高中数学(人教B版)必修二同步讲义第6章第03讲向量的基本定理(学生版+解析)

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第03讲 向量的基本定理 知识点01 共线向量基本定理（1）定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得bλa．（2）几点说明①bλa时，通常称为b能用a表示．②其中的“唯一”指的是，如果还有bμa，则有λμ．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up6(→))λeq \o(AC,\s\up6(→))．A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足eq \o(OA,\s\up6(→))λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ1)．【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a2e1－e2，与向量be1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．知识点02 平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxa＋yb．2.基底与向量的分解平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果cxa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．【解读】①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．②当x≠0或y≠0时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．的差向量a−b，可以简记为“共起点，连终点，指被减”【即学即练2】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，则x________，y________．题型01 共线向量定理的应用【典例1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）．A．3 B． C． D．2【变式2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（　　　）A．1 B． C．4 D．【变式3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（    ）A．1 B． C．1或 D．或题型02 基底的判断【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ）A． B．C． D．【变式1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）A．和 B．和C．和 D．和【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ）A．①② B．①③ C．①④ D．③④题型03 用基底表示向量【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（   ）A． B．C． D．【变式2】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ）A． B． C． D．【变式3】（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）  A． B．C． D．题型04 根据向量基本定理求参数【典例4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ）A． B． C． D．【变式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，点在边上，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【变式2】（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ）A． B．的最大值为C．的最小值为15 D．的最小值是9【变式3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 .题型05 平面向量基本定理的综合问题【典例5】（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（    ）A． B．C． D．存在无数个点，使得【变式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ）A．∃λ使得||>||B．△PCD的面积为定值C．∠CPD的取值范围是[，]D．||的取值范围是[，]【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值 【变式3】已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____一、单选题1．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ）①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①② B．①③C．②③ D．①②③2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ）A．与 B．与 C．与 D．与3．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线5．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ）A． B．. C．1 D．26．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是AB的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ）A． B． C．1 D．27．（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ）A． B．C． D．8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高一下·全国·课堂例题）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（    ）A．若，满足，则B．对于平面内任意一个向量，使得不成立的实数，有无数对C．可以表示平面内的所有向量D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量10．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ）A． B．C． D．11．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．  A．如果，那么B．如果，那么C．如果O为的重心，那么D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么三、填空题12．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 .13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ．14．（23-24高一下·北京·期中）四边形ABCD中，，且，若，则 ．四、解答题15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．(1)若向量与共线，求实数的值；(2)若，用，的线性组合表示．16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．(1)用，表示，；(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．17．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .(1)请用 与 表示 ;(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点是的重心,过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合）,设.(1)求的值；(2)求的最小值,并求此时的值.19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.  (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；(2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围.课程标准学习目标理解两个平面向量共线的含义．2．理解平面向量基本定理及其意义．1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．3．会用基底来表示其他向量．4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．第03讲 向量的基本定理 知识点01 共线向量基本定理（1）定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得bλa．（2）几点说明①bλa时，通常称为b能用a表示．②其中的“唯一”指的是，如果还有bμa，则有λμ．作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得eq \o(AB,\s\up6(→))λeq \o(AC,\s\up6(→))．A，B，C三点共线⇔存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足eq \o(OA,\s\up6(→))λeq \o(OB,\s\up6(→))＋μeq \o(OC,\s\up6(→))(λ＋μ1)．【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a2e1－e2，与向量be1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．【答案】－12【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使bμa不成立．即e1＋λe2μ(2e1－e2)2μe1－μe2，所以(2μ－1)e1(λ＋μ)e2，又因为e1与e2不共线．所以2μ−1=0，λ+μ=0，解得λ－12.知识点02 平面向量基本定理1.平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxa＋yb．2.基底与向量的分解平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果cxa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．【解读】①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．②当x≠0或y≠0时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．的差向量a−b，可以简记为“共起点，连终点，指被减”【即学即练2】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，则x________，y________．【答案】－15　－12【解析】根据平面向量基本定理可知向量e1，e2不共线可以作为一组基底，则表示是唯一的，从而，解的x= －15,y=－12.题型01 共线向量定理的应用【典例1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（   ）A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D【答案】A【分析】根据向量共线定理一一分析即可.【详解】对A，，则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；对D，，因为，故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误..【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（    ）．A．3 B． C． D．2【答案】A【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得．【详解】由已知，由A，B，D三点共线，故存在实数，使，即，即，解得．．【变式2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（　　　）A．1 B． C．4 D．【答案】A【分析】利用共线向量定理列式求解即得.【详解】由是两个不共线的向量，得是非零向量，又与共线，则，即，于是，所以.【变式3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（    ）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值.【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使，于是，整理得．由于不共线，所以有，整理得，解得或．又因为，故．．题型02 基底的判断【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；对于B选项，，所以共线，不能作为基底；对于C选项，，所以共线，不能作为基底；对于D选项，易知不共线，可以作为基底..【变式1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；.【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可.【详解】A：假设和是共线向量，因此有，因为，为平面向量的一组基底，所以，不是共线向量，且，因此不不成立，因此假设不不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；B：假设和是共线向量，因此有，因为，为平面向量的一组基底，所以，不是共线向量，且，因此不不成立，因此假设不不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；C：假设和是共线向量，因此有，因为，为平面向量的一组基底，所以，不是共线向量，且，因此要想不成立，一定有，显然无实数解，因此假设不不成立，因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底；D：因为，所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底，【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（    ）A．①② B．①③ C．①④ D．③④【答案】C【分析】根据基底的定义判断即可.【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底；③不共线可以做基底，④不可以做基底；故所在平面所有向量的基的是①③..题型03 用基底表示向量【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.【详解】依题意，，而，所以【变式1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（   ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由向量的加减法则，，分别与相应的关系，再消元构建三者的关系，得出结果.【详解】由题意得，，，故，故..【变式2】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形为平行四边形，且，，所以，即①，又，即②，由①②得到，又，，所以..【变式3】（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）  A． B．C． D．【答案】A【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】，故，则.题型04 根据向量基本定理求参数【典例4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可.【详解】因为，，所以，又，所以，则，解得：，.【变式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，点在边上，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的线性运算把用表示后可得，从而得结论．【详解】由已知，所以，，，．【变式2】（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（    ）A． B．的最大值为C．的最小值为15 D．的最小值是9【答案】ACD【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误.【详解】因为，则，又，，共线，所以，A正确；由，则，则，当且仅当时取等号，B错误；由，当时有最小值，C正确；因为，当且仅当，即时，等号不成立，D正确.CD【变式3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 .【答案】【分析】先设得到，再设得到，再结合平面向量基本定理求得，即可求解.【详解】设，则，设，则，所以，解得，则，结合题设有所以，故答案为：题型05 平面向量基本定理的综合问题【典例5】（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（    ）A． B．C． D．存在无数个点，使得【答案】ACD【分析】按点的位置分类，结合向量线性运算探讨的取值及关系，再逐项分析判断得解.【详解】由，得，又，则，于是，，连接，则四边形为平行四边形，有，当点在线段上时，，而，不共线，则，，当点在线段上时，，当点在线段上时，，当点在内时，过点作交于，则，其中，，则，，，，因此，对于A，，A正确；对于B，取，则，B错误；对于C，由，得，C正确；对于D，点为线段上任意一点时，均有，D正确．CD【变式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（    ）A．∃λ使得||>||B．△PCD的面积为定值C．∠CPD的取值范围是[，]D．||的取值范围是[，]【答案】CCD【分析】对于A，根据正六边形的对称性判断即可；对于B，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对于C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对于D，根据当时，有最小值，点与点重合时，有最大值，判断即可.【详解】由可得，即，可得，对于A，因为正六边形关于对角线对称，故，故A错误；对于B，在正六边形的对角线上运动，所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故B正确；对于C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值，当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确；对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离，又当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，故D正确.CD【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值 【答案】【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出与的关系，最后求的最大值.【详解】设为重心，则由欧拉线定理可知在上，连接交于点，所以为的中线，所以，点在直线上，设，所以，所以，所以，所以，当时取最大值.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出和的代数关系.【变式3】已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____【答案】【解析】如图，由得，,所以,所以,所以解得，故实数的取值范围是故答案为：.一、单选题1．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（    ）①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；②基底中的向量可以是零向量；③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．A．①② B．①③C．②③ D．①②③【答案】C【分析】由基底的定义可逐项判断.【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确；对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误；对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确,所以①③正确.2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（    ）A．与 B．与 C．与 D．与【答案】A【分析】由基的定义可判断选项正误.【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基，D选项，与共线，则不可以作为一组基.3．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（   ）A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形【答案】C【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形.【详解】由，得，所以，可得且.所以四边形一定是梯形．4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（　　）A．三点共线 B．三点共线C．三点共线 D．三点共线【答案】A【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.【详解】对于A，，与不共线，A不正确；对于B，，，则与不共线，B不正确；对于C，，，则与不共线，C不正确；对于D，，即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．．5．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（    ）A． B．. C．1 D．2【答案】A【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值.【详解】由于，，三点共线，所以与共线.存在实数，使得，即. 因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则. 由，将其代入可得..6．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是AB的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.【详解】因为，所以为的中点，又D是AB的中点，所以，则，..7．（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据几何关系，转化向量，用基底表示.【详解】因为，由已知可得，，所以，所以．8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可.【详解】设，则，且，可得，则，可得，即，可得，则，因为，则，可得，所以，因为，解得，所以实数x的取值范围是..【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.二、多选题9．（24-25高一下·全国·课堂例题）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（    ）A．若，满足，则B．对于平面内任意一个向量，使得不成立的实数，有无数对C．可以表示平面内的所有向量D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量【答案】AC【分析】根据平面向量的线性运算、平面向量基本定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】若，则，从而向量，共线，这与，不共线相矛盾，则，同理可得，故A正确；由平面向量基本定理可知，唯一确定，故B不正确；平面内的每个向量可表示成的形式，反之也不成立，故C正确；结合向量加法的平行四边形法则易知，当和确定后，其和向量便唯一确定，故D不正确.C10．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（    ）A． B．C． D．【答案】DD【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性.【详解】如图：对A：，故A错误；对B：，故B错误；对C：，故C正确；对D：，故D正确.D11．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（    ）．  A．如果，那么B．如果，那么C．如果O为的重心，那么D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么【答案】CCD【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确.【详解】对于A：由题意,结合，可得,即A错误.对于B：由,可得;整理得,即得，即B正确；对于C：如果O为的重心，则可知，可知，即C正确；对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r,则,又,,则,所以，可知，即D正确.CD.【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解.三、填空题12．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 .【答案】【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数，使，化简后可求得结果.【详解】因为与共线，所以存在实数，使，因为，是两个不共线的向量，所以，所以，解得或，所以故答案为：13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ．【答案】8【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.【详解】， ,若三点共线，设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，，则，当且仅当，即时，取等号，故最小值为8.故答案为：8.14．（23-24高一下·北京·期中）四边形ABCD中，，且，若，则 ．【答案】2【分析】由题设可得且，利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.【详解】如图，由可得且，易得,则有于是,  因，故得由，解得：.故答案为：2.四、解答题15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．(1)若向量与共线，求实数的值；(2)若，用，的线性组合表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；【详解】（1）因为向量与共线，所以设，即，所以，（2）设，又因为，由向量基本定理，得，解得所以．16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．(1)用，表示，；(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到；（2）计算出，结合（1）可得，证明出结论.【详解】（1）由题可知，，（2），且有公共点M，，三点共线.17．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .(1)请用 与 表示 ;(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.【答案】(1)(2)证明过程见解析【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可；（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可.【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以，于是有，即；（2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，所以，于是有，即，因此，显然有，不共线，因此且，所以四边形是平行四边形.18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点是的重心,过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合）,设.(1)求的值；(2)求的最小值,并求此时的值.【答案】(1)(2)最小值为,【分析】（1）是的重心,所以，结合性质得解.（2）“乘1法”，再将1进行代换，用基本不等式解决.【详解】（1）因为是的重心,所以,因为,所以,因为三点共线,所以,则.（2）由⑴得,,则,所以,当且仅当且,即,所以的最小值为,此时.19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.  (1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；(2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围.【答案】(1)，是定值，理由见详解(2)【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值；（2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案.【详解】（1）已知，，所以，所以，因为，，则，，因为点是的重心，所以，因为在直线上，所以.（2），所以，设，由（1）得，所以所以因为，，又因为，则，因为，所以，因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以，因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增，所以当时，，当时，，所以的取值范围为【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域.课程标准学习目标理解两个平面向量共线的含义．2．理解平面向量基本定理及其意义．1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．3．会用基底来表示其他向量．4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．