高中数学(人教B版)必修二同步讲义第四章第4章指数函数、对数函数与幂函数章末题型大总结(学生版+解析)

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第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末题型大总结 题型01指数、对数、幂的运算 解题锦囊(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）计算：(1)；(2)．【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（    ）【变式2】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ）A． B． C．1 D．【变式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ）A． B．C． D．题型02幂指对函数的定义域解题锦囊（1）求幂函数、指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性.（2）涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如和的函数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解;二是形如和的函数,则要根据和的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函数的定义域；【变式1】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .【变式2】（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 .【变式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．题型03幂指对函数的值域解题锦囊1、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．（2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．2、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 .【变式3】（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ．【变式4】（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ）A．3 B． C． D．3或题型04指对型函数的单调性解题锦囊1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．【典例4】（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的，不等式不成立，求实数的取值范围.【变式1】（（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ）A． B．C． D．【变式3】（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【变式4】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【变式5】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ）A．的最小值为B．的递减区间是C．的图象关于成中心对称D．函数在上单调递增，则a的取值范围是题型05幂指对函数的图象 解题锦囊对于图像的判断与选择可利用图像的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ）A．B．C． D．【变式1】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系不成立的是（    ）A． B．C． D．【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ）A．① B．② C．③ D．④【变式3】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　）A． B． C． D．【变式4】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限题型06比较大小问题 解题锦囊(1)数(式)的大小比较及常用的方法:比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用.常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等.(2)数的大小比较常用的技巧:①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【变式3】（23-24高一下·上海·开学考试）若，，则（    ）A． B．C． D．题型07幂指对函数中的函数与方程问题解题锦囊函数与方程问题，注意利用幂指对函数的图像，将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题处理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ）A． B．2 C．或2 D．1【变式1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（    ）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是C．函数有两个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【变式2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（    ）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有二个解C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解【变式3】函数的零点个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.4题型08幂指对函数模型的应用 解题锦囊(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A．11 B．12 C．13 D．14【变式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）A．4 B．5 C．6 D．7【变式2】（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11480年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【变式3】（23-24高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年．A．3 B．4 C．5 D．6题型09幂指对函数性质的综合应用问题 【典例9】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，.(1)求函数的最大值；(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数．(1)讨论函数的奇偶性；(2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围．【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知函数为奇函数．(1)求的值；(2)若对任意的，关于的不等式恒不成立，求正实数的取值范围．第四章 指数函数、对数函数与幂函数 章末题型大总结 题型01指数、对数、幂的运算 解题锦囊(1)指数式的运算首先注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为指数运算,其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的.(2)对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分数指数幂的性质运算；（2）利用对数的性质运算【详解】（1）原式；（2）原式.【变式1】（24-25高一上·湖南长沙·开学考试）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿日兆．”说明了大数之间的关系：1亿万1万，1兆万万亿．若1兆，则m的值为（    ）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由指数幂的运算性质即可求解.【详解】1万=，所以1亿=，所以1兆=，所以.【变式2】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据对数的换底公式及对数的运算法则求解即可.【详解】因为，所以，所以．．【变式3】（24-25高一上·全国·随堂练习）的值为（    ）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根据条件，利用对数的换底公式和运算性质，即可求解.【详解】因为，.【变式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则及运算性质，逐项计算，即可求解.【详解】对于A中，由，所以A正确；对于B中，由，所以B错误；对于C中，由，所以C错误；对于D中，由，所以D错误．题型02幂指对函数的定义域解题锦囊（1）求幂函数、指数型与对数型函数的定义域主要通过构建不等式(组)来求解,有时解不等式(组)时要借助于指数、对数函数的单调性.（2）涉及指数、对数函数的值域问题有两个类型,一是形如和的函数，一般要先求f(x)的值域，然后利用指数、对数的单调性求解;二是形如和的函数,则要根据和的范围,利用函数y=f(x)的性质求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函数的定义域；【答案】.【分析】（1）根据给定的函数有意义，列出不等式，再解指数、对数不等式即得.【详解】依题意，，解得，因此或，所以原函数的定义域为.【变式1】（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 .【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知.【详解】由题意可知，解得且，故函数的定义域为．故答案为：.【变式2】（23-24高一上·北京延庆·期末）函数 的定义域为 .【答案】【分析】由函数有意义的条件，求函数定义域.【详解】函数有意义，则有，解得，所以函数的定义域为.故答案为：【变式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函数的定义域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对数函数的真数大于0，然后解不等式得出答案.【详解】由题意知，，即，所以或..题型03幂指对函数的值域解题锦囊1、指数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，将求原函数的值域转化为求的值域，但要注意“新元”的范围．（2）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．2、对数型复合函数值域的求法（1）形如（，且）的函数求值域：令，先求出的值域，再利用在上的单调性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函数的值域：令，先求出的值域，再利用的单调性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函数，．(1)当时，求函数的值域；(2)设函数，若对任意，存在，使得，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根据二次函数的性质求解即可；（2）对任意，存在，使得，则，即，在上恒不成立，再利用分离参数法求解即可.【详解】（1）当时，，，令，因为，则，所以，其中，则时，，时，，即，所以的值域为；（2）由，，设，则函数在上单调递减，在上单调递增，而函数为增函数，所以函数在上单调递减，在上单调递增，故，因为对任意，存在，使得，则，所以，在上恒不成立，令，因为，则，即在上恒不成立，则在上恒不成立，因为函数在上单调递增，故，所以，即．【变式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函数的值域为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】，设，，计算得到答案.【详解】，设，则，故函数的值域为.【变式2】（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的值域为 .【答案】【分析】根据二次函数的性质以及对数函数的单调性即可求解.【详解】由于，所以，所以原函数的值域为故答案为：【变式3】（23-24高一下·广西柳州·期中）函数在的最小值是 ．【答案】/【分析】令，然后利用配方法可得答案.【详解】令，则，则，所以当时，有最小值.故答案为：.【变式4】（23-24高一上·全国·期末）如果函数 且在区间上的最大值是，则的值为（   ）A．3 B． C． D．3或【答案】A【分析】利用换元法，令，转化为二次函数，根据单调性及在区间上的最大值是，求出的值即可.【详解】令，则．当时，因为，所以，又因为函数在上单调递增，所以，解得（舍去）．当时，因为，所以，又函数在上单调递增，则，解得（舍去）．综上知或．.题型04指对型函数的单调性解题锦囊1、复合函数单调性的规律：“同增异减”若内外两层函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若内外两层函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．2、具体判断步骤（1）求出原函数的定义域；（2）将复合函数分解为内层函数和外层函数；（3）分析内层函数和外层函数的单调性；（4）利用复合函数法“同增异减”可得出结论．【典例4】（24-25高三上·黑龙江鹤岗·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)判断函数的单调性，并用定义加以证明；(3)若对任意的，不等式不成立，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)在定义域内单调递增，证明见解析；(3).【分析】（1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得.（2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得.（3）利用奇函数性质及单调性质脱去法则。分离参数，借助基本不等式求解即得.【详解】（1）定义在R上的函数为奇函数，得，解得，此时，则，即函数是奇函数，所以.（2）由（1）知，函数在定义域内单调递增，证明如下：设，则，由，得，则，所以函数在R上单调递增.（3）依题意，对任意的，不成立，则，即在上恒不成立，而，当且仅当时取等号，因此，所以实数的取值范围是.【变式1】（（23-24高一上·甘肃定西·期末）函数的单调递减区间是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复合函数同增异减的原则，判定内外函数的单调性即可得到答案.【详解】内函数，其在上单调递增，而外函数在上单调递减，则根据复合函数单调性“同增异减”的原则知的单调递减区间为，.【变式2】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，则函数的减区间是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据复合函数单调性的规则来解答.【详解】因为函数在定义域上单调递减，故函数的减区间即为函数的增区间，所以，解得，即函数的减区间是..【变式3】（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性法则，结合二次函数的单调性列式求解即可.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.【变式4】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，且，再根据二次函数的性质即可求解.【详解】设，由题意可知，函数在上单调递减，且，函数的对称轴为，所以，解得.故选：.【变式5】（多选）（23-24高一上·江苏连云港·期末）（多选）下列说法正确的是（   ）A．的最小值为B．的递减区间是C．的图象关于成中心对称D．函数在上单调递增，则a的取值范围是【答案】AC【分析】由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误.【详解】A：因为，所以，故A正确；B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误；C：，对称中心为，故C正确；D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误；C.题型05幂指对函数的图象 解题锦囊对于图像的判断与选择可利用图像的变换，也要重视利用特殊点与选择题中排除法的应用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（    ）A．B．C． D．【答案】A【分析】分、讨论，结合图象可得答案.【详解】当时，是单调递增函数，图象恒过0,1点，是单调递减函数，图象恒过12,0点；当时，是单调递减函数，图象恒过0,1点，是单调递增函数，图象恒过12,0点；所以满足条件的图象为D..【变式1】（23-24高三上·山东潍坊·期中）已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系不成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.【详解】由图象可得，指数函数为减函数，对数函数为增函数，所以，即.【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】由函数解析式确定其图象所过的定点，结合单调性确定对应的图形即可.【详解】依题意，函数的图象分别过定点，它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.【变式3】（23-24高一下·广东湛江·开学考试）函数（且）的图象所过的定点为（　　）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用对数函数的性质即可得解.【详解】因为函数（且），令，解得，则，所以的图象所过的定点为..【变式4】（24-25高三上·广西贵港·开学考试）已知函数，且的图象不经过第一象限，则函数的图象不经过（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据指数函数图象性质可得，再由对数函数图象性质可判断出结论.【详解】当时，函数单调递增，图象经过第一象限，不合题意；当时，函数单调递减，图象不经过第一象限，合题意；显然此时，则函数为单调递增，又恒过点，因此函数的图象不过第四象限.题型06比较大小问题 解题锦囊(1)数(式)的大小比较及常用的方法:比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型,主要考查指数函数、对数函数、幂函数图像与性质的应用.常用的方法有单调性法、图像法、中间量法、作差法、作商法等.(2)数的大小比较常用的技巧:①当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时,可将其看成某个指数函数、对数函数的函数值,然后利用该函数的单调性比较.②比较多个数的大小时,先利用“0”和“1”作为分界点,即把它们分为“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分内利用函数的性质比较大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，则，，的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据幂函数,指数函数单调性，引入中间值，比较，根据指数,对数函数单调性，引入中间值，比较即可.【详解】根据函数在单调递增，知道，根据函数在单调递减，知道， 根据函数在单调递减，知道， 综上所得，..【变式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，则，，的大小关系（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中间值，根据指数函数、对数函数以及幂函数的单调性分析判断.【详解】因为在定义域内单调递减，可得，即；且在定义域内单调递增，可得，即；又因为，即；所以.【变式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，则，，的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用幂函数，指数函数，对数函数的单调性求出的范围，从而判断大小.【详解】由在上单调递增，又，所以，由在R上单调递减，又，所以，由是0,+∞上的减函数，又，所以.所以..【变式3】（23-24高一下·上海·开学考试）若，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据不等式的基本性质和幂函数和对数函数的性质即可判断．【详解】，，函数在0,+∞上为增函数，，A错误；由，则函数在0,+∞上为增函数，所以，即，B正确；由，C错误；，函数为0,+∞上为增函数，则，所以，即，D错误.故选：．题型07幂指对函数中的函数与方程问题解题锦囊函数与方程问题，注意利用幂指对函数的图像，将函数的零点问题转化为函数图像的交点问题处理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（   ）A． B．2 C．或2 D．1【答案】D【分析】根据方程的根与函数零点的关系转化为函数的零点来求解，画出函数图象观察交点范围，再用零点存在性定理证明即可.【详解】方程化为，分别做出方程左右两边的图象，从图象可知，方程，方程有两个分别在和2,3之间的根，下面证明：方程在和2,3之间各有一个实根，设，根据函数性质得在区间2,3上是增函数，又，，则，由零点存在性定理知，在区间2,3上仅有一个零点，即方程区间2,3上仅有一个实根，同理可得方程区间上仅有一个实根，结合题意可知，或，.【变式1】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）（多选）下列说法正确的是（    ）A．已知方程的解在内，则B．函数的零点是C．函数有两个不同的零点D．用二分法求函数在区间内零点近似值的过程中得到，则零点近似值在区间上【答案】AD【分析】对A，构造函数，利用零点存在性定理和单调性可得；对B，根据零点定义可知；对C，作出的图象，观察其交点个数可得；对D，根据零点存在性定理可得.【详解】对A，记，易知都在R单调递增，所以在R上单调递增，又，所以存在唯一零点，且，即方程的唯一解在内，所以，A正确；对B，令，解得或，所以函数的零点是或，B错误；对C，作出的图象如图：当时，函数和的图象显然有一个交点，又，所以函数和的图象在处相交，所以有三个不同的零点，C错误；对D，因为，所以由零点存在性定理可知，零点近似值在区间上，D正确.D【变式2】（23-24高一下·湖南衡阳·期中）（多选）已知，定义域和值域均为的函数和的图像如图所示，给出下列四个结论，正确结论的是（    ）A．方程有且仅有三个解 B．方程有且仅有二个解C．方程有且仅有五个解 D．方程有且仅有一个解【答案】ACD【分析】将内层函数看作一个变量，先由外层函数确定其解的个数情况，再根据内层函数的图象即可确定复合函数的解的个数，由此一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，由题意可知时，或或，故方程时，则或或，，又在上单调递减，故都有唯一解，即方程有且仅有三个解，故A正确；对于B，当时，，故时，即，而，故由图象可知有一个解，即方程有且仅有一个解，故B错误；对于C，时，或或，故由可得或或，而，故和各有唯一一个解，有3个解，故方程有且仅有五个解，故C正确；对于D，时，，故由可得，而，在上单调递减，故有唯一解，故方程有且仅有一个解，故D正确，CD【变式3】函数的零点个数是(　　)A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】令,即,在同一平面直角坐标系下作出的图像(图略),易知两图像有2个交点,即函数有2个零点.故选C.题型08幂指对函数模型的应用 解题锦囊(1)在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示,通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解.(2)有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（    ）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】依题意建立通过月后性能指数y与之间的函数关系式，得到不等式，通过两边取对数，整理化简即得.【详解】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．由题意得，即，两边取常用对数，可得．∵，∴．又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．.【变式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某种药物实验中，规定血液中药物含量低于为“药物失效”．现测得实验动物血液中药物含量为，若血液中药物含量会以每小时的速度减少，那么至少经过（    ）个小时才会“药物失效”．（参考数据：）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】由题意得到不等式，两边取对数求出答案.【详解】物实验中，血液中药物含量为的浓度为，设至少经过个小时才会“药物失效”，根据题意，两边取对数得，可得.所以至少经过个小时才会“药物失效”..【变式2】（23-24高一上·北京延庆·期末）假设有机体生存吋碳14的含量为，那么有机体死亡x年后体内碳14的含量满足的关系为（其中m₀，a都是非零实数）.若测得死亡5730年后的古生物样品，体内碳14的含量为0.5，又测得死亡11480年后这类古生物样品.体内碳14的含量为0.25.如果测得某古生物样品碳14的含量为0.3，推测此古生物的死亡时间为（取）（    ）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【答案】A【分析】根据已知指数函数模型列方程组求得，推测此古生物的死亡时间为年，再列方程求得（利用对数的运算）．【详解】由已知，解得，即，推测此古生物的死亡时间为年，则，，所以，．．【变式3】（23-24高一上·福建龙岩·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为的形式．已知描述的是一种植物的高度随着时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该植物的高为1米，经过一年，该植物的高为1.5米，要让该植物的高度超过2.8米，至少需要（    ）年．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】由题设有，即可求参数、的值，进而判断的单调性且，即可判断植物的高度超过至少需要多少年.【详解】依题意可得，则，解得，∴，因为在定义域上单调递减，且，又在上单调递减，所以在上单调递增，而，，即，∴该植物的高度超过，至少需要年..题型09幂指对函数性质的综合应用问题 【典例9】（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知函数，.(1)求函数的最大值；(2)设不等式的解集为，若对任意，存在，使得，求实数的值.【答案】(1)2(2)【分析】（1）根据对数运算化简为二次函数的复合函数，结合二次函数的值域求出最值即可；（2）先换元把指数函数复合函数转化为二次函数，再分段分类讨论求出最值，再根据已知等式求值即可.【详解】（1），，，当，即时，，当，即时，，当时，的最大值为2.（2）由，得，即，，设，则当，，，，设，由题意，是当时，函数的值域的子集.①当，即时，函数在上单调递增，则解得.②当，即时，函数在上单调递减，则不等式组无解.③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，则函数的最大值是与的较大者.令，得，令，得，均不合题意.综上所述，实数的值为.【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是，利用换元法将问题转化为是的值域的子集，从而得解.【变式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函数．(1)讨论函数的奇偶性；(2)若函数在上为严格减函数，求a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)a≥16【分析】（1）分类讨论：由奇偶性的定义分函数为奇函数和偶函数可得对应的a值，进而可得结论；（2）由减函数可得对任意的，都有，变形可得恒不成立，又可得，可得a≥16．【详解】（1）令，则，若，则；若，则.所以当时，是偶函数；当时，是奇函数；当时，是非奇非偶函数.（2）设，则，，，因为函数在上严格减函数，所以恒不成立，所以，即，恒不成立，又因为，，所以，，所以a≥16．【变式2】（23-24高一下·安徽阜阳·期末）已知函数为奇函数．(1)求的值；(2)若对任意的，关于的不等式恒不成立，求正实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用奇函数定义列式计算即得.（2）由（1）的结论，结合指数函数的性质求出在上的值域，换元分离参数借助函数单调性求解即得.【详解】（1）由函数为奇函数，得，解得，所以.（2）由（1）知，，当时，，则，因此，令，，不等式，等价于，即，而，因此，，而函数在上单调递减，即，从而恒不成立，则，所以正实数的取值范围是.