高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.1.1等式的性质与方程的解(5知识点+5题型+巩固训练)(学生版+解析)

这是一份高中数学(人教B版)必修一同步讲义2.1.1等式的性质与方程的解(5知识点+5题型+巩固训练)(学生版+解析)，共36页。
2.1.1 等式的性质与方程的解知识点01等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立．注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：(1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c；(2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc.【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（ ）A． B． C． D．知识点02 恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．注：常见的代数恒等式（1），（2）（3），（4），【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）A． B． C． D．知识点03十字相乘法对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．(2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同．【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：（1）； （2）；知识点04 方程的有关概念【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）A．0 B．1 C． D．知识点05 一元一次方程【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常数.难点：因式分解法解一元二次方程求方程x2－5x＋60的解集．【题型1：等式的性质与应用】例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ）A． B． C． D．变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（    ）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，则变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（ ）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，则变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（    ）A． B．C． D．变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上､下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（    ）A． B．C． D．【方法技巧与总结】等式的性质(1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边．(2)恒等式不成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．　【题型2：恒等式的化简】例2.（2024·高一课时练习）下列各式运算正确的是A． B．C． D．变式1．（2024·高一课时练习）若等式恒不成立，则常数 ； ．变式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式恒不成立，则常数 变式3．（2024·全国·高三专题练习）若等式恒不成立，则常数a与b的和为 .变式4．（2024·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若恒不成立，则的值 ．变式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知等式恒不成立，其中为常数，则 ．变式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）对于任意实数，等式恒不成立，则 【方法技巧与总结】利用恒等式化简的步骤（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多项式的项数 = 1 \* GB3 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； = 2 \* GB3 ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； = 3 \* GB3 ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。【题型3：因式分解】例3．（2024·高一课时练习）下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．变式1．（2024·高一课时练习）分解因式： ； ．变式2．（2024·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .变式3.（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：（1）； （2）； （3）变式4．（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).变式5．（2024·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．变式6.（2024·全国·高一专题练习）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.【方法技巧与总结】用“十字相乘法”分解因式的步骤(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；(4)写出最终结果．【题型4：一元一次方程的解集】例4．（2024·高一课时练习）设a、，求关于x的方程的解集．变式1．（2024·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知，方程的解集为 .【方法技巧与总结】解一元一次方程的策略解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．【题型5：因式分解法解一元二次方程】例5.（2024·高一课时练习）求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；变式1.（2024·高一课时练习）一元二次方程的解集是（ ）A． B． C． D．变式2．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集为非空集合，则的取值范围是 .变式3．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾､股代表两条直角边，则股为 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，则弦为 尺.变式4．（2024·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）若关于的方程的解集为，则实数的值为 ．变式5．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是 ．【方法技巧与总结】用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．一、单选题1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　）A．在等式两边同除以，可得B．在等式两边同除以2，可得C．在等式两边同除以，可得D．在等式两边同除以，可得2．（2024高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）.A． B．C． D．3．（2024·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（    ）A． B． C． D．4．（2024高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．5．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ）A．，则 B．若，则C．若，则 D．若，则6．（2024高三下·安徽·阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组．A．1 B．2 C．3 D．4二、多选题7．（2024高一上·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y20，则的值可以为（    ）A．－ B．－ C． D．8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（   ）A． B． C． D．三、填空题9．（2024高一·上海·专题练习）方程的解集是 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号）①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故；②解方程时，对比方程两边知，，故；③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得；④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根．11．（24-25高一上·上海·课后作业）若多项式与互为相反数，则 ．12．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= .四、解答题13．（2024高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).14．（2024高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则或；(4)若，且，则.15．（2024高一·全国·课后作业）已知等式对任意实数m恒不成立，求所有满足条件的实数对的集合.16．（2024高一·全国·课后作业）已知等式．（1）若，请写出一组满足等式的值；（2）若对任意的实数，等式恒不成立，求所有实数对的集合．17．（2024高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 .18．（2024高一上·江苏·专题练习）若，，b，，则的最小值为（    ）A． B．C． D．19．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根.(1)求的值；（用表示）(2)是否存在实数，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值.课程标准学习目标1.掌握等式的性质并会应用；2.掌握几个重要的恒等式3.会用十字相乘法进行因式分解；4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法； 方程含有未知数的等式叫方程．方程的解(或根)能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．方程的解集把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．解方程求方程的解的过程叫解方程．一元一次方程方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程．满足的条件①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.表示形式ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).2.1.1 等式的性质与方程的解知识点01等式的性质(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立；(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立．注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：(1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c；(2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc.【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，则，则，，故B选项正确，ACD选项错误..知识点02 恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．注：常见的代数恒等式（1），（2）（3），（4），【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】选项A，只有时，等式不成立，故不是恒等式，A错；选项B，对任意不成立，B对；选项C，只有时，等式不成立，故不是恒等式，C错；选项D，，故不是恒等式，D错知识点03十字相乘法对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．(2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同．【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：（1）； （2）；【答案】（1）；（2）【解析】（1）=；（2）=；知识点04 方程的有关概念【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）A．0 B．1 C． D．【答案】D【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值【解析】由，得，因为关于的方程的解集为，所以，得，知识点05 一元一次方程【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常数.【答案】见解析【解析】对a,b分三种情况进行讨论，即a=0,b=0或a≠0或a=0，b≠0.【详解】当a=0,b=0时，方程的解集为R，当a≠0时，方程的解集为{ba}，当a=0时，b≠0时，方程的解集为∅.【点睛】本题考查一元一次方程解的讨论，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.难点：因式分解法解一元二次方程求方程x2－5x＋60的解集．【解析】因为x2－5x＋6(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)0，从而可知x－20或x－30，即x2或x3，因此方程的解集为{2，3}．方法小结：用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．[提醒]　①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．【题型1：等式的性质与应用】例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么 D．如果，那么【答案】A【解析】选项A，当时，显然不不成立；选项B，如果，那么或，显然不不成立；选项C，当时，无意义，不不成立；选项D，如果，则，故，即，不成立，变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C.【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题；对于B，，所以，故B为真命题；对于C，当时，无意义，故C为假命题；对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题..变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误；对于B，两边同时加上2，该等式仍然不成立，故正确；对于C，当，，满足，但得不到，故错误；对于D，当时，无法得到，故错误；变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（    ）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，则【答案】C【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.【详解】A、，两边都加，得，故A正确；B、时，两边都除以无意义，故B错误；C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；D、两边都乘以，故D正确；．变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（ ）A．如果，则 B．如果，则C．如果，则 D．如果，则【答案】C【解析】A、，两边都加，得，故A正确；B、时，两边都除以无意义，故B错误；C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；D、两边都乘以，故D正确；．变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】分别利用每车坐3人，两车空出来求出总人数以及每车坐2人，多出9人无车坐求出总人数，列出方程可得答案．【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9..【点睛】方法点睛：本题考查方程的应用，列方程的一般步骤为：1.审题：分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；2.设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设元有利于布列方程和解方程，以直接设未知数居多；3.根据已知条件找出等量关系布列方程或方程组；4.解方程或方程组；5.检验并写出答案．变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上､下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.【详解】解：上、下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，下禾束之“实"相当，即，同理有，所以方程组为..【方法技巧与总结】等式的性质(1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边．(2)恒等式不成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．　【题型2：恒等式的化简】例2.（2024·高一课时练习）下列各式运算正确的是A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A选项，右边左边，故A选项错误.对于B选项，右边左边，故B选项错误.对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确.对于D选项，根据立方差公式可知，正确的运算是，故D选项错误.故选C.变式1．（2024·高一课时练习）若等式恒不成立，则常数 ； ．【答案】 / /【分析】将等式右边化简，可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.【详解】因为，所以，，解得.故答案为：；.变式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式恒不成立，则常数 【答案】4【分析】由对应项系数相等列方程组求解．【详解】恒不成立，所以，解得，所以．故答案为：4．变式3．（2024·全国·高三专题练习）若等式恒不成立，则常数a与b的和为 .【答案】2【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.【详解】等式恒不成立，即恒不成立，则有，解之得，故故答案为：2变式4．（2024·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若恒不成立，则的值 ．【答案】5【解析】根据等式恒不成立，对应项的系数相等可求得结果.【详解】因为，即恒不成立，所以，所以.故答案为：5【点睛】关键点点睛：根据等式恒不成立，对应项的系数相等求解是解题关键.变式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知等式恒不成立，其中为常数，则 ．【答案】【分析】首先将等式转化，然后根据等式恒不成立,即可得出结果.【详解】因为等式恒不成立，所以恒不成立，则,即得故故答案为：.变式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）对于任意实数，等式恒不成立，则 【答案】1【分析】根据等式恒不成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.【详解】因为等式恒不成立，所以，所以.故答案为：1【方法技巧与总结】利用恒等式化简的步骤（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；（2）提公因式后，看多项式的项数 = 1 \* GB3 ①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解； = 2 \* GB3 ②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解； = 3 \* GB3 ③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。【题型3：因式分解】例3．（2024·高一课时练习）下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐项分解因式可得答案.【详解】对于A，应该是，故A错误    对于B，应该是，故B错误；对于C，，故C 错误；    对于D，，故D正确..变式1．（2024·高一课时练习）分解因式： ； ．【答案】 【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解.【详解】，=；，，，，故答案为：，变式2．（2024·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） .【答案】 【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），=.故答案为：，，，，变式3.（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：（1）； （2）； （3）【答案】答案见解析.【解析】（1）；（2）；（3）变式4．（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果.(1)(2)(3)变式5．（2024·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】由十字相乘法即得.【详解】（1）=；（2）=；（3）=；（4）=．变式6.（2024·全国·高一专题练习）把下列各式因式分解（1）6m2－5mn－6n2；（2）20x2＋7xy－6y2；（3）2x4＋x2y2－3y4；（4）.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.【方法技巧与总结】用“十字相乘法”分解因式的步骤(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；(4)写出最终结果．【题型4：一元一次方程的解集】例4．（2024·高一课时练习）设a、，求关于x的方程的解集．【答案】答案见解析．【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解.【详解】方程转化为，当时，解集为；当，时，解集为R；当，时，解集为R；当，时，解集为．变式1．（2024·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知，方程的解集为 .【答案】【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.【详解】当时，则；当时，则；当时，则.综上所述，原方程的解集为.故答案为：.【方法技巧与总结】解一元一次方程的策略解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．【题型5：因式分解法解一元二次方程】例5.（2024·高一课时练习）求下列方程的解集：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【解析】（1），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.（2），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.（3），原方程化为，解得或，所以原方程的解集为.变式1.（2024·高一课时练习）一元二次方程的解集是（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，即，所以或，解得，.故选:C.变式2．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集为非空集合，则的取值范围是 .【答案】【分析】分类讨论前的系数是否为0时方程的解集不为空集，即可得到的取值范围.【详解】解：由题意在中，解集为非空集合当即时，，解得：，满足题意当即时，，解集为非空集合∴解得：综上：的取值范围是故答案为：.变式3．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾､股代表两条直角边，则股为 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，则弦为 尺.【答案】 【解析】利用勾股定理即可求解.【详解】当弦五尺，勾三尺，所以股为；当弦t尺，勾尺，股尺，则，且 整理可得， ，解得.故弦为尺 故答案为：；变式4．（2024·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）若关于的方程的解集为，则实数的值为 ．【答案】【分析】根据题意转化为和时方程两个实数根，结合韦达定理，即可求解.【详解】关于的方程，可化为，因为方程的解集为，所以和时方程两个实数根，可得，解得.故答案为：.变式5．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是 ．【答案】【分析】分和两种情况求解【详解】当时，方程化为，等式不不成立，方程无解，即解集为，当时，由，得，由于，所以当时，方程无解，即解集为，综上，当或时，方程的实数解集为，即实数a的取值范围是，故答案为：【方法技巧与总结】用因式分解法解一元二次方程的步骤(1)将方程右边化为0；(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．一、单选题1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（　　）A．在等式两边同除以，可得B．在等式两边同除以2，可得C．在等式两边同除以，可得D．在等式两边同除以，可得【答案】A【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解.【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误；对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误；对于C，若，则不一定相等，故C错误；对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确..2．（2024高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（    ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式.【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为，因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以.3．（2024·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，商音的律管长度为，羽音的律管长度为，所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是..4．（2024高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】逐项分解因式可得答案.【详解】对于A，应该是，故A错误    对于B，应该是，故B错误；对于C，，故C 错误；    对于D，，故D正确..5．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（    ）A．，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确；对于选项，没有说明，故不正确；对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；故选：.6．（2024高三下·安徽·阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（    ）组．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.【详解】设此方程的解为有序数对，因为所以当或时，等号是不能不成立的，所以即， （1）当时，即（2）当时，即或（3）当时，即综上所述，共有四组解 二、多选题7．（2024高一上·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y20，则的值可以为（    ）A．－ B．－ C． D．【答案】CD【分析】由x2＋xy－2y20得或，分别代入原式可得结果.【详解】由x2＋xy－2y20得，得或，当时，；当时，.D.【点睛】本题考查了分解因式，属于基础题.8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（   ）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】将所求方程化为，由分类讨论求出的值，再解原方程即可.【详解】由题意可知且，则原方程可化为，得，若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；若，解得，故原方程为，解得.BC.三、填空题9．（2024高一·上海·专题练习）方程的解集是 【答案】【分析】将方程通分化简整理后可得，即可求得方程得解集.【详解】方程可化为,去分母可得,整理可得，解得；所以该方程的解集为.故答案为：10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号）①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故；②解方程时，对比方程两边知，，故；③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得；④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根．【答案】④【分析】①②③在解方程的过程中产生失根，所以判断它们是错误的；④根据二次方程的解法可判断.【详解】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误；②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误；③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误；④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④不成立.故答案为：④11．（24-25高一上·上海·课后作业）若多项式与互为相反数，则 ．【答案】1【分析】根据相反数的性质列式即可求解.【详解】由题意，解得.故答案为：1.12．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= .【答案】3【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解.【详解】由题意结合韦达定理有，所以.故答案为：3.四、解答题13．（2024高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果.【详解】（1）（2）（3）14．（2024高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：(1)若，则；(2)若，则；(3)若，则或；(4)若，且，则.【答案】(1)假命题(2)真命题(3)真命题(4)真命题【分析】结合真假命题的定义，根据等式的性质逐一判断，即可得出结果.【详解】（1）若，则，假命题；（2）由，且，所以，真命题；（3）若，则或，真命题；（4）设，则，所以，又，所以，真命题.15．（2024高一·全国·课后作业）已知等式对任意实数m恒不成立，求所有满足条件的实数对的集合.【答案】.【分析】根据恒不成立，将式子变形为对任意实数m恒不成立，即可由且求解.【详解】由于对任意实数m恒不成立，则对任意实数m恒不成立，因此且，所以，当，当，故满足条件的实数对的集合为16．（2024高一·全国·课后作业）已知等式．（1）若，请写出一组满足等式的值；（2）若对任意的实数，等式恒不成立，求所有实数对的集合．【答案】（1），（答案不唯一）；（2）．【分析】（1）由题得取区间内的任意一个值时，都可以求得相应的值，即得解；（2）解方程组即得解.【详解】（1）答案不唯一，时，，所以，所以的取值范围为.当取区间内的任意一个值时，都可以求得相应的值．例如，当时，或2，因此，（0，1），（2，1）都满足等式．（2）由题得对于对任意的实数，等式恒不成立，所以，所以所以所有实数对的集合为．17．（2024高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 .【答案】【分析】按题意分类讨论即可求解【详解】时，原式，不合题意时，原式时，原式即恒不成立x>2时，原式，不合题意故故答案为：18．（2024高一上·江苏·专题练习）若，，b，，则的最小值为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据已知条件求出a，b，c的值，即可求解．【详解】解：因为，，b，，所以联立方程组，求得，，，从而，，，所以当a，b异号时，取最小值为．．19．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根.(1)求的值；（用表示）(2)是否存在实数，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；(3)求使的值为整数的实数的整数值.【答案】(1)(2)不存在，理由见详解(3)【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得；（2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断；（3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得.【详解】（1）因为一元二次方程，所以，解得由韦达定理可得当时，，无意义；当时，综上，的值为（2）由韦达定理可知，令，整理得，，由（1）可知，所以不存在实数，使不成立.（3）因为为整数，所以必为整数，所以，即又，所以，因为为整数，所以，经检验时，为整数，所以使的值为整数的实数的整数值为.课程标准学习目标1.掌握等式的性质并会应用；2.掌握几个重要的恒等式3.会用十字相乘法进行因式分解；4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集.1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程；2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法； 方程含有未知数的等式叫方程．方程的解(或根)能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．方程的解集把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．解方程求方程的解的过程叫解方程．一元一次方程方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程．满足的条件①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.表示形式ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).