广东省普宁市2024-2025学年高一上学期期末质量测试数学试题（解析版）

这是一份广东省普宁市2024-2025学年高一上学期期末质量测试数学试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合
所以.
故选：C.
2. 函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则 ，解得 ，
故选：C.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，所以，因为，所以.
故“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 8D. 16
【答案】C
【解析】正数a，b满足，则，
当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值8.
故选：C.
5. 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题得.
故选：D.
6. 设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由于偶函数，故，，
由于时，是增函数，，
故，
故选：A.
7. 函数在内恰有两个最小值点，则的范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，
所以
所以，
所以.
故选：B.
8. 已知函数，则函数零点个数为（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 8
【答案】B
【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数，令，则，当时，，令，，
函数在上单调递增，于是函数在上单调递增，
又，，则存在，使得；
当时，，解得或，
作函数的大致图象，如图：
又，则，
当时，，由图象知，方程有两个解；
当时，，由的图象知，方程有两个解；
当，时，，由的图象知，方程有一个解，综上所述，函数的零点个数为5.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某数学小组在进行“数学建模活动——探究茶水温度与时间的关系”时，根据所收集的数据，得到时间（分钟）与水温（℃）的散点图（如图），则下列不可能作为该散点图对应的函数模型的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】，单调递增，故A， C错误；，单调递减，满足题意.
故选：AC.
10. 已知函数，则下列命题错误的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象关于点对称
C. 的最小正周期为，且在上为增函数
D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象
【答案】ABD
【解析】由可得，
对于A，，故的图象不关于直线对称，A错误，
对于B, ，故的图象不关于点对称，故B错误，
对于C，的最小正周期为，当时，，故在上为增函数，C正确，
对于D,将的图象向右平移个单位得到，由于不是偶函数，故D错误，
故选：ABD.
11. 在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动(无滑动滚动)，点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是（ ）.

A. 函数是奇函数
B. 对任意，都有
C. 函数的值域为
D. 函数在区间上单调递增
【答案】BCD
【解析】由题得，当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆；
当时，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示：
此后依次重复，所以函数是以为周期的周期函数，由图象可知，函数为偶函数，故A错误；
因为以为周期，所以，
即，故B正确；
由图象可知，的值域为，故C正确；
由图象可知，在上单调递增，因为以为周期，所以在上的图象和在上的图象相同，即单调递增，故D正确．
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则_____________.
【答案】
【解析】解：∵角的终边经过点，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若是奇函数，则实数___________.
【答案】
【解析】定义域为，且为奇函数，，解得：；
当时，，，
为上的奇函数，满足题意；
综上所述：.
故答案为：.
14. 若，，，则，，的大小关系为________（用“>”连接）．
【答案】
【解析】,,又，
故，故，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，集合，，
故.
（2），则，
当时，，即，满足，故；
当时，，即时，则，解得，
于是得，
综上所述：，所以实数的取值范围是.
16. 已知不等式的解集为．
（1）求实数，的值；
（2）解关于的不等式：为常数，且
解：（1）等式的解集为，
所以1和2是方程的两根，
由根与系数的关系知，，解得，．
（2）不等式即为，
由，则时，解不等式得，或；
时，解不等式得，或；
综上，时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为或．
17. 已知函数，，，的图象如图所示．

（1）求的解析式；
（2）设若关于的不等式恒成立，求的取值范围．
解：（1）由图象可得：，，
所以，又，则，
所以，
代入得：，
则，，解得：，，
又，所以，
故．
（2）由（1）知：，
所以，
即，又，所以，则，
令，则有恒成立，
所以， 解得：，
故的取值范围为．
18. 已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数f（x）的奇偶性；
（2）记函数g（x）= +3x，求函数g（x）的值域；
（3）若不等式 f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．
解：（1）∵函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x），
∴，解得﹣2＜x＜2．
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2）．
∵f（﹣x）=lg（2﹣x）+lg（2+x）=f（x），
∴f（x）是偶函数．
（2）∵﹣2＜x＜2，
∴f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）=lg（4﹣x2）．
∵g（x）=10f（x）+3x，
∴函数g（x）=﹣x2+3x+4=﹣（x﹣）2+，（﹣2＜x＜2），
∴g（x）max=g（）=，g（x）min→g（﹣2）=﹣6，
∴函数g（x）的值域是（﹣6，]．
（3）∵不等式f（x）＞m有解，∴m＜f（x）max，
令t=4﹣x2，由于﹣2＜x＜2，∴0＜t≤4
∴f（x）的最大值为lg4．
∴实数m的取值范围为{m|m＜lg4}．
19. 设是非空实数集，且.若对于任意的，都有，则称集合具有性质；若对于任意的，都有，则称集合具有性质.
（1）写出一个恰含有两个元素且具有性质的集合，并证明；
（2）若非空实数集具有性质，求证：集合具有性质；
（3）设全集，是否存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质？若存在，写出这样的一个集合；若不存在，说明理由.
解：（1）恰含有两个元素且具有性质的集合；
证明：；
（2）若集合具有性质，不妨设，由非空数集具有性质，有.
①，易知此时集合具有性质.
②数集只含有两个元素，不妨设，
由，且，解得：，此时集合具有性质.
③实数集含有两个以上的元素，不妨设不为1的元素，
则有，由于集合具有性质，
所以有，这说明集合具有性质；
（3）不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质，
由于非空实数集具有性质，令集合，
依题意不妨设，
因为集合具有性质，所以，
若，则，
因为非空实数集具有性质，故，这与矛盾，
故集合不是单元素集，
令，且，
①，可得，即，这与矛盾；
②，由于，所以，因此，这与矛盾
综上可得：不存在具有性质的非空实数集，使得集合具有性质.