专题18 洛必达法则（2大题型）-2025年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练（新高考通用）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22589" 题型01 洛必达法则的直接计算 PAGEREF _Tc22589 \h 1
\l "_Tc8253" 题型02 洛必达法则解决最值问题 PAGEREF _Tc8253 \h 3
题型01 洛必达法则的直接计算
【解题规律·提分快招】
【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三下·吉林长春·期中）1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A．2B．1C．0D．-2
2．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．0B．C．1D．2
二、填空题
3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ．
题型02 洛必达法则解决最值问题
【典例训练】
一、解答题
1．（2024高三·全国·专题练习）恒成立,求的取值范围
2．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．当时，求的取值范围．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，如果当，且时，，求的取值范围．
4．（2024·浙江·二模）①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则
.
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数.
结合以上两个信息，回答下列问题：
(1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；
(2)计算：；
(3)证明：，.
一、单选题
1．（23-24高三下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如，则（ ）
A．B．C．1D．2
2．（23-24高三下·新疆伊犁·期中）我们把分子､分母同时趋近于0的分式结构称为型，比如：当时，的极限即为型.两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、解答题
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，当时，，求实数a的取值范围.
4．（2024高三·全国·专题练习），恒成立，求的取值范围
5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若当时，恒有成立，求实数的取值范围．
6．（2024高三·全国·专题练习）设函数，
(1)若，（为常数），求的解析式；
(2)在（1）条件下，若当时，，求的取值范围．
7．（23-24高三下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则运算法则：如果，，则，，若B≠0，则；ii)洛必达法则：若函数，的导函数分别为f′x，，，，则；
②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对，均有成立，则称函数为区间(0,a)上的k阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①；
②；
(2)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数；并证明：，.
8．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件：
①且（或，）；
②在点的附近区域内两者都可导，且；
③（可为实数，也可为），则．
(1)用洛必达法则求；
(2)函数（，），判断并说明的零点个数；
(3)已知，，，求的解析式．
参考公式：，．
一、前言
在高中，涉及到求参数的取值范围时，参数分离后，有时会出现分子与分母之比为两个无穷小之比、两个无穷大之比或两个趋近于零的数之比。这个比值可能是定值也可能是不存在，这时如果我们要计算出他们的比值，就需要运用到洛必达法则。
二、洛必达法则定义
在一定条件下，通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法，称为洛必达法则。
三、法则形式
1、法则1（型）：若函数和满足下列条件：
（1）设当时， 及；
（2）在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
（3）；则：.
2、法则2（型）： 若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；
(3)，则：.
3、法则3（型）：若函数和满足下列条件：
(1) 及；
(2)在点处函数和的图像是连续的，即函数和在点处存在导数；且；
(3)，则：=.
【特别提醒】
（1）将上面公式中的换成洛必达法则也成立。
（2）洛必达法则可处理型。
（3）首先要检查是否满足型定式，否则用洛必达法会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则
（4）若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
（5）高中阶段，洛必达法则一般是用来确定最值，方便解题。
四、适用类型的转化
（1）型的转化：或；
（2）型的转化：
（3）、型的转化：幂指函数类