16.2 分式的运算 华东师大版八年级数学下册同步练习(含解析)

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16.2 分式的运算一、选择题：1.计算(-a)2⋅ba2的结果为(    )A. b B. -b C. ab D. ba2.分式1a+1+1a(a+1)的计算结果是(    )A. 1a+1 B. aa+1 C. 1a D. a+1a3.下列代数式变形正确的是(    )A. x-yx2-y2=1x-y B. -x+y2=-x+y2C. 1xy÷(1x+1y)=1y+1x D. x-yx+y=x2-y2(x+y)24.如果m+n=1，那么式子2m+nm2-mn+1m⋅(m2-n2)的值为  (    )A. -3 B. -1 C. 1 D. 35.一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为a千米/时，下山速度为b千米/时．则货车上、下山的平均速度为多少千米/时．(    )A. 12(a+b) B. aba+b C. a+b2ab D. 2aba+b6.化简xx2+2x+1÷1-1x+1的结果是  (    )A. 1x+1 B. x+1x C. x+1 D. x-17.若5x-3x2-9=Mx+3+Nx-3，则M,N分别为(    )A. M=3,N=2 B. M=2,N=3C. M=-3,N=2 D. M=-2,N=-38.已知：a，b，c三个数满足：aba+b=12，bcb+c=13，cac+a=14，则abcab+bc+ac的值(    )A. 19 B. 29 C. 92 D. 15二、填空题：9.约分：(1)5ab20a2b=________.  (2)x2-9x2-6x+9=________．10.若代数式x+1x+2÷x+3x+4有意义，则x的取值范围是          ．11.已知x2-3x+1=0.下列结论：①x+1x=3；②x2+1x2=7；③(x-1x)2=5；④2x3-16x+3=-2.其中正确的有______.(请填写序号)12.对于任意两个非零实数a，b，定义新运算“*”如下：a*b=1b-1a，例如：3*4=14-13=-112.若x*y=2，则2024xyx-y的值为          ．13.已知x2+2x(x+1)(x+2)=Ax+Bx+1+Cx+2，则A+2B+3C的值是          ．14.如果a，b，c是正数，且满足a+b+c=6，1a+b+1b+c+1c+a=23，则ab+c+bc+a+ca+b的值为        ．三、解答题：15.化简求值：[x+2x(x-1)-1x-1]·xx-1，其中x= 2+1．16.先化简，再求值：m+2+52-m÷m2-6m+9m-2，其中m=-1．17.计算4xx2-4-2x-2-1。圆圆的解答如下：4xx2-4-2x-2-1=4x-2x+2-x2-4=-x2+2x。圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答。18.已知A=2x+yx2-2xy+y2·x-y．(1)化简A；(2)若x2-6xy+9y2=0，求A的值．19.若 2-xy+(1-y)2=0．(1)求x，y的值；(2)求1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+…+1(x+2016)(y+2016)的值．20.定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”.如：x+1x-1=x-1+2x-1=x-1x-1+2x-1=1+2x-1，则x+1x-1是“和谐分式”．(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是______(填序号)；①x+1x；②2+x2；③x+2x+1；④y2+1y2(2)将“和谐分式”a2-2a+3a-1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a2-2a+3a-1=______(要写出变形过程)；(3)应用：先化简3x+6x+1-x-1x÷x2-1x2+2x，并求x取什么整数时，该式的值为整数．答案和解析1.【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是分式的乘除有关知识，首先对该式进行变形，然后再进行计算即可．【解答】解：原式=a2·ba2=b．故选A．2.【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查分式的加减，首先把分式的分母都化作aa+1，然后根据分式的加减法则进行计算，最后约分即可．【解答】解：原式=aaa+1+1aa+1=a+1aa+1=1a．故选C．3.【答案】D 【解析】【分析】考查了分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．根据分式运算法则，将各分式化简即可．【解答】解：A、x-yx2-y2=x-y(x+y)(x-y)=1x+y，故选项错误；B、-x+y2=-x-y2，故选项错误；C、1xy÷(1x+1y)=1xy÷x+yxy=1x+y，故选项错误；D、x-yx+y=(x-y)(x+y)(x+y)2=x2-y2(x+y)2，故选项正确．故选：D．4.【答案】D 【解析】【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式化简后，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式=2m+n+m-nm(m-n)⋅(m+n)(m-n)=3mm(m-n)⋅(m+n)(m-n)=3(m+n)，当m+n=1时，原式=3．故选D．5.【答案】D 【解析】【分析】平均速度=总路程÷总时间，设单程的路程为x，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可．本题考查了列代数式(分式)，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点．【解答】解：设上山的路程为x千米，则上山的时间为xa小时，下山的时间为xb小时，则上、下山的平均速度为2xxa+xb=2aba+b千米/时．故选：D．6.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握它的运算法则.原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：xx2+2x+1÷(1-1x+1)=xx+12÷xx+1=xx+12÷x+1x=1x+1．故选A．7.【答案】A 【解析】【分析】此题考查分式加法及二元一次方程组的解法，根据分式的加法法则进行计算，即可得到关于M、N的二元一次方程组，然后求解即可．【解答】解：M x+3+Nx-3=Mx-3+Nx+3x+3x-3=M+Nx+3N-3Mx2-9，则M+N=53N-3M=-3,解得：M=3N=2,故选A．8.【答案】B 【解析】解：∵aba+b=12，bcb+c=13，cac+a=14，∴a+bab=2，b+cbc=3，c+aca=4，∴1b+1a=2，1c+1b=3，1a+1c=4，∴2(1a+1b+1c)=9，∴1a+1b+1c=92，∴bc+ac+ababc=92，∴abcab+bc+ac=29，故选：B．根据已知易得：a+bab=2，b+cbc=3，c+aca=4，从而可得1b+1a=2，1c+1b=3，1a+1c=4，进而可得1a+1b+1c=92，然后进行计算即可解答．本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．9.【答案】(1)14a (2)x+3x-3 【解析】【分析】本题主要考查了分式的约分，熟练掌握分式的基本性质是解决此题的关键．(1)根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时除以5ab即可；(2)首先将分式的分子、分母进行分解因式，然后根据分式的基本性质进行约分即可．【解答】解：(1)5ab20a2b=14a；  (2)x2-9x2-6x+9=(x+3)(x-3)(x-3)2=x+3x-3；故答案为(1)14a；(2)x+3x-3．10.【答案】x≠-2且x≠-3且x≠-4 11.【答案】①②③ 【解析】解：∵x2-3x+1=0，∴x-3+1x=0，∴x+1x=3，故①正确；∵x2+1x2=(x+1x)2-2，x+1x=3，∴x2+1x2=32-2=7，故②正确；∵(x-1x)2=(x+1x)2-4，x+1x=3，∴(x-1x)2=32-4=5，故③正确；∵x2-3x+1=0，∴x2=3x-1，x2-3x=-1，∴2x3-16x+3=2x2⋅x-16x+3=2(3x-1)⋅x-16x+3=6x2-2x-16x+3=6x2-18x+3=6(x2-3x)+3=6×(-1)+3=-3，故④错误．故答案为：①②③．所给的等式中有三个是分式，应先出现分式，所以把等式x2-3x+1=0两边同除以x，整理后可得①是否正确；根据x2+1x2=(x+1x)2-2可得②是否正确；根据(x-1x)2=(x+1x)2-4可得③是否正确；由x2-3x+1=0可得x2=3x-1，x2-3x=-1，把x3分成x2⋅x，把x2=3x-1代入后进行整理，再把x2-3x=-1代入即可求得2x3-16x+3的值，即可判断出④是否正确．本题主要考查了完全平方公式的应用．注意把所给整式整理成分式的形式．常用到的知识点为：x2+1x2=(x+1x)2-2，(x-1x)2=(x+1x)2-4．12.【答案】1012 13.【答案】4 14.【答案】1 【解析】解：∵a+b+c=6，∴a=6-(b+c)，b=6-(a+c)，c=6-(a+b)，∴ab+c+bc+a+ca+b=6-(b+c)b+c+6-(a+c)c+a+6-(a+b)a+b=6b+c-1+6c+a-1+6a+b-1=6(1b+c+1c+a+1a+b)-3，∵1a+b+1b+c+1c+a=23，∴原式=6×23-3=1．故答案为：1．把已知等式变形后代入所求分式中，再利用整体思想将分式化简求值即可．本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是灵活进行分式的变形以及整体思想的运用．15.【答案】解：原式=x+2xx-1-xxx-1×xx-1，=2xx-1×xx-1，=2x-12，当x= 2+1时，原式=2 2+1-12=2 22=1． 【解析】本题考查的是分式化简求值有关知识，首先对分式进行化简，然后再把x的值代入原式即可解答．16.【答案】解：原式=2+m2-m+52-m·m-2m-32=4-m2+52-m·m-2m-32=3-m3+m2-m·m-2m-32=m+3m-3，∵m=-1，∴原式=-1+3-1-3=2-4=-12． 【解析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是熟练掌握分式的混合运算.先利用分式的混合运算计算括号中分式的减法，然后计算除法，最后把字母的值代入最简结果中进行计算可得结果．17.【答案】解：圆圆的解答不正确，正确解答如下：原式=4x(x+2)(x-2)-2(x+2)(x+2)(x-2)-x2-4(x+2)(x-2)=4x-(2x+4)-(x2-4)(x+2)(x-2)=-x(x-2)(x+2)(x-2)=-xx+2 【解析】直接将分式进行通分，进而化简得出答案。18.【答案】解：1A=2x+yx2-2xy+y2·x-y=2x+y(x-y)2⋅(x-y)=2x+yx-y；(2)∵x2-6xy+9y2=0，∴(x-3y)2=0，则x-3y=0，故x=3y，则A=2x+xx-y=6y+y3y-y=72. 【解析】【试题解析】此题主要考查了分式的乘法运算，非负数的性质．(1)直接利用分式的分式乘法的运算法则计算化简得出答案；(2)根据非负数的性质得出x，y之间的关系，进而代入求出答案．19.【答案】解：(1)根据题意得2-xy=01-y=0,解得x=2y=1；(2)原式=12×1+13×2+14×3+…+12018×2017=1-12+12-13+13-14+…+12017-12018=1-12018=20172018． 【解析】本题主要考查了非负数的性质以及分式的化简求值，正确对每个分式进行变形是关键．(1)根据非负数的性质：几个非负数的和等于0，则每个非负数都等于0；(2)把x和y的值代入，然后把每个式子化成两个分式的差的形式，然后求解．20.【答案】解：(1)①③④；(2)(a-1)2+2a-1=(a-1)2a-1+2a-1=a-1+2a-1 ； (3)原式=3x+6x+1-x-1x⋅x(x+2)(x+1)(x-1)=3x+6x+1-x+2x+1=2x+4x+1=2(x+1)+2x+1=2+2x+1，∴当x+1=±1或x+1=±2时，分式的值为整数，此时x=0或-2或1或-3，又∵分式有意义时x≠0、1、-1、-2，∴x=-3． 【解析】解：(1)①x+1x=1+1x，是和谐分式；②2+x2=1+x2，不是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y2+1y2=1+1y2，是和谐分式；故答案为：①③④．(2)a2-2a+3a-1=(a-1)2+2a-1=(a-1)2a-1+2a-1=a-1+2a-1，故答案为：(a-1)2+2a-1=(a-1)2a-1+2a-1=a-1+2a-1．【分析】(1)由“和谐分式”的定义对①③④变形即可得；(2)由原式=(a-1)2+2a-1=(a-1)2a-1+2a-1=a-1+2a-1可得；(3)将原式变形为=2x+4x+1=2+2x+1，据此得出x+1=±1或x+1=±2，即x=0或-2或1或-3，又x≠0、1、-1、-2，据此可得答案．本题主要考查分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解．