，∴，∴．
（2）如图，延长至，使得，连接
∵点为线段的中点，∴，在与中∴，
∴，，∴，∴，
∵将线段绕点按逆时针方向旋转，得到线段，∴，，
∵，又∵，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，
在与中，，∴，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，
∵，∴，，∵，∴，
∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
又∵是等腰直角三角形，∴，∴；
（3）∵，，设，则，，∴，
在中，，∴，
∵当线段与线段存在交点且时， ∴，∴，
如图，延长至，延长交于点，
由（2）可知是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，
∴，，∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴，如图，在上截取，过点作于点，连接
则，∴，
∵，，∴，∴，
∴当三点共线时，取得最小值，此时，
∴，∴，∴．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的性质与判定，求正切，构造相似三角形与全等三角形是解题的关键．