2025广东省三校高三下学期2月第一次模拟考试数学含解析

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高三年级
数学•试题
参加学校：诺德安达学校，金石实验中学，英广实验学校
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知是虚数单位，复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．函数的一个零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
3．已知为椭圆上一动点，、分别为其左右焦点，直线与的另一交点为，的周长为16．若的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．某医院对该院历年来新生儿体重情况进行统计，发现新生儿体重服从正态分布，若，则（ ）
A．0.2B．0.7C．D．0.9
5．若一扇形的圆心角为，半径为20cm，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．三棱锥中，，平面，，
，则直线和直线所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色，无味，无毒，不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途•六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如图所示．若此正八面体的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．正八面体的体积为B．正八面体的表面积为
C．正八面体的外接球体积为D．正八面体的内切球表面积为
8．已知曲线在处的切线方程是，则与分别为（ ）
A．3，3B．3，－1C．－1，3D．－2，－2
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9．在中，，，所对的边分别为，，．若，则的大小可能为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数，则（ ）
A．是奇函数B．是周期函数
C．，D．在区间内单调递增
11．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数•有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．若方程有实根，则
C．当时，在上单调递增
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2022个交点，记为，则的值为4044
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的内角，，的对边分别为，，．已知，，，则______．
13．在的展开式中，含的项的系数是______．（用数字作答）
14．若圆与轴相切，则实数的值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．（本小题15分）已知函数在处取到极值
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）当时，证明
（Ⅲ）如果，，满足，那么称比更靠近，当且时，试比较和哪个更靠近，并说明理由．
16.本小题分某运动产品公司生产了一款足球，按行业标准这款足球产品可分为一级正品、二级正品、次品共三个等级根据该公司测算：生产出一个一级正品可获利100元，一个二级正品可获利50元，一个次品亏损80元该运动产品公司试生产这款足球产品2000个，并统计了这些产品的等级，如下表：
（1）求这2000个产品的平均利润是多少；
（2）该运动产品公司为了解人们对这款足球产品的满意度，随机调查了100名男性和100名女性，每位对这款足球产品给出满意或不满意的评价，得到下面的列联表：
问：能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异？
附：，其中．
17．（本小题15分）已知数列的前项和为，，．
（Ⅰ）当为何值时，数列是等比数列？
（Ⅱ）设数列的前项和为，，点在直线上，在（Ⅰ）的条件下，若不等式对于但成立，求实数的最大值．
18．（本小题17分）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程；
（3）直线与圆心轨迹位于轴右侧的部分相交于、两点，且，证明直线必过一定点，并求出该定点．
19．（本小题13分）平面直角坐标系中，已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，经过且倾斜角为的直线与交于，两点（其中点在轴上方），且的周长为8．现将平面沿轴向上折叠，折叠后，两点在新图像中对应的点分别记为，，且二面角为直二面角，如图所示．
（1）求折叠前的标准方程；
（2）当时，折叠后，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）探究是否存在使得折叠后的周长为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
2024－2025学年度下学期广东省三校二月第一次模拟考试
高三年级数学•试题参考答案
1．【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得到答案．
【解答】
解：∵，∴，
∴，故选：D．
2．【答案】B
【解析】解：和都是增函数，所以函数为增函数，且，，，，所以函数在区间存在唯一零点，所在区间为．
故选：B．
根据函数的单调性，结合函数零点存在性定理，即可判断．
本题主要考查函数零点存在性定理，属于基础题．
3．【答案】C
【解析】解：设椭圆的半焦距为，则由题意得，解得，
所以椭圆的离心率为．
故选：C．
由题意，结合椭圆的标准方程及定义，可得、的值，代入离心率公式计算即可．
本题考查椭圆的定义及性质，考查椭圆的离心率的求解，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布的实际应用，正态分布的概率，均值，方差，属于基础题．
利用正态曲线的对称性即可求解．
【解答】
解：因为服从正态分布，
则正态曲线关于对称，
故，
故选：B．
5．【答案】B
【解析】试题分析：因为，扇形的圆心角为，半径为20cm，所以，扇形的面积为，故选：B
考点：扇形的面积公式
点评：简单题，扇形的面积公式．
6．【答案】C
【解析】解：如图所示，三棱锥中，，平面，，，
则，
所以
，
，，
，
，
所以直线和直线所成角的余弦值为．
故选：C．
根据题意画出图形，结合图形利用基向量表示、，求出，即可得出答案．
本题考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
7．【答案】D
【解析】解：把正八面体补形为如图所示正方体，因为正八面体棱长为2，则正方体的棱长为，
选项，正八面体的体积，设四棱锥的高为，
则，所以，A错误；
选项B，正八面体的表面积为八个面面积和，故，B错误；
选项C，正八面体的外接球半径为正方体棱长的一半，故，
所以外接球体积，C错误；
选项D，设内切球半径为，则根据正八面体体积相等，
，
所以，
所以内切球表面积为，D正确．
故选：D．
把正八面体补形为正方体，求得正方体的棱长为，利用正八面体和正方体的关系即可求解．
本题考查几何体的体积与表面加的计算，属于中档题．
8．【答案】D
【解析】解：由题意得，．
故选：D．
利用导数的几何意义得到等于直线的斜率-2，由切点横坐标为5，得到纵坐标即，
本题考查了导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．
9．【答案】ACD
【解析】解：根据余弦定理，可得，
结合，可知，即，
当时，等式成立，结合，可得；
当时，等式可化为，结合，或．
综上所述，或或．
故选：ACD．
根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结合为三角形的内角，计算出角的大小．
本题主要考查余弦定理，二倍角的三角函数公式及其应用等知识，属于基础题．
10．【答案】ABD
【解析】解：易知的定义域为，
又，
所以是奇函数，正确；
由，
所以的周期函数，B正确；
由，C错误；
当时，，且单调递增，
此时，时，，且单调递减，
所以函数在上单调递增，
又由是奇函数，所以函数在上单调递增，
所以在区间内单调递增，D正确．
故选：ABD．
根据函数奇偶性，周期性的定义可判断、；由，可判定；由与在上的单调性和值域，再结合奇函数的性质，可判断的单调性．
本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，周期性的判断，属于中档题．
11．【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查了函数的新定义，函数的单调性，函数的奇偶性和函数的对称性，属于较难题．
根据题意有，可判定奇偶性，从而判定；
由有解，即有解，所以，解出，可判定B；
当时，，根据函数图像的平移可判定单调性，从而判定C；
易得函数关于中心对称，由对称性计算判定D．
【解答】解：函数，
根据题意有，则函数为奇函数，
函数图像关于成中心对称，所以选项A正确．
选项，有解，即有解，
所以，即，选项B正确；
选项C：当时，，
可由函数向右平移1个单位，向上平移个单位得到．
又易知函数在上单调递增，
所以在上单调递增，∴选项C错误；
选项D：当时，关于中心对称，又函数关于中心对称，
∴，故选项D正确；
故选：ABD．
12．【答案】
【解析】解：∵，，，
∴由余弦定理可得：，
∴解得：．
故答案为：．
由已知利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
13．【答案】－69
【解析】解：的展开式中，含的项的系数是：
．
故答案为：-69．
利用二项展开式的通项公式，分别求出的四部分中含的项的系数得答案．
本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题．
14．【答案】16
【解析】解：由，可得，
方程表示圆，则可得圆心为，半径为，
由圆与轴相切，则可得，解得，
则实数的值是16．
故答案为：16．
求得圆心与半径，进而可得，求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．
15．【答案】解：（Ⅰ）由，
求导，
由，则，解得：，的值为1；
（Ⅱ）证明：由题意可知：不等式左边为，由，
，，，则恒成立，
∴在单调递增；，
∴则，
（Ⅲ）设，，
∵则，，，则，，
∴在上为减函数，
又，∴当时，，当时，，
∴在上为增函数，+
又，∴时，，∴在上为增函数，
∴．
①当时，，
设，则
∴在上为减函数，
∴，
∴，∴，∴，
∴比更靠近．
②当时，，
设，则，
∴，则
∴，∴比更靠近．
综上，在，时，比更靠近．
【解析】（Ⅰ）由题意可知：求导，，即可求得的值；
（Ⅱ）构造函数，求导，根据函数的单调性，即可证明不等式；+
（Ⅲ）设，，由导数性质求出在上为减函数，在上为增函数，由此利用导数性质推导出在，时，比更靠近．
本题考查函数与导数的综合应用能力，具体涉及到用导数来描述函数的单调性等情况，主要考查考生分类讨论思想的应用，对考生的逻辑推理能力与运算求解有较高要求，属于中档题．
16．【答案】解：（1）依题意可得平均利润为（元）；
（2）零假设：男性和女性对这款足球产品的评价无差异，
依题意可得，
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为男性和女性对这款足球产品的评价有差异．
【解析】（1）直接根据平均数计算公式即可；
（2）计算出的值再与临界值比较即可。
本题主要考查了平均数的定义，考查了独立性检验的应用，属于基础题．
17．【答案】解：（Ⅰ）由，得，
两式相减得，即，
所以，
由及，得，
因为数列是等比数列，所以只需要，解得，此时，数列是以为首项，2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，因为点在直线上，所以，
故是以为首项，为公差的等差数列，则，
所以，
当时，，满足该式，所以．
不等式，即为，
令，则，
两式相减得，
所以．
由恒成立，即恒成立，
又，
故当时，单调递减；当时，单调递增，
当时，；当时，，则的最小值为，
所以实数的最大值是．
【解析】（Ⅰ）由条件，令得，两式相减得数列递推公式，转化为求，然后利用数列是等比数列，再求即可；
（Ⅱ）由点在直线上求出是等差数列且，然后求出，连同代入不等式化简．不等式的左边为等比数列前项和令其为所，利用错位相减法求出，则原不等式为恒成立，即恒成立，利用数列的增减性求解．
本题是典型的数列题，形式复杂，但规律性强，第一问属基础技巧，知，混合式求递推公式再求通项，第二问较难，求出，代入不等式求解，千万不要怕复杂，克服畏惧心理，沉着答题．
18．【答案】解：（1）设圆的方程为，，
由圆心到直线的距离为，
由弦长公式可得，解得，
可得圆的方程为；
（2）设的坐标为，由动圆与圆相外切，又与轴相切，
可得到点的距离比它到轴的距离大1，
即为到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹方程为；
（3）证明：设代入抛物线，消去得
设，，则，，
∴
令，∴，∴．
∴直线过定点．
【解析】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和定义法，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查方程思想和向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．
（1）设圆的方程为，，运用弦长公式和点到直线的距离公式，即可得到半径，可得圆的方程；
（2）由题意可得到点的距离比它到轴的距离大1，即为到点的距离与它到直线的距离相等，由抛物线的定义可得抛物线的方程；
（3）设出直线的方程，同抛物线方程联立，得到关于的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出数量积，根据数量积等于-4，解出数量积表示式中的的值，即得到定点的坐标．
19．【答案】解：（1）由题意得：，解得，
故折叠前椭圆的标准方程．
（2）当时，直线的方程为：，
联立，
解得，，
以原来的轴为轴，轴正半轴所在直线为轴，轴负半轴所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，
则，为，
取，则，，
故，．
平面的一个法向量为，
故，
设平面与平面所成的角为，
，
即平面与平面所成角的余弦值为；
（3）以原来的轴为轴，轴正半轴为轴，轴负半轴为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设折叠前，，则折叠后，，
设直线的方程为，其中，
联立，消去，
得，
显然，且，
由，，
得，
即，①
，
，②
由①②得：，
即是，
，
，
即是，解得，
注意到，
故，
从而存在满足条件的，且．
【解析】（1）根据题意构造方程组求解即可；
（2）建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的一个法向量，利用向量法求解即可；
（3）建立空间直角坐标系，设折叠前，，则折叠后，，联立方程组求解即可．
本题考查椭圆方程与向量法的综合应用，属于难题．等级
一级正品
二级正品
次品
频数
1000
800
200
满意
不满意
总计
男性
32
68
100
女性
61
39
100
总计
93
107
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828