备考2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）专题09一元二次方程及其应用（33题）（附参考答案）

这是一份备考2025年中考数学真题分类汇编（全国通用）专题09一元二次方程及其应用（33题）（附参考答案），共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
（2024·吉林·中考真题）
1．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
（2024·黑龙江绥化·中考真题）
2．小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．则原来的方程是( )
A．B．
C．D．
（2024·河北·中考真题）
3．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1B．C．D．1或
（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）
4．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．且D．且
（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）
5．一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（ ）
A．B．C．D．
（2024·四川凉山·中考真题）
6．若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A．2B．C．2或D．
（2024·四川眉山·中考真题）
7．眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
（2024·北京·中考真题）
8．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A．B．C．4D．16
（2024·上海·中考真题）
9．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A．B．
C．D．
（2024·四川广安·中考真题）
10．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且B．
C．且D．
（2024·四川内江·中考真题）
11．某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（ ）
A．B．
C．D．
（2024·贵州·中考真题）
12．一元二次方程的解是（ ）
A．，B．，C．，D．，
（2024·四川乐山·中考真题）
13．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则p的值为（ ）
A．B．C．D．6
（2024·云南·中考真题）
14．两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
（2024·山东·中考真题）
15．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
（2024·广东深圳·中考真题）
16．已知一元二次方程的一个根为1，则 ．
（2024·江苏连云港·中考真题）
17．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ．
（2024·四川凉山·中考真题）
18．已知，则的值为 ．
（2024·湖南·中考真题）
19．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
（2024·河南·中考真题）
20．若关于的方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
（2024·重庆·中考真题）
21．随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 ．
（2024·四川南充·中考真题）
22．已知m是方程的一个根，则的值为 ．
（2024·广东广州·中考真题）
23．定义新运算：例如：，．若，则的值为 ．
（2024·四川成都·中考真题）
24．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
（2024·山东烟台·中考真题）
25．若一元二次方程的两根为m，n，则的值为 ．
（2024·四川眉山·中考真题）
26．已知方程的两根分别为，，则的值为 ．
（2024·四川泸州·中考真题）
27．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
三、解答题
（2024·上海·中考真题）
28．解方程组：．
（2024·四川凉山·中考真题）
29．阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______
(2)体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
（2024·四川内江·中考真题）
30．已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．
(1)填空：________，________；
(2)求，；
(3)已知，求的值．
（2024·广东广州·中考真题）
31．关于的方程有两个不等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)化简：．
（2024·四川南充·中考真题）
32．已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围．
(2)若，且，，都是整数，求的值．
（2024·四川遂宁·中考真题）
33．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为，且，求的值．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键．
分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断．
【详解】解：A、，故该方程无实数解，故本选项不符合题意；
B、，解得：，故本选项符合题意；
C、，，解得，故本选项不符合题意；
D、，，解得，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和；
∴，
又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2和．
∴
A. 中，，，故该选项不符合题意；
B. 中，，，故该选项符合题意；
C. 中，，，故该选项不符合题意；
D. 中，，，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
即，
解得：，
的取值范围是且．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为，根据原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为，由题意，得：
，
解得：（舍去）；
故选C．
6．A
【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，即
由一个根，代入，
可得，解之得；
由得；
故选A
7．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意、列出方程是解题的关键．
设该村水稻亩产量年平均增长率为，根据题意列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：．
故选：B．
8．C
【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
【详解】∵方程有两个相等的实数根，，
∴，
∴，
解得．
故选C．
9．D
【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．
【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；
B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；
C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；
D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；
故选：D．
10．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故选：A．
11．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解．
【详解】解：根据题意，得
即，
故选：B．
12．B
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可．
【详解】解∶ ，
∴，
∴或，
∴，，
故选∶B．
13．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若方程的两实数根为，则．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后通分，，从而得到关于p的方程，解方程即可．
【详解】解：，
，
而，
，
，
故选：A．
14．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据甲种药品成本的年平均下降率为，利用现在生产1千克甲种药品的成本两年前生产1千克甲种药品的成本年（平均下降率），即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：甲种药品成本的年平均下降率为，
根据题意可得，
故选：B．
15．##
【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
根据方程的系数结合根的判别式，即可得出，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入原方程，列出关于的方程，然后解方程即可．
【详解】解：关于的一元二次方程的一个根为，
满足一元二次方程，
，
解得，．
故答案为：．
17．##
【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得．
【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．
【详解】解：∵，
∴，
将代入
得，，
即：，
，
∴或，
∵，
∴舍，
∴，
故答案为：3．
19．2
【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故答案为：2
20．##
【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：，再求解即可．
【详解】解∶∵方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
21．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用．设平均增长率为x，然后根据题意可列方程进行求解．
【详解】解：设平均增长率为x，由题意得：
，
解得：，（不符合题意，舍去）；
故答案为：．
22．
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程的一个根，可得出，再化简代数式，整体代入即可求解．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴
，
故答案为：．
23．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可．
【详解】解：∵
而，
∴①当时，则有，
解得，；
②当时，，
解得，
综上所述，x的值是或，
故答案为：或．
24．7
【分析】本题考查了根与系数的关系和完全平方公式和已知式子的值，求代数式的值．先利用已知条件求出，，从而得到，再将原式利用完全平方公式展开，利用替换项，整理后得到，再将代入即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根，
∴，，
则
∴
故答案为：7
25．6
【分析】本题考查了根与系数的关系及利用完全平方公式求解，若是一元二次方程的两根时，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．
根据根与系数的关系得，，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算，再利用完全平方公式求解即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，
∴
故答案为：6．
26．##0.5
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
27．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
故答案为：．
28．，或者，．
【分析】本题考查了二元二次方程，求解一元二次方程，解题的关键是利用代入法进行求解．
【详解】解：，
由得：代入中得：
，
，
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
∴方程组的解为或者．
29．(1)36；120；
(2)不能
(3)一共能摆放20排．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解；
（2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断；
（2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值．
【详解】（1）解：三角点阵中前8行的点数之和为，
前15行的点数之和为，
那么，前行的点数之和为；
故答案为：36；120；；
（2）解：不能，
理由如下：
由题意得，
得，
，
∴此方程无正整数解，
所以三角点阵中前n行的点数和不能是500；
故答案为：不能；
（3）解：同理，前行的点数之和为，
由题意得，
得，即，
解得或（舍去），
∴一共能摆放20排．
30．(1)，；
(2)，；
(3)．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．
（）利用根和系数的关系即可求解；
（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；
（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系得，，，
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴，
∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由根与系数的关系得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴一元二次方程为或，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，符合题意；
∴．
31．(1)
(2)
【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键；
（1）根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；
（2）根据（1）的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根．
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴
；
32．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；
（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．
【详解】（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整数的值有，，，
当时，方程为，
解得：，（都是整数，此情况符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
当时，方程为，
解得：（不是整数，此情况不符合题意）；
综上所述，的值为．
33．(1)证明见解析；
(2)或．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
（1）根据根的判别式证明恒成立即可；
（2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解．
【详解】（1）证明：，
∵无论取何值，，恒成立，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
解得：或．