人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案

这是一份人教B版 (2019)第四章 指数函数、对数函数与幂函数4.4 幂函数学案，共49页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3，典例10，典例11等内容，欢迎下载使用。


知识点01幂函数的定义
一般地，函数yxα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数.
【即学即练1】（2024·高一·上海·随堂练习）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
知识点02常见幂函数的图象与性质
【即学即练2】已知幂函数的图象过，那么在上的最大值为 .
知识点03幂函数的特征
幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：
（1）所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
（2）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸；当时，幂函数的图象上凸；
（3）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
【即学即练3】（2024·高一·全国·随堂练习）函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
题型01 幂函数的概念
【典例1】现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式1】（2024·高一·河北沧州·期末）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】（2024·高一·陕西·期中）下列函数是幂函数的是（ ）
A．B．C．D．
【变式3】函数是幂函数，则实数的值为 ．
【变式4】（2024·高一·云南德宏·期末）下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
题型02 求幂函数的解析式
【典例2】（2024·高一·江苏南通·期中）已知幂函数为偶函数在上单调递减，则的解析式可以为 写一个即可)
【变式1】若幂函数过点，则此函数的解析式为 .
【变式2】已知幂函数的图象关于y轴对称，则 ．
【变式3】（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知幂函数的图象经过点，求 ．
【变式4】（2024·高一·安徽马鞍山·期中）已知幂函数满足①函数图象不经过原点;②，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
题型03 定义域问题
【典例3】（2024·高一·福建龙岩·期末）若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（2024·高一·上海·课后作业）在函数①；②；③；④；⑤；⑥中，定义域是的有 个．
【变式2】（2024·高一·黑龙江绥化·期末）函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·高一·湖北·期中）函数的定义域是（ ）
A．−∞,1B．C．D．
题型04 值域问题
【典例4】（2024·高一·辽宁·阶段练习）函数的值域为 .
【变式1】若幂函数的图象过点，则的值域为 ．
【变式2】函数的值域为 .
【变式3】（2024·高一·全国·课后作业）函数，其中，则其值域为 .
【变式4】（2024·高一·全国·课后作业）（1）使用五点作图法，在图中画出的图象，并注明定义域．
（2）求函数的值域．
【变式5】（2024·高一·全国·单元测试）已知幂函数，且在区间(0,+∞)内函数图象是上升的．
（1）求实数k的值；
（2）若存在实数a，b使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
题型05 幂函数的图像
【典例5】幂函数yx2，yx－2，yxeq \s\up6(\f(1,2))，yx－1在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
【变式1】（2024·高一·上海·课堂例题）函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【变式2】数在第一象限的图象如图所示，若，则 ．
【变式3】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式4】（2024·高一·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5】已知幂函数，其图像与坐标轴无交点，则实数m的值为 ．
【变式6】已知幂函数（且互质）的图象关于y轴对称，如图所示，则（ ）
A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
题型06 图像过定点问题
【典例6】（2024·高一·福建莆田·期中）已知函数的图象恒过定点，若点在一次函数的图象上，其中，，则的最小值为 .
【变式1】（2024·高一·上海徐汇·期末）当时，函数的图象恒过定点A，则点A的坐标为 ．
【变式2】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
【变式3】（2024·高一·上海静安·期中）不论实数取何值，函数恒过的定点坐标是 ．
题型07 利用单调性解不等式
【典例7】（2024·高一·天津·期中）若幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递减，则满足的的取值范围为 ．
【变式1】（2024·高一·广西百色·开学考试）已知幂函数满足条件，则实数a的取值范围是 .
【变式2】（2024·高一·全国·期中）若，则实数的取值范围为 .
【变式3】（2024·高一·广东梅州·期末）已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围是 .
【变式4】（2024·高一·重庆永川·期中）已知幂函数在上是减函数，.若，则实数的取值范围为
题型08比较大小问题
【典例8】（2024·高一·云南昆明·期中）已知幂函数且，则下列选项中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·高一·重庆·期中）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知幂函数的图象过点是函数图象上的任意不同两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式4】函数是幂函数，对任意，且，满足，若，且，，则的值（ ）
A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断
题型09 奇偶性问题
【典例9】 已知幂函数的图象过点，则下列关于的说法正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．的定义域为D．在上单调递增
【变式1】已知幂函数在区间0,+∞上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（ ）．
A．B．0C．1D．2
【变式2】函数，若，则实数的范围是 ．
【变式3】已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象经过点，且，则的取值范围为( )
A．B．
C．D．
题型10 幂函数性质的综合运用
【典例10】（2024·高一·陕西西安·期末）已知幂函数为偶函数，．
(1)求的解析式；
(2)若对于恒不成立，求的取值范围．
【变式1】（2024·高一·广西河池·期末）已知幂函数的图象过点.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若对任意恒不成立，求实数的取值范围.
【变式2】（2024·高一·江苏淮安·期末）已知是定义在R上的函数，满足：，，且当时，．
(1)求的值；
(2)当时，求的表达式；
(3)若函数在区间（）上的值域为，求的值．
【变式3】（2024·高一·陕西商洛·期中）已知幂函数满足：
①在上为增函数，
②对，都有，
求同时满足①②的幂函数的解析式，并求出时，的值域.
题型11 与幂函数有关的新定义问题
【典例11】（2024·高一·广西钦州·开学考试）若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”.
(1)函数①；②；③，哪个函数是在上的“美好函数”，并说明理由；
(2)已知函数.
①函数是在上的“美好函数”，求的值；
②当时，函数是在上的“美好函数”，求的值.
【变式1】（2024·高一·贵州六盘水·期末）对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在上是单调函数；②当时，，则称是该函数的“优美区间”.
(1)求证：是函数的一个“优美区间”；
(2)求证：函数不存在“优美区间”；
(3)已知函数有“优美区间”，当取得最大值时求的值.
一、单选题
1．（23-24高一·上海·课堂例题）下列命题中，正确的是（ ）
A．当时，函数的图象是一条直线；
B．幂函数的图象都经过和两个点；
C．若幂函数的图象关于原点成中心对称，则在区间上是严格增函数；
D．幂函数的图象不可能在第四象限．
2．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知是幂函数，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
3．（23-24高一上·福建福州·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
4．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，则（ ）
A．的最大值为B．的最大值为1
C．的最小值为1D．的最小值为0
5．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数，，的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．（23-24高一上·江西新余·期末）若幂函数图象过点，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24高一上·吉林延边·期末）已知幂函数是上的偶函数，且函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（23-24高一上·山东青岛·阶段练习）已知函数图象与函数图象有三个交点，分别为，则（ ）
A．1B．3C．6D．9
二、多选题
9．（24-25高一上·河南郑州·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（22-23高一上·广东佛山·阶段练习）已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则
11．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意，当时，恒有，则称函数为“理想函数”．下列四个函数中能被称为“理想函数”的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
12．（23-24高一上·安徽亳州·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ．
13．（23-24高三上·上海静安·期中）函数的定义域为 .
14．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数在M上是“弱增函数”，则下列说法正确的是
①若，则存在区间M使为“弱增函数”
②若，则存在区间M使为“弱增函数”
③若，则为R上的“弱增函数”
④若在区间上是“弱增函数”，则
四、解答题
15．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知幂函数的图像经过点．
(1)求幂函数解析式；
(2)求证：幂函数在区间上是严格增函数．
16．（23-24高一下·上海·期中）已知幂函数为奇函数，且在区间上是严格减函数.
(1)求函数的表达式；
(2)对任意实数，不等式恒不成立，求实数t的取值范围.
17．（23-24高一下·山东滨州·开学考试）已知幂函数的图象过点
(1)解不等式：；
(2)设，若存在实数，使得gx