专题05 导数中的隐零点问题（3大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc31706" 题型01 利用隐零点解决最值、极值 PAGEREF _Tc31706 \h 1
\l "_Tc27354" 题型02 利用隐零点判断零点个数 PAGEREF _Tc27354 \h 2
\l "_Tc13266" 题型03 利用隐零点证明不等式 PAGEREF _Tc13266 \h 4
题型01 利用隐零点解决最值、极值
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）已知 表示不超过 的最大整数，若 为函数的极值点，则 （ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山东·模拟预测）已知函数，则使有零点的一个充分条件是（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数恰有两个极值点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知对任意恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，且，函数的值域为 .
6．（2024·青海·模拟预测）已知函数的最小值为，则 .
题型02 利用隐零点判断零点个数
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·广东韶关·期末）已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知实数满足，则函数的零点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、解答题
3．（2024·辽宁·模拟预测）已知函数.
(1)求在区间内的极大值；
(2)令函数，当时，证明：在区间内有且仅有两个零点．
4．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数.
(1)若，求在处的切线方程.
(2)讨论的单调性.
(3)求证：若，有且仅有一个零点.
5．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知.
(1)讨论的单调性；
(2)若，讨论的零点个数；
(3)若，且，证明：存在唯一实数，使得.
6．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数．
(1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围；
(2)证明：当时，有且仅有两个零点．
题型03 利用隐零点证明不等式
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）求证：
2．（23-24高三下·湖北黄冈·阶段练习）已知函数.
(1)求方程在上的解集；
(2)设函数；
（i）证明：在有且只有一个零点；
（ii）在（i）的条件下，记函数的零点为，证明：.
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)当时，求的极小值；
(2)若，求证：当时，.
4．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数.
(1)若曲线y=fx在点1,0处的切线为轴，求的值；
(2)讨论在区间1,+∞内的极值点个数；
(3)若，求证：存在两个零点，且满足.
5．（23-24高三下·辽宁大连·阶段练习）已知函数，.
(1)求函数的值域；
(2)设函数，证明：有且只有一个零点，且.
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，，若在上不单调，求a的取值范围.
2．（24-25高三上·全国·期末）已知函数，为的导数．证明：在区间存在唯一极大值点．
3．（23-24高三下·浙江丽水·期末）已知，函数.
(1)若，解不等式；
(2)证明：函数有唯一零点；
(3)设，证明：.
4．（23-24高三下·河南南阳·期末）已知函数，其中.
(1)讨论在区间上的单调性；
(2)若，函数在区间内存在唯一的极值点，求实数的取值范围.
5．（2024·广西·模拟预测）设函数，．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)证明：．
6．（23-24高三下·重庆北碚·阶段练习）已知函数．
(1)若在处的切线方程为，求m的值；
(2)当时，求证：有且仅有两个零点；
(3)若时，恒有，求m的取值范围．
7．（23-24高三下·福建三明·期中）已知函数.
(1)求函数的极大值和极小值；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
8．（23-24高三下·北京海淀·期末）已知函数，其中.
(1)若在处取得极值，求的单调区间；
(2)若对于任意，都有，求的值.
9．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数．
(1)求证：对．曲线在点处的切线恒过定点；
(2)当时，判断函数的零点的个数，并说明理由．
10．（24-25高三下·全国·课后作业）已知函数且．
(1)若，求在处的切线方程；
(2)在①；②两个条件中任选一个，证明：恰有三个零点．
一、隐零点问题
隐零点问题是函数零点中常见的问题之一，其源于含指对函数的方程无精确解，这样我们只能得到存在性之后去估计大致的范围（数值计算不再考察之列）.
基本步骤：
第 1 步: 用零点存在性定理判定导函数零点的存在性, 列出零点方程, 并结合的单调性得到零点的范围;
第 2 步: 以零点为分界点, 说明导函数 的正负, 进而得到的最值表达式;
第 3 步: 将零点方程适当变形, 整体代入最值式子进行化简:
（1）要么消除最值式中的指对项
（2）要么消除其中的参数项;
从而得到最值式的估计.
一、函数零点的存在性定理
函数零点存在性定理：设函数在闭区间上连续，且，那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点，使得.
二、隐零点的同构
实际上, 很多隐零点问题产生的原因就是含有指对项, 而这类问题由往往具有同构特征, 所以下面我们看到的这两个问题, 它的隐零点代换则需要同构才能做出, 否则, 我们可能很难找到隐零点合适的代换化简方向. 我们看下面两例: 一类同构式在隐零点问题中的应用的原理分析
所以在解决形如 , 这些常见的代换都是隐零点中常见的操作.
针对导函数的“隐零点”，求解取值范围时，需要根据导函数零点代入方程，把参数表示成含隐零点的函数，再来求原函数的极值或者最值问题或证明不等式。构建关于隐零点作为自变量的新函数，求函数值域或者证明不等式恒成立问题。在使用零点存在定理确定区间时往往存在困难，必要时使用放缩法取含参的特殊值来确定零点存在区间。