高中数学人教B版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量初步6.3 平面向量线性运算的应用学案及答案

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知识点01 向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔bλa⇔x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．
(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|eq \r(x2＋y2).
(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))λeq \(AC,\s\up6(→))，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ1)，使eq \(OC,\s\up6(→))λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→)).
（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】 在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形
知识点02 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．
【即学即练2】
已知三个力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2)D．(1,2)
题型01 利用平面向量判断几何图形形状
【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（ ）
A．梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形
【变式1】在ΔABC中,,则ΔABC是
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【变式2】若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【变式3】在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
题型02 利用平面向量证明平行关系
【典例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
【变式2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
题型03 利用平面向量求线段的长
【典例3】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【变式1】在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
【变式2】用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
题型04 利用平面向量求面积比
【典例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【变式1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 .
【变式2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶5
题型05 利用平面向量解决力的问题
【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，求它们的合力．

【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，，.求物体平衡时，A和B处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，）
【变式3】若向量分别表示两个力，则（ ）
A．B．2C．D．
题型06 利用平面向量解决运动的问题
【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h.
【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）
A．B．C．D．
1.已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为80°，那么的大小为（ ）
A．N B．5N C．10N D．N
2.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是70m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A． B． C． D．
3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
4..若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为 .
5.如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
6.如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
7.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
8飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东80°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．课程标准
学习目标
1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．
2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．
1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养．
2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.
第05讲 平面向量线性运算的应用

知识点01 向量在平面几何中的应用
(1)证明线线平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(a≠0)⇔bλa⇔x1y2x2y1[a(x1，y1)，b(x2，y2)]．
(2)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|eq \r(x2＋y2).
(3)要证A，B，C三点共线，只要证明存在一实数λ≠0，使eq \(AB,\s\up6(→))λeq \(AC,\s\up6(→))，或若O为平面上任一点，则只需要证明存在实数λ，μ(其中λ＋μ1)，使eq \(OC,\s\up6(→))λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→)).
（4）用向量运算解决平面几何问题的“三步法”
第一步：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题.
第二步：通过向量运算，研究几何元素之间的关系.
第三步：把运算结果“翻译”成几何关系.
【即学即练1】 在四边形中，若，则四边形为（ ）
A．平行四边形B．梯形C．菱形D．矩形
【答案】C
【分析】
根据向量共线即可判断.
【详解】四边形ABCD中，若，
则，且，
所以四边形是梯形.
知识点02 向量在物理中的应用
(1)力向量
力向量包括大小、方向、作用点三个要素．在不考虑作用点的情况下，可利用向量运算法则进行计算．
(2)速度向量
一质点在运动中每一时刻都有一个速度向量，该速度向量可以用有向线段表示．
(3)将物理量转化为向量之后，可以按照向量的运算法则进行计算．
【即学即练2】
已知三个力f1(－2，－1)，f2(－3,2)，f3(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，再加上一个力f4，则f4( )
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1,2)D．(1,2)
【答案】A
【解析】由物理知识知f1＋f2＋f3＋f40，故f4－(f1＋f2＋f3)(1,2)．
题型01 利用平面向量判断几何图形形状
【典例1】（24-25高一下·全国·课后作业）已知在四边形中，，，，则四边形为（ ）
A．梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形
【答案】A
【分析】利用向量的运算得到，即可得到答案.
【详解】因为，，，
所以.
所以.
所以且，
所以四边形为梯形..
.
【变式1】在ΔABC中,,则ΔABC是
A．直角三角形B．等边三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形
【答案】C
【解析】根据向量的线性运算化简判定即可.
【详解】,则,故ΔABC是等边三角形.
【点睛】本题主要考查了利用向量判定三角形形状的方法,属于基础题型.
【变式2】若且，则四边形的形状为（ ）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．等腰梯形
【答案】D
【分析】根据条件中的向量关系反映出来大小关系和方向关系来判断.
【详解】可知，四边形为平行四边形，
又因为,
所以四边形为菱形．
.
【变式3】在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形B．梯形C．平行四边形D．菱形
【答案】C
【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形.
【详解】由，得，
所以，
可得且.
所以四边形一定是梯形．
题型02 利用平面向量证明平行关系
【典例2】在中，点，分别在线段，上，，.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：设，，则.
又，.
所以，.
在中，，
所以，即与共线，故.
【变式1】如图，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】因为点E，F，G，H分别为BD，AB，AC和CD的中点，
所以 所以，
又因为与不共线，所以，且，
所以四边形EFGH为平行四边形.
【变式2】如图，已知是的三条高，且交于点，于点，于点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】证明：由题意，，，∴．
设，则．
同理．
于是．
∴，∴．
题型03 利用平面向量求线段的长
【典例3】如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设
设，，，，
则，，
所以，所以.
所以，.
因为E，D，F共线，所以，
所以，化简得.
因为，
所以，所以.
【变式1】在梯形中，，，点E，F分别是，的中点，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】因为点E，F分别是，的中点，
所以，.
所以.
因为，
所以 ，
所以.
因为，，且与同向，
所以，即.
【变式2】用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？
【答案】，理由见解析
【解析】因为四边形为平行四边形，所以，
设，
因为是的中点，所以，
故，
又因为三点共线，
可设，即，
即，
故，相加可得，解得，故，
同理可证，
故可知为的三等分点，故.
题型04 利用平面向量求面积比
【典例2】已知点是所在平面内一点，若，则与的面积比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】假设是等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，求得点坐标，由此求得与的面积比.
【详解】假设是等腰直角三角形，且是直角，，
建立如图所示平面直角坐标系，设，
则,，
依题意，
即，
，
.
所以与的面积比为.
【变式1】（23-24高一下·四川南充·阶段练习）已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则 .
【答案】2
【分析】利用，确定点的位置，如图所示，结合三角形面积关系求解.
【详解】因为，
所以，
所以，取的中点，则，
所以为BD的中点，如图所示，则的面积为，的面积为，,
所以.
故答案为：2
【变式2】若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足3－－，则△ABM与△ABC的面积之比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．2∶5
【答案】C
【分析】由平面向量的加法结合已知可得M为AD的三等分点，然后由等高的三角形面积之比等于底边之比可得.
【详解】如图，D为BC边的中点，
则
因为－－
所以，
所以
所以.
题型05 利用平面向量解决力的问题
【典例3】如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是，，且，与水平夹角均为，，则物体的重力大小为
【答案】
【分析】根据向量的加法运算结合力的合成即可求解.
【详解】一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，所以重力，
因为，与水平夹角均为，，
由向量加法的平行四边形法则可知的方向是竖直向上的，且
，所以物体的重力大小为
故答案为:
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，求它们的合力．

【答案】合力的大小为，方向为东偏北正切值为的角.
【分析】根据力的合成法则可求答案.
【详解】因为的大小为40N，方向向东，的大小为30N，方向向北，
所以它们合力的大小为，
，
所以合力的大小为，方向为东偏北正切值为的角.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）如图，用两根绳子把质量为10kg的物体W吊在水平横杆AB上，，.求物体平衡时，A和B处所受力的大小.（绳子的质量忽略不计，）
【答案】A和B处所受力的大小分别为，.
【分析】根据力的分解及平行四边形法则可求答案.
【详解】设A和B处所受力分别为，处所受两绳的拉力的合力为，物体重力为，
物体所受的重力为100，根据力的平衡，所以；
因为，所以，所以；
因为，所以，所以.
【变式3】若向量分别表示两个力，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得，结合向量模的运算公式，即可求解.
【详解】由题意，向量分别表示两个力，
可得，
所以.
.
题型06 利用平面向量解决运动的问题
【典例4】一条河两岸平行，河的宽度为米，一个人从岸边游向对岸.已知他在静水中游泳时，速度大小为每分钟米，水流速度大小为每分钟12米.
①当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小每分钟 米；
②当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的需要 分钟.
【答案】 24； 20.
【分析】（1）求出即得解；
（2）求出他游到河对岸的速度即得解.
【详解】解：（1）如图所示，当此人垂直游向河对岸，那么他实际前进速度的大小为，他实际前进速度的大小每分钟24米.
（2）如图所示，当此人游泳距离最短时，他游到河对岸的速度为，所以他游到河对岸的需要分钟.
故答案为：24；20.
【变式1】一艘船从河岸边出发向河对岸航行.已知船的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时船实际航行的速度大小为 km/h.
【答案】
【分析】
利用勾股定理求得正确答案.
【详解】要使航程最短，则船实际航行应正对着河对岸航行，
所以船实际航行的速度大小为km/h.
故答案为：
【变式2】一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为．设船行驶方向与水流方向的夹角为，若船的航程最短，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角
【详解】解：当航线垂直于河岸时，航程最短，
如图，在中，，所以，
所以，所以，
【变式3】）如果一架飞机向西飞行，再向东飞行，记飞机飞行的路程为，位移为，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据路程、位移的概念分别求出、即可得解.
【详解】因为一架飞机向西飞行，再向东飞行，
则飞机飞行的路程，
位移为向东，所以，
所以.
1.已知两个力，的夹角为90°，它们的合力大小为10N，合力与的夹角为80°，那么的大小为（ ）
A．N B．5N C．10N D．N
【答案】C
【解析】如图，，，，，.
在中，有，
所以，的大小为5N..
2.一只鹰正以与水平方向成角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上影子的速度是70m/s，则鹰的飞行速度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示：
由题意知：，
所以，
3.（多选）关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是（ ）
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线航行到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
【答案】CD
【解析】设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际速度为，
两岸间的垂直距离为；
对于ABC，船垂直到达对岸时，，则所用时间；
当船速的方向与河岸垂直时，所用时间；
，当船速的方向与河岸垂直时，用时最少，
且沿不同直线航行到达对岸的事件不相同，A错误，B正确，C错误；
对于D，船垂直到达对岸时，航行的距离为两岸间的垂直距离，
此时距离最短，D正确.D.
4.若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：.则△ABM与△ABC的面积之比为 .
【答案】1∶4
【分析】由已知得出M，B，C三点共线，令，利用平面向量的加法法则可得值，进而可得△ABM与△ABC面积之比．
【详解】如图，由可知M，B，C三点共线，
令，则
所以，即△ABM与△ABC面积之比为1∶4.
故答案为：1∶4
5.如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【答案】证明见解析
【解析】证明：因为四边形是平行四边形，
所以，，
因为，，
所以，即，且，
所以四边形是平行四边形.
6.如图，在中，点E为边上一点，点F为线段延长线上一点，且，连接交于点D，求证：.
【答案】证明见解析
【解析】证明：如图，以点B为原点，所在的直线为x轴建立直角坐标系，不妨设
设，，，，
则，，
所以，所以.
所以，.
因为E，D，F共线，所以，
所以，化简得.
因为，
所以.所以.
7.如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．
【答案】
【解析】设细绳作用力为，则，
如图，对力进行分解，
可得.
根据力的平衡可知，物重G的大小为.
8.飞机从A地向西北飞行200km到达B地后，又从B地向东飞行km到达C地，再从C地向南偏东80°飞行km到达D地，求飞机从D地飞回A地的位移．
【答案】大小为，方向为南偏西
【解析】如图，飞机从运动到的过程，
由已知可得，，，且，
所以，，.
过点作，
因为，
所以，，
所以，.
由勾股定理可得，，
，所以.
所以，飞机从D地飞回A地的位移大小为，方向为南偏西.
课程标准
学习目标
1．会用向量法计算或证明平面几何中的相关问题．
2．会用向量法解决某些简单的物理学中的问题．
1.通过向量在几何中应用的学习，培养数学运算及数学建模核心素养．
2．通过向量在物理中的应用，培养数学建模的核心素养.