广东省大湾区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版）

这是一份广东省大湾区2024-2025学年高一上学期1月期末数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】集合，，则.
故选：C.
2. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题，故原命题的否定为，.
故选：D
3. 已知函数则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设，则.
故选：B
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由可得或，
又或
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选:
5. 已知偶函数，当时，，则当时，（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】当，则，，
又为偶函数，所以，当时，．
故选：D.
6. 若多项式有一个因式是，则（ ）
A. 3B. C. 5D.
【答案】A
【解析】由题意可得，
则，解得.
故选：A.
7. 若，都是正数，且，则的最小值为（ ）
A. 4B. 6C. D.
【答案】C
【解析】因为，又，都是正数，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立．
故选：C．
8. 已知二次函数．甲同学：的解集为；乙同学：的解集为，丙同学：的对称轴在y轴右侧．在这三个同学的论述中，只有一个假命题，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】若的解集为，则；
若的解集为，则；
若对称轴在y轴右侧，则；
又这三个同学的论述中，只有一个假命题，故乙同学为假，
综上，.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BC
【解析】A项，=所以A选项是错误的；
B项，若，可得：，故，故B正确；
C项，若可得，由可得：，故C正确；
D项，举当时，则不成立，故D不正确；
故选：BC．
10. 已知函数的定义域为，在上单调递减，，且是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.
C. 不等式的解集是
D. 不等式的解集是
【答案】BCD
【解析】因为函数是由函数向左平移个单位得到的，
而是奇函数，所以函数关于对称，
且，故B正确；
所以，故A错误；
又因为函数在上单调递减，
所以函数在上是减函数，
则不等式，即为，所以，
所以不等式的解集是，故C正确；
又，则当时，，当时，，
因为，
所以或，解得或，
所以不等式解集是，故D正确.
故选：BCD.
11. 设，，为实数，，记集合，，若、分别表示集合、的元素的个数，则下列结论能成立的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】ACD
【解析】A：当时，方程无实根，所以，或；
当时，，由得，此时；
当，时，，由得，此时；故存在A成立；
B：当时，方程有三个根，所以，，，设为的一个根，即，则，且，故为方程的根，故有三个根，即时，必有，故不可能是，；故B错；
C：当时，由得或；
由得或；只需，即可满足，；故存在C成立；
D：当时，由得，即；由得；即；故存在D成立；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象经过点，求__________.
【答案】
【解析】设，为常数，
因为，所以，即，
所以.
故答案为：.
13. 已知，则的值是_____
【答案】32
【解析】因为，
所以.
故答案为：32.
14. 已知函数.记，则（1）_______；（2）若函数（t为常数）在上有8个零点，则的取值范围为_______.
【答案】
【解析】当时，；假设当时，；
当时，.
根据数学归纳法，可得，在上恒成立.
，
由题意可得（），
则可得（）为函数的图象与直线在上交点的横坐标，如下图：
由图可得，
当时，显然当时，可得，
，
结合图象，函数的图象在上关于直线对称，
由题意同理可得，函数的图象在上关于直线对称，
函数的图象在上关于直线对称，
函数的图象在上关于直线对称，
不妨设，
则，，，，
所以.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立.
（1）证明函数是上的减函数；
（2）若，求的取值范围.
解：（1）设，则，
当时，恒成立，则，
，即
函数是上的减函数．
（2）易知，则．
，所以，解得或
故x的取值范围是.
16. 已知定义在上的奇函数，其中.
（1）求函数的值域；
（2）解不等式：.
解：（1）为定义在上的奇函数，
，，
当时，，符合题意，
，
，，
，
的值域为；
（2）由（1）有，
原不等式可化为，
令，则，
，即，
，，
不等式的解集为.
17. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）满足方程，其中表示鲑鱼耗氧量的单位数，表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.
（1）当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为，求此时的值；
（2）当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？
解：（1）由题意可得：，解得，所以.
（2）设乙鲑鱼耗氧量偏差为，乙鲑鱼的耗氧量为，
则甲鲑鱼耗氧量偏差为，甲鲑鱼的耗氧量为，
因为甲、乙两条鲑鱼游速相同，则，
化简得，
则，即，可得，
所以甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的9倍.
18. 已知函数，其中.
（1）判断的奇偶性（直接写出结论，不必说明理由）；
（2）证明：当时，；
（3）若函数有三个零点，求的取值范围.
解：（1）当时，，其定义域为，且，
所以函数为偶函数；
当时，函数，可得且，
所以函数既不是奇函数又不是偶函数.
（2）由函数，
可得，
当时，因为，，所以；
当时，；
当时，，
综上可得，当时，.
（3）设，
因为是关于的单调增函数，问题可转化为函数有三个大于0的零点，
当时，，所以只有一个零点为0，不符合题意；
当时，，所以无零点，不符合题意；
当时，，
因为的图象的对称轴为，所以在上递增，
所以在上至多有1个零点；
又因为的图象对称轴为，所以在上至多有2个零点，
问题等价于在有且仅有1个零点，在上有且仅有2个零点，
则满足，即，解得，
所以实数的取值范围为.
19. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合.
（1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由，
①；②；
（2）若（）是集合中的元素，求的最小值；
（3）若，求证：是的充分不必要条件.
解：（1）①不是.
当时，，
，
所以不是集合中的元素；
②是.
，，
所以是集合中的元素.
（2）当时，，，
，
因为，在上单调递减，
故成立，即；
若，令，，
，
因为，在上单调递减，
所以，因此，
综上所述，的最小值为1.
（3）充分性：因为，所以，，，进而，
同理，相加得，即，所以充分性满足；
必要性：设，，，
所以，此时，当时，，
所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足；
综上所述，是的充分不必要条件.