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    第十章 二元一次方程组 单元练习 -2024-2025学年人教版七年级数学下册

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    第十章 二元一次方程组 单元练习 -2024-2025学年人教版七年级数学下册

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    这是一份第十章 二元一次方程组 单元练习 -2024-2025学年人教版七年级数学下册,共14页。
    第十章 二元一次方程组一、选择题: 1.下列方程是二元一次方程的是(    )A. 12x−1 = 3x B. x2−3x = 1 C. 1x = 1 D. x+2y = 92.用代入法解方程组y=1−x①x−2y=4②时,将方程①代入方程②正确的是(    )A. x−2−2x=4 B. x−2+2x=4 C. x−2+x=4 D. x−2−x=43.有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品.若购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;若购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元.现购铅笔、练习本、圆珠笔各1件,共需(    )A. 1.2元 B. 1.05元 C. 0.95元 D. 0.9元4.8个一样大小的长方形恰好拼成一个大的长方形(如图),若大长方形的宽为8cm,则每一个小长方形的面积为(    ) A. 8cm2 B. 15cm2 C. 16cm2 D. 20cm25.方程组y=2x3x+y=15的解是(    )A. x=2y=3 B. x=4y=3 C. x=4y=8 D. x=3y=66.端午节前夕,某超市用1680元购进A、B两种商品共60件,其中A型商品每件24元,B型商品每件36元.设购买A型商品x件、B型商品y件,依题意列方程组正确的是(    )A. x+y=6036x+24y=1680 B. x+y=6024x+36y=1680 C. 36x+24y=60x+y=1680 D. 24x+36y=60x+y=16807.由方程组2x+m=1y−3=m,可得x与y的关系是(    )A. 2x+y=−4 B. 2x−y=−4 C. 2x+y=4 D. 2x−y=48.已知关于x、y的方程组x+3y=4−ax−5y=3a给出下列结论:①x=5y=−1是方程组的解;②无论a取何值,x,y的值都不可能互为相反数;③当a=1时,方程组的解也是方程x+y=4−a的解;④x,y都为自然数的解有4对.其中正确的个数为(    )A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个二、填空题: 9.若方程x|a|−1+(a−2)y=3是二元一次方程,则a的值为________.10.已知x=ay=b是方程组2x+y=6x+2y=−3的解,则a+b的值为______.11.对于实数x,y,定义新运算x※y=ax+by+1,其中a,b为常数,等式右边为通常的加法和乘法运算,若3※5=15,4※7=28,则5※9=______.12.若关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2,则关于a、b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6的解是______.13.下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体,则第三个天平右盘中砝码的质量为          . 14.如图,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中,在桶中加入水后,一根露出水面的长度是它的13,另一根露出水面的长度是它的15.两根铁棒长度之和为55cm,此时木桶中水的深度是________cm. 三、解答题: 15. 计算: (1)x−2y=13x+4y=23; (2)3(x−1)=y+5y−13=x5+1.16. 《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三问人数、羊价各几何?其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?17. 为了响应“足球进校园”的号召,某校计划为学校足球队购买一批足球,已知购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元,购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元. (1)求A,B两种品牌的足球的单价.(2)求该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用.18. (1)观察发现: 材料:解方程组x+y=4①3(x+y)+y=14②, 将①整体代入②,得3×4+y=14, 解得y=2, 把y=2代入①,得x=2, 所以x=2y=2 这种解法称为“整体代入法”,你若留心观察,有很多方程组可采用此方法解答, 请直接写出方程组x−y−1=0①4(x−y)−y=5②的解为______. (2)实践运用:请用“整体代入法”解方程组2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②.19. 甲、乙两名同学在解方程组 mx+y=5 2x−ny=13时,甲解题时看错了m,解得 x=72 y=−2 ,乙解题时看错了n,解得 x=3 y=−7 请你根据以上两种结果.(1)求m,n的值;(2)求原方程组的正确解.20.中考新考法阅读理解题新定义:若关于x,y的两个二元一次方程组的解中,x值(或y值)相等,y值(或x值)互为相反数,则称这两个方程组为“友好方程组”.例如:方程组3x+2y=52x+3y=5的解为x=1y=1方程组3x+2y=12x+3y=−1的解为x=1y=−1两个方程组的解中,x值相等,y值互为相反数,所以3x+2y=52x+3y=5与3x+2y=12x+3y=−1为“友好方程组”.请你根据上述描述,解决问题: 关于x,y的二元一次方程组x−y=3①ax+by=5②与2ax−by=9③2x+y=7④为“友好方程组”,求a,b的值. 答案和解析1.【答案】D 2.【答案】B 【解析】【分析】本题考查了用代入法解二元一次方程组,是基础知识,要熟练掌握. 将①代入②整理即可得出答案.  【解答】解:y=1−x①x−2y=4②, 把①代入②得,x−2(1−x)=4, 去括号得,x−2+2x=4. 故选B.3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查三元一次方程组的实际应用,解题关键是根据两个等量关系列出方程组;而利用整体思想,把所给两个等式整理为只含x+y+z的等式是解决本题的难点.设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x、y和z元,根据“购铅笔3支,练习本7本,圆珠笔1支共需3.15元;购铅笔4支,练习本10本,圆珠笔1支共需4.2元”建立三元一次方程组,然后将两个方程联立,即可求得x+y+z的值. 【解答】解:设一支铅笔、一本练习本和一支圆珠笔的单价分别为x元、y元和z元,根据题意,得3x+7y+z=3.15, ①4x+10y+z=4.2, ② ②− ①得,x+3y=1.05, ③ ①−3x ③可得,2y=z,故可得,x+y+z=x+y+2y=1.05. 故选B.4.【答案】B 【解析】【分析】 此题考查了二元一次方程组的应用,关键是根据图形找出其中的等量关系,列出方程组,用到的知识点是长方形的面积公式. 先设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm,根据大长方形的宽为8cm,5个小长方形的宽等于3个小长方形的长,列出方程组,再进行求解即可. 【解答】 解:设每个小长方形的长为xcm,宽为ycm,根据题意得: x+y=83x=5y, 解得:x=5y=3, 则每一个小长方形的面积为5×3=15(cm2); 故选B.5.【答案】D 【解析】【分析】 本题考查的是二元一次方程组的解法,方程组中未知数的系数较小时可用代入消元法,当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单. 此题利用代入消元法求解即可. 【解答】 解:y=2x①3x+y=15②, ①代入②得,3x+2x=15, 解得x=3, 将x=3代入①得,y=2×3=6, 所以方程组的解是x=3y=6. 故选D.6.【答案】B 【解析】解:设购买A型商品x件、B型商品y件,依题意列方程组: x+y=6024x+36y=1680. 故选:B. 根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品分别得出等式组成方程组即可. 此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,正确找出等量关系是解题关键.7.【答案】C 【解析】【分析】 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法,方程组消元m即可得到x与y的关系式. 【解答】 解:{2x+m=1①y−3=m②, 把②代入①得:2x+y−3=1, 整理得:2x+y=4, 故选:C.8.【答案】C 【解析】【分析】 此题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值.①将x=5,y=−1代入检验即可作出判断;②将x和y分别用a表示出来,然后求出x+y=3来判断;③将a=1代入方程组求出方程组的解,代入方程中检验即可;④有x+y=3得到x、y都为自然数的解有4对. 【解答】解:①将x=5,y=−1代入方程组得:5−3=4−a ①5+5=3a②, 由①得a=2,由②得a=103,故结论①不正确; ②解方程x+3y=4−a  ①x−5y=3a      ② ①−②得:8y=4−4a 解得:y=1−a2 将y的值代入①得:x=a+52, 所以x+y=3,故无论a取何值,x、y的值都不可能互为相反数,故结论②正确; ③将a=1代入方程组得:x+3y=3x−5y=3, 解此方程得:x=3y=0, 将x=3,y=0代入方程x+y=4−a,方程左边=3=右边,是方程的解,故结论③正确. ④因为x+y=3,所以x、y都为自然数的解有x=3y=0,x=0y=3,x=1y=2,x=2y=1,故④正确. 则正确的选项有②③④, 故选:C.9.【答案】−2 【解析】【分析】 本题考查二元一次方程的定义,二元一次方程必须符合以下三个条件: (1)方程中只含有2个未知数; (2)含未知数项的最高次数为一次; (3)方程是整式方程. 根据二元一次方程的定义,从二元一次方程的未知数的个数和次数方面确定a的取值. 【解答】 解:根据二元一次方程的定义,得 |a|−1=1且a−2≠0, 解得a=−2. 故答案是:−2.10.【答案】1 【解析】解:把x=ay=b代入方程组2x+y=6x+2y=−3得:2a+b=6 ①a+2b=−3 ②, ①+②得:3a+3b=3, a+b=1, 故答案为:1. 把x=ay=b代入方程组2x+y=6x+2y=−3得:2a+b=6 ①a+2b=−3 ②,相加可得出答案. 本题考查了二元一次方程组的解,属于基础题,关键是把未知数替换为a和b后相加即可.11.【答案】41 【解析】【分析】 此题考查了解二元一次方程组,熟练掌握运算法则是解本题的关键.已知等式利用题中的新定义化简求出a与b的值,代入原式计算即可得到结果. 【解答】 解:根据题中的新定义得:3a+5b=14①4a+7b=27②, ①×4−②×3得:−b=−25,即b=25, 把b=25代入①得:a=−37, 则原式=−37×5+25×9+1=41. 故答案为41.12.【答案】a=32b=−12 【解析】解:关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2, 由关于a、b的二元一次方程组3(a+b)−m(a−b)=52(a+b)+n(a−b)=6,可知a+b=1a−b=2, 解得a=32b=−12. 故答案为a=32b=−12. 本题考查二元一次方程组的求解,重点是整体与换元的数学思想的理解运用在此题体现明显. 利用关于x、y的二元一次方程组3x−my=52x+ny=6的解是x=1y=2,用整体与换元思想,可得题中关于a、b的二元一次方程组的解为a+b=1a−b=2,解此二元一次方程组,可得a、b的值.13.【答案】10 【解析】【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用,设“△”的质量为x,“□”的质量为y,根据前两个天平中的等量关系列方程组求出x,y的值,然后再代入2x+y进行计算即可. 【解答】 解:设“△”的质量为x,“□”的质量为y, 由题意得:x+y=6x+2y=8, 解得:x=4y=2, ∴第三个天平右盘中砝码的质量=2x+y=2×4+2=10; 故答案为10.14.【答案】20 【解析】【分析】 本题主要考查的是二元一次方程组的应用的有关知识,设较长铁棒的长度为xcm,较短铁棒的长度为ycm. 根据题意列出方程组进行求解即可. 【解答】 解:设较长铁棒的长度为xcm,较短铁棒的长度为ycm. 因为两根铁棒之和为55cm,故可列x+y=55, 又知两棒未露出水面的长度相等,故可知23x=45y, 由题意得:x+y=5523x=45y, 解得x=30y=25, 因此木桶中水的深度为30×23=20cm. 故答案为20.15.【答案】解:(1)x−2y=1①3x+4y=23②, ①×2+②得:5x=25,解得:x=5, 把x=5代入①, 可得:5−2y=1, −2y=1−5, 解得:y=2, 故方程组的解为:x=5y=2; (2)将方程组变形可得:3x−y=8①3x−5y=−20②, ①−②得:4y=28,解得:y=7, 将y=7代入①, 可得:3x−7=8, 3x=15, 解得:x=5, 故方程组的解为:x=5y=7. 【解析】(1)利用①×2+②求出x的值,然后代入①求出y的值,从而得出方程组的解; (2)首先将方程组进行化简,然后利用加减消元法得出方程组的解. 本题主要考查了二元一次方程组的解法,掌握解二元一次方程组的步骤是关键.16.【答案】解:设合伙买羊的有x人,羊价为y钱, 依题意,得:y−5x=45y−7x=3, 解得:x=21y=150. 答:合伙买羊的有21人,羊价为150钱. 【解析】设合伙买羊的有x人,羊价为y钱,根据“若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱”,即可得出关于x,y的二元一次方程组,解之即可得出结论. 本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.17.【答案】解:(1)设一个A品牌的足球需x元,则一个B品牌的足球需y元,依题意得:2x+3y=3804x+2y=360,解得:{x=40y=100.答:一个A品牌的足球需40元,则一个B品牌的足球需100元;(2)依题意得:20×40+2×100=1000(元).答:该校购买20个A品牌的足球和2个B品牌的足球的总费用是1000元. 【解析】本题考查了二元一次方程组的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,列出关于x、y的二元一次方程组;(2)根据总价=单价×数量,列式计算. (1)设一个A品牌的足球需x元,则一个B品牌的足球需y元,根据“购买2个A品牌的足球和3个B品牌的足球共需380元;购买4个A品牌的足球和2个B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答; (2)根据总价=单价×数量,列式计算,即可求出结论.18.【答案】x=0y=−1 【解析】解:(1)x−y−1=0①4(x−y)−y=5②, 由①得:x−y=1③, 将③代入②得:4−y=5, 解得:y=−1, 将y=−1代入③得:x+1=1, 解得:x=0, 则原方程组的解为x=0y=−1, 故答案为:x=0y=−1; (2)2x−3y−2=0①2x−3y+57+2y=9②, 由(1)得:2x−3y=2③, 将③代入②得:2+57+2y=9, 解得:y=4, 将y=4代入③得:2x−12=2, 解得:x=7, 故原方程组的解为x=7y=4. (1)将第一个方程变形为x−y=1,利用整体代入法解方程组即可; (2)将第一个方程变形为2x−3y=2,利用整体代入法解方程组即可. 本题考查整体代入法解二元一次方程组,熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.19.【答案】(1)解:mx+y=5①2x−ny=13②, 把x=72y=−2代入②得:7+2n=13, 解得n=3, 把x=3y=−7代入①得:3m−7=5, 解得m=4; (2)把m=4,n=3代入方程组mx+y=52x−ny=13得:4x+y=5①2x−3y=13②, ①×3+②得:14x=28,即x=2, 把x=2代入①得:y=−3, 则方程组的解为x=2y=−3. 【解析】本题考查了二元一次方程组,熟练解二元一次方程组是解题的关键. (1)把甲得到的解代入第二个方程,把乙得到的解代入第一个方程,然后求出m、n; (2)把m、n的值代入方程组,然后利用加减消元法求解即可.20.【答案】解:分情况讨论:①若x值相等,y值互为相反数, 由①得y=x−3,由④得y=7−2x, 则x−3=−(7−2x), x−3=−7+2x, x=4, 将x=4代入①,得4−y=3, −y=3−4, y=1, ∴原方程组x−y=3,①ax+by=5,②的解为x=4,y=1, 将x=4,y=1代入②中,得4a+b=5,⑤ 同理可知方程组2ax−by③2x+y④的解为x=4,y=−1, 将x=4,y=−1代入③,得8a+b=9,⑥ 联立⑤,⑥得方程组4a+b=5,8a+b=9,解得a=1,b=1; ②若y值相等,x值互为相反数, 由①得x=y+3,由④得x=7−y2, 则y+3=−7−y2, 2y=6=−7+y, y=−13, 将y=−13代入①,得x+13=3, x=3−13, x=−10, ∴原方程组x−y=3,①ax+by=5,②的解为x=−10,y=−13, 将x=−10,y=−13代入②,得−10a−13b=5,⑦ 同理可得2ax−by=9,③2x+y④的解为x=10,y=−13, 将x=10,y=−13代入③,得20a+13b=9,⑧ 联立⑦,⑧得方程组−10a−13b=5,20a+13b=9, 解得a=75,b=−1913. 综上所述,a,b的值为a=1,b=1或a=75,b=−1913. 【解析】结合“友好方程组”的定义进行分类讨论,①若x值相等,y值互为相反数,先得出原方程组x−y=3,①ax+by=5,②的解为x=4,y=1,,同理可知方程组2ax−by③2x+y④的解为x=4,y=−1,联立⑤,⑥得方程组4a+b=5,8a+b=9,解得a=1,b=1;以及②若y值相等,x值互为相反数,得−10a−13b=5,⑦,得20a+13b=9,⑧,再建立方程组,进行计算,即可作答. 本题考查了二元一次方程组以及新定义的运算,正确掌握相关性质内容是解题的关键.

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