高中数学(人教B版)必修二同步讲义第4章第04讲对数函数的性质与图象(学生版+解析)

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第04讲 对数函数的性质与图象 知识点01 对数函数的定义(1)对数函数的定义：一般地，函数y= (a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0,+). (2)判断一个函数是对数函数的依据：①形如y=；②底数a满足a>0，且a≠1；③真数是x；④定义域为(0,+).(3)特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作;称以无理数为底的对数函数为自然对数函数,记作.【即学即练1】1.（24-25高一上·全国·课堂例题）下列函数中是对数函数的为（    ）A．y=log23x2 B．y=log3x−1C．y=logx+1x D．y=logπx知识点02 对数函数的图象与性质【即学即练2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点 ．题型01对数函数的概念【典例1】（24-25高一上·上海·课堂例题）下列函数是对数函数的有 ．①；②；③；④．【变式1】（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）下列函数是对数函数的是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知对数函数过点，则其解析式为 ．【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）函数是对数函数，则实数a .题型02对数型函数的定义域【典例2】（23-24高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（    ）A． B．C． D．【变式1】函数的定义域为（   ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【变式3】函数中，实数a的取值范围是（    ）A． B．C． D．【变式4】（23-24高一上·四川乐山·阶段练习）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【变式5】若函数的定义域为R，则实数的取值范围是 ．题型03 对数函数的图象【典例3】函数的图象大致是（   ）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一上·四川攀枝花·阶段练习）已知且，则函数与在同一直角坐标系中的图象大致是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高二下·天津滨海新·期末）如图所对应的函数的解析式可能是（    ）A． B．C． D．【变式3】（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）若，则函数的图象不经过第 象限.【变式4】函数的图象是（    ）A． B．C． D．题型04 图象过定点问题【典例04】（23-24高二下·海南海口·期末）函数（，且）的图象一定经过点（    ）A．1,0 B． C． D．【变式1】函数的图象恒过定点 .【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知常数且，假设无论a取何值，函数的图象恒经过一个定点，求此点的坐标．题型05对数型复合函数的单调性【典例05】函数的单调递增区间为 .【变式1】（24-25高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ）A． B． C． D．【变式2】已知，若在上单调，则的范围是（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高二下·江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型06 对数型复合函数的值域【典题06】（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）求的定义域和值域.【变式1】若函数的定义域为，则的值域为（    ）A． B．C． D．【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值是 ．【变式3】设且，函数的图象过点．(1)求的值及函数的定义域；(2)求函数在区间上的最大值．题型07 已知最值求参数【典例07】（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ）A．4或 B．4或C．2或 D．2或【变式1】（22-23高一上·上海奉贤·期末）已知对数函数在区间上的最大值比最小值大1，则 ．【变式2】（23-24高一上·四川成都·期末）已知函数的值域为，的值域为，则（    ）A．0 B．1 C．3 D．5题型08 比较大小【典例08】（23-24高一下·安徽芜湖·开学考试）已知，，，则（）A． B． C． D．【变式1】已知，则（　　）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）若a， b， c满足，，，则（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一下·陕西安康·期中）已知，，，则（    ）A． B． C． D．【变式4】（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，，则（    ）A． B． C． D．题型09 对数不等式的解法【典例09】（23-24高一·上海·课堂例题）设，若，求实数的取值范围．【变式1】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）不等式的解集为 【变式2】（23-24高一上·上海·期末）不等式的解集是 .【变式3】（24-25高一上·全国·课堂例题）解下列关于x的不等式：(1)；(2)（且）；(3)（且）．【变式4】（23-24高一上·云南·期末）已知函数且．(1)若，解不等式；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．题型10 对数函数中恒不成立（有解）问题【典例10】（23-24高一上·天津·期末）已知函数，函数．(1)求不等式的解集；(2)求函数的值域；(3)若不等式对任意实数恒不成立，试求实数的取值范围．【变式1】（23-24高一上·河北保定·期末）已知且，当时，，则的取值范围为 .【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）已知函数．(1)求函数的定义域；(2)若不等式有解，求实数的取值范围．【变式3】（23-24高一上·青海西宁·期末）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若对于恒不成立，求实数的取值范围.【变式4】（2023高一上·江苏苏州·学业考试）已知函数.(1)当时，求该函数fx的值域；(2)若不等式在上有解，求的取值范围.题型11 对数函数中的新定义问题【典例11】（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，则有，就称为“A函数”.下列定义在[0，1]上的函数中，是“A函数”的有（    ）A．B．C．D．【变式1】对于任意实数，定义运算“”为 ，则函数的值域为（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一下·贵州毕节·期末）定义：二阶行列式；三阶行列式的某一元素的余子式指的是在中划去所在的行和列后所余下的元素按原来的顺序组成的二阶行列式.现有三阶行列式，若元素1的余子式，则 ；记元素2的余子式为函数，则的单调减区间为 .【变式3】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）对于定义在区间上的两个函数fx和，如果对任意的，均有不等式不成立，则称函数fx与在上是“友好”的，否则称为“不友好”的．(1)若，，则fx与在区间上是否“友好”；(2)现在有两个函数与，给定区间．①若fx与在区间上都有意义，求的取值范围；②讨论函数fx与与在区间上是否“友好”．一、单选题1．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知集合，则（    ）A． B． C． D．2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（    ）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥3．（24-25高一上·全国·单元测试）函数，的值域是（    ）A． B．C． D．4．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则是的（   ）条件A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要5．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ）A．① B．② C．③ D．④6．已知函数恒过定点，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．47．（23-24高一下·浙江杭州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）A． B． C． D．8．（23-24高一上·福建泉州·期末）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题9．若函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数定义域为 B．时，C．的解集为 D．10．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·开学考试）已知函数则下列说法正确的有（    ）A．当时，函数的定义域为B．函数有最小值C．当时，函数的值域为RD．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是11．（23-24高一下·陕西安康·期末）已知函数且，则（    ）A． B．C．的最小值为 D．三、填空题12．（23-24高一下·河北·期末）已知函数则 ．13．（23-24高一下·云南玉溪·期末）苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1570-1617）在研究天文学的过程中，经过对运算体系的多年研究后发明的对数，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间.即就是任何一个正实数可以表示成，则，这样我们可以知道的位数为.已知正整数，若是10位数，则的值为 .（参考数据：）14．（23-24高一上·上海长宁·期末）若关于的方程在区间上有解，则实数的取值范围是 .四、解答题15．已知函数.(1)求函数的定义域;(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.16．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．17．（23-24高二下·浙江·期中）已知函数为偶函数．(1)求的值；(2)若，判断在的单调性，并用定义法给出证明；(3)若在区间上恒不成立，求的取值范围．18．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知函数.(1)若，求的取值范围；(2)若，且，求实数n的取值范围.19．（23-24高一上·北京延庆·期末）已知函数(1)当时，若，求x的值:(2)若是偶函数，求出m的值:(3)时，讨论方程根的个数.并说明理由.课程标准学习目标了解对数函数的概念.知道对数函数ylogax(a>0且a≠1)与指数函数yax(a>0且a≠1)互为反函数.3.了解并掌握对数函数的图象与性质．通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题. 图象和性质a>100;当00且a≠1)与指数函数yax(a>0且a≠1)互为反函数.3.了解并掌握对数函数的图象与性质．通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题. 图象和性质a>100;当0