数学选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系课时训练

这是一份数学选择性必修 第一册2.3.3 直线与圆的位置关系课时训练，共67页。

知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆x2+y2=4相切的有（ ）
A．x+y=2B．3x+y−4=0C．x+y=22D．x−3y+8=0
知识点02圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.
【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点A0,1在圆C:x−12+y2=r2r>0上，则过A的圆的切线方程为 .
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2=1上点P−22,22的切线方程为 ．
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即beq \f(2ar,d).
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:x2+y2=1的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值= ．
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L 2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|eq \r(1＋k2)|x1－x2|eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x−22+y2=4，直线l:y=−x+1被圆C截得的弦长为 .
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x−y+1=0与圆C:x2+y2−2x−3=0交于A,B两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．32
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2，则x2+y−42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0m∈R与圆x2+y2=2的位置不可能为（ ）
A．B．
C．D．
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(x−2)2+y2=16，直线l:mx+y−3m−1=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点2,1B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交D．直线l与圆C相离
变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线x−3y=0绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆x−22+y2=3的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切D．直线l与圆无公共点
变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线l:x−2y−a2=0，圆C:x−12+y−22=1，则l与圆C（ ）
A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆x−22+y2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by−1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则点Pa,b与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外B．P在圆上
C．P在圆内D．P与圆的位置不确定
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点Pm,n，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：mx+y−2m−1=0被圆C：x2+y2+2x−25=0截得弦长的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则
点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；
CD⊥l;
||AD|2+d2=r2,|AB|=2r2−d2
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；
（3）切点P在直线l上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：xa+ya=1及圆C：x2+y2−6x−2y+2=0，则“a=8”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线y=x+b与曲线x=1−y2恰有1个交点，则实数b的取值范围是（ ）
A．−10相切，则圆M的半径为（ ）
A．2B．4C．22D．8
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆C:x2+y2−4x−4y+4=0的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则AB=（ ）
A．2B．2C．22D．4
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆C:(x−a)2+(y−4a)2=4被直线l:3x−y+2=0平分，则a=（ ）
A．12B．1C．32D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线l:3x+y−1=0与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则∠AOB=（ ）
A．π2B．2π3C．3π4D．5π6
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线l:mx+ny−1=0圆x2+y2+2x=0相切，则原点O到直线l距离的最大值为（ ）
A．3B．2C．22D．1
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆C: x2+y2−2x−1=0，当圆心C到直线l: y=kx+3的距离最大时，实数k的值是（ ）
A．−13B．13C．－3D．3
二、多选题
9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线l:m−2x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法不正确的是（ ）
A．l过定点(2,3)
B．C的半径为9
C．l与C可能相切
D．l被C截得的弦长最小值为27
10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线x+y−4=0与圆O：x2+y2=r2有公共点，则半径r可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线l:y=kx−k，圆C:x2+y2=4，则下列结论正确的有（ ）
A．直线l过定点1,0
B．直线l与圆C恒相交
C．直线l被圆C截得的弦长最短为4
D．若直线l被圆C截得的弦长为14，则k=±1
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆C与直线y=−x及x+y−4=0相切，圆心在直线y=x上，则圆C的标准方程为 ．
（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点Px,y在圆x2+y2−2x+4y+4=0上运动，则xy的最小值是
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线l与单位圆和曲线x24−y23=1均相切，则直线l的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于x,y的方程C：x2+y2−2x−4y+m=0．
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l:x+2y−4=0相交于M,N两点，且|MN|=45，求m的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆C的圆心在直线2x−y=0上，且与x轴相切于点1,0.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C直线l:x−y+m=0交于A，B两点，____，求m的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆C被直线l分成两段圆弧，其弧长比为2:1；
条件②：|AB|=22；
条件③：∠ACB=90°.
17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 83 的圆C的圆心在 y 轴的正半轴上，且直线12x−9y−1=0与圆C相切．
(1)求圆C的标准方程．
(2)若 Mx,y是圆C上任意一点，求（x+3）2+（y−13）2的取值范围
(3)已知A0,−1，P为圆C上任意一点，试问在y 轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点A−1，2为圆心的圆与直线l1:x+2y+7＝0相切，过点B−2,0的动直线l与圆A相交于M,N，当MN=219时，求直线l的方程；
(2)以C4,−3为圆心的圆与圆x2+y2=4相切，求圆C的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：x2+y2−2y−4=0，直线l：mx−y+1−m=0.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点P1,1分弦AB为APPB=12，求此时直线l的方程.
课程标准
学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。
1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离deq \f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))
d＜r
dr
d＞r
代数法：由
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C0，,（x－a）2＋（y－b）2r2))
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ0
Δ＜0
图形
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB) eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k0时，|AB||xA－xB|；当斜率不存在时，|AB||yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
2.3.3直线与圆的位置关系
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为（ ）
A．相切B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心D．相离
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆x2+y2=1的圆心为0,0，半径为1，
故圆心到直线y=x+1的距离为11+1=120上，则过A的圆的切线方程为 .
【答案】y=x+1
【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.
【详解】因为点A0,1在圆C:x−12+y2=r2r>0上，
所以过A的圆的切线方程和AC垂直，
因为A0,1，C1,0，所以kAC=1−00−1=−1，所以切线方程斜率为−1−1=1，
所以切线方程为y=1×x−0+1，即y=x+1.
故答案为：y=x+1
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆x2+y2=1上点P−22,22的切线方程为 ．
【答案】y=x+2
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，kOP=−1，则切线斜率k=1，
所以切线方程为y−22=x−−22，整理为y=x+2．
故答案为：y=x+2
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即beq \f(2ar,d).
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点A2,3作圆M:x2+y2=1的一条切线，切点为B，则AB=（ ）
A．3B．23C．7D．10
【答案】C
【分析】先求得圆M的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得AB的值.
【详解】因为圆M:x2+y2=1，
所以圆M的圆心为M(0,0)，半径为r=1，
因为AB与圆M相切，切点为B，
所以AB⊥BM，则AB2+r2=AM2，
因为AM=22+32=13，
所以AB=AM2−r2=13−1=23.
.
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值= ．
【答案】d2−r2
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L 2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB|eq \r(1＋k2)|x1－x2|eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆C:x−22+y2=4，直线l:y=−x+1被圆C截得的弦长为 .
【答案】14
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.
【详解】解：由题意可得，圆心为2,0，半径r=2，
弦心距d=2+0−12=22，
故直线l被C截得的弦长为2r2−d2=14，
故答案为：14
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线l:x−y+1=0与圆C:x2+y2−2x−3=0交于A,B两点，则△AOB的面积为（ ）
A．3B．2C．22D．32
【答案】C
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心C(1,0)作CD⊥AB于D，分别计算|CD|和|AB|，即可求得△AOB的面积.
【详解】
如图，由圆C:x2+y2−2x−3=0配方得，(x−1)2+y2=4，知圆心为C(1,0),半径为2，
过点C(1,0)作CD⊥AB于D，由C(1,0)到直线l:x−y+1=0的距离为|CD|=22=2,
则|AB|=2|AD|=222−(2)2=22,
故△AOB的面积为12|AB|⋅|CD|=12×22×2=2.
.
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线1−x=4−y2，则x2+y−42的最大值，最小值分别为（ ）
A．17＋2，17－2B．17＋2，5
C．37，17－2D．37，5
【答案】D
【分析】由题意可得曲线1−x=4−y2表示的图形为以A(1,0)为圆心，2为半径的半圆，x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P(0,4)的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由1−x=4−y2，可知x≤1，−2≤y≤2，
且有(x−1)2+y2=4，表示的图形为以A(1,0)为圆心，2为半径的半圆，如图所示：
B1,2,C1,−2

又因为x2+(y−4)2表示半圆上的动点与点P(0,4)的距离，
又因为|PA|=12+42=17，
所以x2+(y−4)2的最小值为|PA|−2=17−2，
当动点与图中C(1,−2)点重合时，x2+(y−4)2取最大值|PC|=(1−0)2+(4+2)2=37，
．
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线mx−y+1=0m∈R与圆x2+y2=2的位置不可能为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆x2+y2=2的圆心坐标为0,0，半径为2，
直线mx−y+1=0m∈R过圆内定点0,1，斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
.
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆C:(x−2)2+y2=16，直线l:mx+y−3m−1=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线l恒过定点2,1B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C相交D．直线l与圆C相离
【答案】D
【分析】求出圆C的圆心和半径，直线l所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.
【详解】圆C:(x−2)2+y2=16的圆心C(2,0)，半径r=4，
直线l:m(x−3)+y−1=0恒过定点(3,1)， 显然(3−2)2+12=21=r，
故直线l与圆C相离．
．
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆x−22+y2=3的位置关系为（ ）
A．直线过圆心B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切D．直线与圆没有公共点
【答案】D
【分析】先求出直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后的直线方程，再由点到直线的距离公式求出则圆心2,0到直线的距离，与半径比较，即可得出答案.
【详解】直线y=33x的倾斜角为30°，
直线y=33x绕原点逆时针方向旋转30°后直线的倾斜角为60°，
旋转后的直线方程为y=3x，
则圆心2,0到直线的距离d=233+1 =3=r，
∴直线与圆相切.
.
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线ax+by−1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则点Pa,b与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外B．P在圆上
C．P在圆内D．P与圆的位置不确定
【答案】A
【分析】根据直线ax+by−1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，知道它们相交.借助d1,进而得到点Pa,b与圆的位置关系.
【详解】直线ax+by−1=0与圆x2+y2=1有两个不同的交点，则它们相交.
根据d=1a2+b21，即a2+b2>1.则点Pa,b与圆的位置关系为P在圆外.
.
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线l:mx+ny−r2=0与圆C:x2+y2=r2，点Pm,n，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点P在圆C外，则直线l与圆C相离B．若点P在圆C内，则直线l与圆C相交
C．若点P在圆C上，则直线l与圆C相切D．若点P在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点Pm,n在圆C外，所以m2+n2>r2，
则圆心C0,0到直线l的距离为d=0×m+0×n−r2m2+n2=r2m2+n2