高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系达标测试

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第三章 函数3.2 函数与方程、不等式之间的关系达标测试，共63页。试卷主要包含了如x2就是函数f2的二阶零点．，函数的零点是，若求函数的零点．，2B．1，82等内容，欢迎下载使用。

知识点01 函数的零点
（1）函数零点的概念
一般地，如果函数yf(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)0，则称α为函数yf(x)的零点．
（2）函数零点的意义
不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有：
方程f(x)0有实数根⇔函数yf(x)的图像与x轴有交点⇔函数yf(x)有零点．
注：(1)函数F(x)f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，也就是函数y1f(x)与y2g(x)的图像交点的横坐标．
(2)如果方程f(x)0有两个相等的实数根x，那么x称为函数yf(x)的二阶零点(二重零点).如x2就是函数f(x)(x－2)2的二阶零点．
【即学即练1】（2024·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，函数的零点为、
B．函数一定有两个零点
C．函数可能无零点
D．函数的零点个数是1或2
知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程
三个“二次”之间的关系
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数yax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数yax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c0的解集就是二次函数yax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”．
因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示：
注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一．
(2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
知识点03 函数零点存在定理
如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)0.
注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y eq \f(1,x) 的图像不是连续不断的．
(2)一个函数yf(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可．
(3)若函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.
(4)如果单调函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）函数的零点所在的区间为( )
A．B．C．D．
知识点04 二分法
（1）二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值
先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数yf(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值．
注：即用区间中点 eq \f(a＋b,2) 将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2))) 和 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b)) ，其中一个区间一定包含零点．如果f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) ＞0，f(a)＜0，我们便认为区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2))) 包含零点，如下图所示：
不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值．
注：(1)我们把x eq \f(a＋b,2) 称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点．
(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
(3)二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次，B．6次，
C．7次，D．7次，
难点：函数零点的应用
示例：已知函数f(x)x，x≤m，x2−2mx+4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【题型1：利用二次函数解不等式】
例1．（2024·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）解不等式
(1)；
(2)；
(3)
变式1．（2024·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式2．（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知的解集是，
(1)求实数与的值
(2)求的解集．
【方法技巧与总结】
二次函数的零点与不等式解集之间的关系
借助相对应的二次函数与一元二次方程的关系，可提炼出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c0的根；
②画出对应函数图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
求解过程中，必须考虑对应的二次函数图像的开口方向(a＞0或a＜0)，对应的一元二次方程的判别式符号、两根的大小关系，不等号的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次项系数正负)，二算(求对应一元二次方程的根)，三写(利用对应二次函数的图像写出对应不等式的解集).
【题型2：求函数的零点】
例2．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）求下列函数的零点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
变式2．（2024·广东梅州·高三统考阶段练习）函数的零点有 个．
变式3.（2023·全国·高一专题练习）函数的零点是
变式4．（2024·全国·高一专题练习）若函数的一个零点是1，则它的另一个零点是 ．
变式5．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．
(1)；
(2)；
(3)，其图象如图所示．

变式6.（2024·全国·高一专题练习）若求函数的零点．
【方法技巧与总结】
函数零点的求法
(1)代数法：求出方程f(x)0的实数根，即为函数f(x)的零点．
(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用函数的性质求零点．
【题型3：求函数零点个数】
例3．（2023春·陕西西安·高二校考期中）直线与函数图象的交点个数为 ．
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
变式2．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数一定有两个零点
B．时，函数一定有两个零点
C．时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数．
变式4.（2023·全国·高一专题练习）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式5．【多选】（2024·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知函数有两个不同零点，则（ ）
A．
B．且
C．若，则
D．函数有四个零点或两个零点
变式6．（2024·云南大理·高二云南省下关第一中学校考开学考试）已知，定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（ ）

A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有两个解
C．方程有且仅有五个解D．方程有且仅有一个解
变式7．【多选】（2024·全国·高一课堂例题）已知，关于的方程，则下列四个命题是真命题的为（ ）
A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实数解
B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解
C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数解
D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解
【方法技巧与总结】
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图像法：由f(x)g(x)－h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数yf(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)12
12．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
13．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知定义域为R的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上有6个零点
14．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数有无数多个保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
三、填空题
15．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
16．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
17．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知，在区间上有一个零点，则 .若用二分法求的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分 次.
18．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
①；②在上存在零点；
③有且仅有1个零点；④可能无零点则正确的序号为________．
19．（20-21高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为
20．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 .
四、解答题
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围.
22．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)解方程.
23．（19-20高三下·广西·阶段练习）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有实数根，求的取值范围.
24．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数y=fx，其中．
(1)直接写出的零点；
(2)讨论关于x的方程的解的个数；
(3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和．
25．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数，求满足下列条件的a的取值范围.
（1）函数f(x)没有零点；
（2）函数f(x)有两个零点；
（3）函数f(x)有三个零点；
（4）函数f(x)有四个零点.
26．（20-21高一上·浙江嘉兴·期中）设常数，函数．
（1）若，写出的单调递减区间（不必证明）；
（2）若，且关于的不等式对所有恒不成立，求实数的取值范围；
（3）当时，若方程有三个不相等的实数根．且，求实数的值．
课程标准
学习目标
1、函数零点的概念
2、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
3、函数零点存在定理
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系
2.会根据函数零点的情况求参数
3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法
4.了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值
Δb2－4ac
Δ＞0
Δ0
Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根(x1＜x2)
有两个相等的实数根(x1x2－ eq \f(b,2a) )
无实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
1
3
5
7
24
13
1
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
1
2
3
4
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
知识点01 函数的零点
（1）函数零点的概念
一般地，如果函数yf(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)0，则称α为函数yf(x)的零点．
（2）函数零点的意义
不难看出，α是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0)是函数图像与x轴的公共点．因此，由函数的图像可以方便地看出函数值等于0的方程的解集，以及函数值与0比较相对大小的不等式的解集．因此我们有：
方程f(x)0有实数根⇔函数yf(x)的图像与x轴有交点⇔函数yf(x)有零点．
注：(1)函数F(x)f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)g(x)的根，也就是函数y1f(x)与y2g(x)的图像交点的横坐标．
(2)如果方程f(x)0有两个相等的实数根x，那么x称为函数yf(x)的二阶零点(二重零点).如x2就是函数f(x)(x－2)2的二阶零点．
【即学即练1】（2024·江苏扬州·高一扬州中学校考阶段练习）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．当时，函数的零点为、
B．函数一定有两个零点
C．函数可能无零点
D．函数的零点个数是1或2
【答案】A
【分析】由零点的定义判断A；讨论、确定对应的零点个数判断B、C、D.
【详解】由函数的零点是时对应值，而不是坐标，A错；
若时，显然只有一个零点，
若，，此时函数有两个零点，
所以B、C错，D对.
知识点02 一元二次不等式与对应函数、方程
三个“二次”之间的关系
从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a>0)的解集，就是二次函数yax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的图像上的点的横坐标的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是二次函数yax2＋bx＋c(a＞0)在x轴下方的图像上的点的横坐标的集合．一元二次方程ax2＋bx＋c0的解集就是二次函数yax2＋bx＋c的图像与x轴交点的横坐标的集合，也就是二次函数的零点构成的集合．
从方程观点来看，一元二次方程的根是二次函数的图像与x轴交点的横坐标，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，就是大于大根或者小于小根的实数x的集合；ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集，就是大于小根且小于大根的实数x的集合．简记为“大于取两边，小于取中间”．
因此，利用二次函数的图像和一元二次方程根的情况就可以解一元二次不等式．具体如下表所示：
注：(1)图表具体表明了一元二次不等式的解集与对应的二次函数图像、一元二次方程的亲密关系，此图表是解一元二次不等式的依据之一．
(2)x1，x2具有三重身份：对应的一元二次方程的实根；对应的二次函数的零点；对应的一元二次不等式解集区间的端点．
【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）求下列不等式的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)或
(3)
(4)
【分析】根据解一元二次不等式的解法求解即可.
【详解】（1）因为不等式等价于，
所以解得，
所以不等式的解集为.
（2）因为不等式等价于，
所以解得或，
所以不等式的解集为或.
（3）因为不等式等价于，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
（4）因为不等式等价于，
所以解得，
所以不等式的解集为.
知识点03 函数零点存在定理
如果函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)＜0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)0.
注：(1)一般地，解析式是多项式的函数的图像都是连续不断的．需要注意的是，反比例函数y eq \f(1,x) 的图像不是连续不断的．
(2)一个函数yf(x)在区间(a，b)内有零点必须同时满足：①函数f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线；②f(a)·f(b)＜0.这两个条件缺一不可．
(3)若函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)·f(b)＜0可以推出函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)·f(b)＜0.
(4)如果单调函数yf(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）函数的零点所在的区间为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数的单调性，结合，由零点的存在性定理，即可求解.
【详解】由函数在上单调递增，
又由，
即，
所以根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的区间为.
.
知识点04 二分法
（1）二分法的概念
对于图像在区间[a，b]上不间断，且满足f(a)f(b)＜0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值
先确定零点的初始区间(a，b)(依据是：如果函数yf(x)的图像在区间[a，b]上是连续不断的，并且f(a)与f(b)的符号相反，则f(x)在(a，b)内存在零点)，然后多次将区间(a，b)一分为二，直至找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值．
注：即用区间中点 eq \f(a＋b,2) 将区间(a，b)一分为二，从而得到两个区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2))) 和 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)，b)) ，其中一个区间一定包含零点．如果f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2))) ＞0，f(a)＜0，我们便认为区间 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋b,2))) 包含零点，如下图所示：
不断重复相似步骤，直到找到零点的准确值或满足题中的精度要求的零点的近似值．
注：(1)我们把x eq \f(a＋b,2) 称为区间(a，b)的中点．在这里，区间的中点是个实数，而不是点．
(2)用二分法求函数零点近似值的方法仅对函数的变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值异号)适用，对函数的不变号零点(曲线通过零点，且在零点两侧函数值同号)不适用．如函数f(x)(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
(3)二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，即使函数的零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）已知函数在区间内有一个零点，且的部分函数值数据如下：，，，，，，，要使零点的近似值精确度为，则对区间的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6次，B．6次，
C．7次，D．7次，
【答案】A
【分析】根据题目条件结合二分法得到最少等分了7次，并求出近似解.
【详解】由题中数据知，零点区间变化如下：
，
此时区间长度小于，在区间内取近似值，最少等分了7次，近似解取.
.
难点：函数零点的应用
示例：已知函数f(x)x，x≤m，x2−2mx+4m，x＞m，其中m＞0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)b有三个不同的根，则m的取值范围是________.
【解析】作出f(x)的图像如图所示．
当x>m时，x2－2mx＋4m(x－m)2＋4m－m2，
∴要使方程f(x)b有三个不同的根，
则4m－m20.
又m>0，解得m>3.
[方法小结】已知函数零点情况求参数的步骤及方法
(1)步骤：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组)，即得参数的取值范围．
(2)方法：常利用数形结合法．
【题型1：利用二次函数解不等式】
例1．（2024·江苏泰州·高一泰州中学校考阶段练习）解不等式
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）利用一元二次不等式的解法即可求解；
（3）利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】（1）由，得，即，解得，
所以不等式的解集为；
（2）由已知：，
，
，解得或，
所以不等式的解集为.
（3）由，得，即，解得或．
所以不等式的解集为：
变式1．（2024·黑龙江双鸭山·高一双鸭山一中校考阶段练习）设，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】先求解一元二次不等式，再由集合的包含关系得出结果.
【详解】设，
或，
所以，所以是的充分不必要条件.
.
变式2．（2024·湖南常德·高一临澧县第一中学校考阶段练习）已知的解集是，
(1)求实数与的值
(2)求的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到和是方程的两个，结合韦达定理，即可求解；
（2）由（1）得不等式为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由的解集是，
可得和是方程的两个，所以，
解得.
（2）解：由，则不等式，即为，
又由，解得，
所以不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
二次函数的零点与不等式解集之间的关系
借助相对应的二次函数与一元二次方程的关系，可提炼出一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)(a≠0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)(a≠0)的求解方法．当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c0的根；
②画出对应函数图像的简图；
③由图像得出不等式的解集．
求解过程中，必须考虑对应的二次函数图像的开口方向(a＞0或a＜0)，对应的一元二次方程的判别式符号、两根的大小关系，不等号的方向(＞，≥，＜，≤)，即一看(看二次项系数正负)，二算(求对应一元二次方程的根)，三写(利用对应二次函数的图像写出对应不等式的解集).
【题型2：求函数的零点】
例2．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习）函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程，可得函数的零点.
【详解】解方程，即，解得或，
因此，函数的零点为、.
.
变式1．（2024·全国·高一随堂练习）求下列函数的零点：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【答案】(1)
(2)
(3)无零点
(4)1
【分析】由函数零点定义可知，在函数表达式中令解关于方程即可.
【详解】（1）在中令，得，
解得或，
所以函数的零点为.
（2）在中令，得，
解得或，
所以函数的零点为.
（3）在中令，得，
又此方程无解，
所以函数无零点.
（4）在中令，得，
解得，
所以函数的零点为1.
变式2．（2024·广东梅州·高三统考阶段练习）函数的零点有 个．
【答案】2
【分析】根据给定条件，解方程求出零点作答.
【详解】由，得，即，解得或，
所以函数的零点有2个.
故答案为：2
变式3.（2023·全国·高一专题练习）函数的零点是
【答案】/
【解析】令，
则，解得，故答案为：.
变式4．（2024·全国·高一专题练习）若函数的一个零点是1，则它的另一个零点是 ．
【答案】3
【分析】根据零点的定义，求解方程的根即可.
【详解】由，所以令或，故另一个零点为3
故答案为：3
变式5．（2024·江苏·高一假期作业）求下列函数的零点．
(1)；
(2)；
(3)，其图象如图所示．

【答案】(1)和
(2)答案见解析
(3)－1和3
【分析】（1）解方程可得结果；
（2）分类讨论，解方程可得结果；
（3）由图象可得结果.
【详解】（1）由，解得或，
所以函数的零点为和.
（2）①当时，，由得，所以函数的零点为.
②当时，由得，
解得或，又，
当时，，函数有唯一的零点.
当且时， ，函数有两个零点和.
综上所述：，当或时，函数的零点为；
当且时，函数有两个零点和.
（3）由图象可知，函数有两个零点和.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）若求函数的零点．
【答案】和1．
【解析】函数的零点即为方程的根．
当时，方程，
变形为，即，解得或，
因为，所以；
当时，方程，变形为，符合题意．
综上，函数的零点为和1．
【方法技巧与总结】
函数零点的求法
(1)代数法：求出方程f(x)0的实数根，即为函数f(x)的零点．
(2)几何法：对于不能用求根公式或分解因式求解的方程，可以将它与对应函数的图像联系起来，利用函数的性质求零点．
【题型3：求函数零点个数】
例3．（2023春·陕西西安·高二校考期中）直线与函数图象的交点个数为 ．
【答案】4
【分析】根据二次函数的性质，结合图象变换，作图，可得答案.
【详解】令，，解得或，
将代入，解得，可作图如下：

由图可知，直线与函数图象的交点个数为.
故答案为：.
变式1．（2024·全国·高一专题练习）已知函数的图象是连续不断的，有如下的对应值表，那么函数在区间上的零点至少有（ ）
A．2个B．3个
C．4个D．5个
【答案】C
【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.
【详解】由数表可知，.
则，，，
又函数的图象是连续不断的，
由零点存在性定理可知，函数分别在上至少各一个零点，
因此在区间上的零点至少有3个．
.
变式2．【多选】（2024·江苏·高一假期作业）对于函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数一定有两个零点
B．时，函数一定有两个零点
C．时，函数一定有两个零点
D．函数的零点个数是1或2
【答案】CCD
【分析】根据函数零点的定义求解可得答案.
【详解】当时，函数有唯一零点，故A不正确；
当时，由，，所以函数一定有两个零点，故B、C正确；
所以函数的零点个数是1或2，故D正确.
CD
变式3．（2024·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)作出函数的图象；
(2)就a的取值范围讨论函数的零点的个数．
【答案】(1)作图见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方；
（2）数形集结合，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．
【详解】（1）先作出的图象，然后将其在x轴下方的部分翻折到x轴上方，原x轴上及其上方的图象及翻折上来的图象便是所要作的图象．
.
（2）由图象易知，函数的零点的个数就是函数的图象与直线的交点的个数．.
当时，函数的零点的个数为0；
当与时，函数的零点的个数为2；
当时，函数的零点的个数为4；
当时，函数的零点的个数为3.
变式4.（2023·全国·高一专题练习）若函数，则方程的实根个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由，
则可作出函数的图象如下：
由方程，得或，
所以方程的实根个数为3．．
变式5．【多选】（2024·湖北荆门·高一钟祥市第一中学校考阶段练习）已知函数有两个不同零点，则（ ）
A．
B．且
C．若，则
D．函数有四个零点或两个零点
【答案】AC
【分析】根据函数零点与方程根的关系可判断A，根据一元二次方程韦达定理可判断BC，根据特殊情况可判断D.
【详解】函数有两个不同零点可知：，故，故A正确；
由韦达定理可得，由于，故可正可负可为0，因此无法判断的正负，故B错误；
当时，则，故C正确；
由，当时，令，可得，此时有3个零点，故D错误，
C
变式6．（2024·云南大理·高二云南省下关第一中学校考开学考试）已知，定义域和值域均为的函数和的图象如图所示，给出下列四个结论，不正确结论的是（ ）

A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有两个解
C．方程有且仅有五个解D．方程有且仅有一个解
【答案】C
【分析】根据函数图象判断复合函数的零点情况，即可判断各项的正误.
【详解】A：由题意时，或或，
故时，则或或，
，则，又在上单调递减，
故都有唯一解，即有且仅有三个解，正确；
B：由图知时，故时，而，
由图象知有一个解，即有且仅有一个解，不正确；
C：时，或或，
由得：或或，而，
，故和各有唯一解，有3个解，
故有且仅有五个解，正确；
D：时，由得，而在上单调递减，
故有唯一解，故有且仅有一个解，正确.
变式7．【多选】（2024·全国·高一课堂例题）已知，关于的方程，则下列四个命题是真命题的为（ ）
A．存在实数，使得方程恰有3个不同的实数解
B．存在实数，使得方程恰有4个不同的实数解
C．存在实数，使得方程恰有5个不同的实数解
D．存在实数，使得方程恰有8个不同的实数解
【答案】CCD
【分析】令（），则原方程可化为，作出的图象和（）的图象，两函数图象结合分析判断即可.
【详解】（1）令（），则原方程可化为．作出的图象如图所示，结合图象可知：

①当或时，方程有2个不同的实数解；
②当时，方程有3个不同的实数解；
③当时，方程有4个不同的实数解．
（2）作出函数（）的图象如图所示．

①当，即时，方程有1个实数解，且．
②当，即时，方程有2个不同的实数解，（），则，．
③当，即时，方程有2个不同的实数解，（），则．
④当，即时，方程有1个实数解，且．
⑤当，即时，方程没有实数解．
综合（1）（2）可知，
当时，原方程有2个不同的实数解；
当时，原方程有5个不同的实数解；
当时，原方程有8个不同的实数解；
当时，原方程有4个不同的实数解；
当时，原方程没有实数解．
所以B，C，D都是真命题．
CD
【方法技巧与总结】
判断函数零点个数的三种方法
(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．
(2)图像法：由f(x)g(x)－h(x)0，得g(x)h(x)，在同一坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数．
(3)定理法：函数yf(x)的图像在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)12
【答案】ACD
【分析】由题意，方程的根为和，由韦达定理可知，，判断；结合二次函数的图象知当时，，判断；由不等式的解集为，判断；由韦达定理可知，，代入，求解不等式即可.
【详解】不等式的解集为，
所以根据一元二次不等式解法可知，
且，，，，则，正确；
由二次函数的图象知当时，，故，错误；
方程的根为和，显然正确；
由,可知:，，
代入，得，
由可得，解得或，
故的解集为或，正确；
故选：.
12．（23-24高二下·河北沧州·期末）已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A．B．
C．的最小值为D．的最大值为
【答案】AC
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图像，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式可求出的范围即可解决.
【详解】
在平面直角坐标系内作出函数y=fx的图象，如图.
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,
等价于与有四个不同交点,则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
C.
13．（24-25高三上·吉林长春·阶段练习）已知定义域为R的函数满足不恒为零，且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．是奇函数
C．的图象关于直线对称
D．在上有6个零点
【答案】AB
【分析】根据题设确定函数的周期和对称中心，利用这两个条件可得推出B正确；结合函数定义域，可得A正确；利用函数性质可得函数在上有8个零点，排除D项；对于C，结合D的结果，通过举例说明排除即可.
【详解】由①可得，函数的周期为6；
由可得，②，
即函数的图象关于点成中心对称；
又由②式可得，，结合①式可得，，故B正确；
又因是定义域为R的函数，故，即得，，故A正确；
对于D，由上分析，，，
由的图象关于点成中心对称，是定义域为R的函数可知，，
，，，，，
故函数在上有8个零点，故D错误；
对于C，因，且，
而的值不能确定，即得不到，故C错误.
B.
14．（23-24高一上·陕西宝鸡·期末）若函数在时，值域也为，则称为的“保值区间”.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在保值区间
B．函数有无数多个保值区间
C．若函数存在保值区间，则
D．若函数存在保值区间，则
【答案】CCD
【分析】对于A，结合的单调性，令，解方程即可；
对于B，由题可知，当时，函数可能存在保值区间，结合函数fx=1x的单调性，可得，所以当时，函数的保值区间为，最后由的任意性即可判断；
对于C，分和两种情况，结合函数的单调性即可求解；
对于D，由函数的单调性知，即方程在上有两解，令，换元得在上有两解，进而转化为函数的图象与有两个交点，结合图象即可得解.
【详解】对于A，在和0,+∞上单调递增，
令，得，
解得或，
故存在保值区间，故A错误；
对于B，由，
可知当时，函数可能存在保值区间，
因为函数fx=1x在单调递减，
则有，
可得，即，解得，
所以当时，函数的保值区间为，
由的任意性，可知函数有无数多个保值区间，故B正确；
对于C，若存在保值区间，
①当时，在上单调递增，
故，解得；
②当时，在上单调递减，在1,2上单调递增，
因为，所以，
解得（舍去），
综上，，故C正确；
对于D，函数在上单调递增，
若存在保值区间，
则，
可知方程在上有两解，
令，有，
则方程可化为，
所以在上有两解，
令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，，
所以函数的大致图象如图所示，
因为在上有两解，
所以在上有两解，
即函数的图象与有两个交点，
由图可知，，故D正确.
CD.
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题与函数的性质，解题的关键是充分理解“保值区间”的概念，根据函数的单调性与值域，结合换元法求解即可.
三、填空题
15．（23-24高一上·上海·期末）若函数在区间的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：
那么方程的一个近似解为 （精确到0.1）
【答案】
【分析】根据题意，由表格中的数据，结合二分法的规则，由近似解的要求分析，即可求解.
【详解】由表格中的数据，可得函数的零点在区间之间，
结合题设要求，可得方程的一个近似解为.
故答案为：.
16．（23-24高一上·江西抚州·期末）在用二分法求方程的正实数跟的近似解（精确度）时，若我们选取初始区间是，为达到精确度要求至少需要计算的次数是 ．
【答案】7
【分析】利用二分法的定义列出不等式求解即可.
【详解】设至少需要计算次，则满足，即，
由于，故要达到精确度要求至少需要计算7次.
故答案为：7
17．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知，在区间上有一个零点，则 .若用二分法求的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分 次.
【答案】 1 4
【分析】根据零点、二分法等知识求得正确答案.
【详解】在上为减函数，
又，
∴的零点，故.
设至少需等分次，则且，
解得，故至少需等分4次.
故答案为：；
18．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
①；②在上存在零点；
③有且仅有1个零点；④可能无零点则正确的序号为________．
【答案】①③
【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据和利用零点存在性定理判断.
【详解】对于①，因为函数是上的增函数，所以，故①正确；
对于②，因为函数是上的增函数，所以当时，，故②错误；
对于③，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，故③正确；
对于④，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，故④错误，
故答案为：①③
19．（20-21高一上·内蒙古赤峰·期末）若函数在上有两个零点，则的取值范围为
【答案】
【分析】根据题中条件，列出不等式组，解出即可.
【详解】因为在上有两个零点，
所以，，解得.
故答案为：.
20．（24-25高三上·山西吕梁·开学考试）已知函数在区间有零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数的零点可以转化为与函数放入图象有交点即可，因此只需确定再区间的范围即可.
【详解】令，当时，，
当且仅当时取等，
且，
所以若在区间有零点，只需与函数有交点即可,
所以的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值；
(3)若有两个根，且一个根大于2，一个根小于2，求实数m的取值范围.
【答案】(1)当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；当时，函数无零点；
(2)
(3)
【分析】（1）函数的零点即为对应方程的实数根，由零点个数利用判别式可得到的取值范围；
（2）函数的一个零点在原点，说明0是对应方程的根，解方程求m的值；
（3）由二次方程根的分布，有，解不等式可得实数m的取值范围.
【详解】（1）函数，
若函数有两个零点，则方程有两个不相等的实数根，
则有，解得．
若函数有一个零点，则方程有两个相等的实数根，
则有，解得；
若函数无零点，则方程没有实数根，
则有，解得．
故当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数无零点．
（2）由题意知0是方程的根，
故有，解得.
（3）由题意可得，即，解得，
故实数m的取值范围为.
22．（23-24高一上·福建龙岩·阶段练习）已知函数
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)解方程.
【答案】(1)偶函数，详细见解析
(2)
【分析】(1)根据奇偶性的定义即可证明；
(2)讨论的符号，列出方程组即可求解.
【详解】（1）因为且定义域为R，所以是偶函数.
（2）当时，，
去绝对值符号可得，化简可得，
解之可得或(舍)，
当时，，
去绝对值符号可得，化简可得（舍），
综上，的解为.
23．（19-20高三下·广西·阶段练习）已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若方程有实数根，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【分析】（1），函数等价变形为分段函数，由列不等式可解.
（2）方程等价变形得，作出两函数图形，由图象得解.
【详解】解：（1）因为，所以，
由， ，得，或得，
综上有
故不等式的解集为.
（2）由，得，
令，则，
作出的图象，如图所示.
直线过原点，当此直线经过点时，；
当此直线与直线平行时，.
由图可知，当或时，的图象与直线有公共点.
从而有实数根，所以的取值范围为.

【点睛】本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法. 含有两个绝对值符号的不等式常用解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.
利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
24．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数y=fx，其中．
(1)直接写出的零点；
(2)讨论关于x的方程的解的个数；
(3)若方程有四个不同的根，，，，直接写出这四个根的和．
【答案】(1)－1和3；
(2)答案见解析
(3)．
【分析】（1）利用函数零点的定义直接解方程求解即可；
（2）将问题转化为与直线的交点个数，画出的图象，结合图象求解即可；
（3）由图象可知，函数y=fx的图象关于直线对称，从而可求得结果.
【详解】（1）解方程，即，
解得或，
所以，函数y=fx的零点为－1和3；
（2）则函数的图象如下图所示：
方程的解的个数等于函数和y=fx图象的交点个数，如下图所示：
当时，方程无实根；
当或时，方程有2个实根；
当时，方程有4个实根；
当时，方程有3个实根．
（3）由图象可知，函数y=fx的图象关于直线对称，
因此．
25．（20-21高一·全国·课后作业）已知函数，求满足下列条件的a的取值范围.
（1）函数f(x)没有零点；
（2）函数f(x)有两个零点；
（3）函数f(x)有三个零点；
（4）函数f(x)有四个零点.
【答案】（1）a＜0；（2）a0或a＞1；（3）a1；（4）0＜a＜1.
【分析】令，画出图象，根据直线ya与的交点个数即可求解.
【详解】令，函数的图象如图所示，
（1）函数f(x)没有零点，即直线ya与g(x)|x2－2x|的图象没有交点，观察图象可知，此时a＜0；
（2）函数f(x)有两个零点，即直线ya与g(x)|x2－2x|的图象有两个交点，观察图象可知此时a0或a＞1；
（3）函数f(x)有三个零点，即直线ya与g(x)|x2－2x|的图象有三个交点，由图象易知a1；
（4）函数f(x)有四个零点，即直线ya与g(x)|x2－2x|的图像有四个交点，由图像易知0＜a＜1.
【点睛】本题考查利用函数图象交点求参数问题，属于基础题.
26．（20-21高一上·浙江嘉兴·期中）设常数，函数．
（1）若，写出的单调递减区间（不必证明）；
（2）若，且关于的不等式对所有恒不成立，求实数的取值范围；
（3）当时，若方程有三个不相等的实数根．且，求实数的值．
【答案】（1），；（2）；（3）．
【解析】（1）当时， ，再求函数的单调递减区间；（2）不等式可化为对任意恒不成立，利用单调性求函数的最大值，即求的取值范围；（3）当时，去绝对值后写成分段函数，再求的三个实数根，根据条件列式求的值.
【详解】（1）时，，
的单调递减区间为，．
（2）∵，∴，
∴不等式可化为对任意恒不成立．
∵在上递增，所以其最大值为，
∴，即实数的取值范围是．
（3）时，，
当时，由得，
当时，由得，

解得．
【点睛】关键点点睛：本题考查含绝对值函数的性质的综合应用，本题的关键是去绝对值，利用分段函数解决函数的单调性，零点问题.
课程标准
学习目标
1、函数零点的概念
2、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
3、函数零点存在定理
1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系
2.会根据函数零点的情况求参数
3.结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法
4.了解二分法是求定理近似解的方法，会用二分法求一个函数在给定区间内零点近似值
Δb2－4ac
Δ＞0
Δ0
Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根
有两个不相等的实数根(x1＜x2)
有两个相等的实数根(x1x2－ eq \f(b,2a) )
无实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|x＞x2或x＜x1}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
1
3
5
7
24
13
1
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
0.165
x
1.5
1.625
1.75
1.875
2
0.625
1.982
2.645
4.35
6
x
-1
0
1
2
3
0.37
1
2.72
7.39
20.09
1
2
3
4
5
1
2
3
4