河南省豫东名校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份河南省豫东名校2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为集合，，所以．
故选：C.
2. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意知解得且，所以函数的定义域为．
故选：D
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若，，满足，但不成立；
若，则，则成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
4. 已知某扇形的周长是24，面积为36，则该扇形的圆心角（正角）的弧度数是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】设扇形的半径为r，所对弧长为l，则有解得故．
故选：A.
5. 设函数，则函数的单调递减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，，则，解得，即函数的定义域为，
显然函数在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递减，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为．
故选：D.
6. 若函数的最小正周期为，且函数在区间上单调递增，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意知，解得，所以，
令，，解得，，
当时，可得在上单调递增，
又函数在区间上单调递增，所以，
即m的取值范围是．
故选：B.
7. 已知函数则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】当时，，
则时无解；
当时，在R上单调递增；
当时，，则的解集为；
当时，，
则在时恒成立，
综上，不等式的解集为．
故选：B.
8. 已知a克糖水中含有b克糖，若再添加m克糖溶解在其中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度更大），对应的不等式为，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，
又．
综上，．
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若角的终边上有一点，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】若的终边上有一点，
当时，，，
此时；
当时，，，
此时．
故选：BD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过定点
B. 函数与表示同一个函数
C. 函数的最小值为3
D. 若关于x不等式的解集为或，则
【答案】AB
【解析】对于A，因（且）恒过定点，故函数的图象恒过定点，故A正确；
对于B，函数与的定义域为，
且，，故它们为同一个函数，故B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，但方程无解，等号不成立，故C错误；
对于D，依题意关于x的方程有两根为和2，故必有
解得所以，故D错误．
故选：AB.
11. 已知是定义在R上的不恒为零的函数，对于任意的，都有，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 是偶函数
C. 若，则
D. 若当时，，则在上单调递增
【答案】ACD
【解析】因为，所以令，得，故A正确；
令，得，所以，
令，得，所以，
令，得，又，所以，
又因为定义域为R，所以函数是奇函数，故B错误；
令，得，
令，，得，
所以，故C正确；
当时，由，可得，
又，所以，
任取，
所以，
又，所以，，故，
所以在上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
12. 已知幂函数在上单调递增，且，请写出一个满足条件的的值为______．
【答案】（答案不唯一．满足即可）
【解析】当时,幂函数在上单调递增，
又，满足题意.
故答案：（答案不唯一．满足即可）
13. 若命题“，使得”是假命题，则m的取值范围是___.
【答案】
【解析】由题意知，原命题的否定“，”是真命题，
令，
所以，
解得，即m的取值范围是.
故答案为：.
14. 设，，且，则的最大值为____.
【答案】
【解析】因为，所以，
所以．
当，时，，，
所以，
当且仅当，即，时等号成立；
当，时，此时．不成立；
当时，，此时；
当，时，，，不成立；
当，时，，，不成立；
综上，的最大值为，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求a的取值范围．
解：（1）由题意知，
，
当时，，所以，
所以．
（2），，
若，显然，
则或，
解得或，
即a的取值范围是.
16. （1）已知，求的值；
（2）若，且，求的值．
解：（1）由题意知
．
（2）因为，，
解得，或，，
又，所以，，所以.
17. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在区间上的值域为，求m的取值范围．
解：（1）函数的最小正周期；
令，，解得，．
即的单调递减区间为．
（2）当时，，
令，即，
画出上的图象如图，
因为在的值域为，
所以，
解得，即m的取值范围为．
18. 已知函数（且）在上的最大值和最小值之和为20，函数是奇函数．
（1）求a和b的值；
（2）用函数单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
（3）若函数恰有两个不同的零点，求m的取值范围．
解：（1）当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，
所以函数在上的最大值与最小值之和为，解得．
所以，的定义域为R，又函数是奇函数，
所以，解得，
当时，，
所以，
所以函数是奇函数，满足题意．
（2）证明：任取，且，
所以
，
又，所以，，，所以，
即，
所以函数在R上单调递增．
（3）因为，
所以有两个不同的实数解，
即有两个不同的实数解，
令，则在上有两个不同的实数解，
令，又，所以−−m−32>0,Δ=−m−32−8>0,
解得，即m的取值范围是．
19. 对于函数，若存在实数k，使得等式对定义域中每一个实数x都成立，则称函数为型函数．
（1）若函数（且）是型函数，求a的值；
（2）已知函数的定义域为，恒大于0，且是型函数，当时，．
①若，求的解析式；
②若对任意的恒成立，求m的取值范围．
解：（1）因为函数（且）是型函数，
所以对定义域中每一个实数x都成立，即，
又且，所以．
（2）①因为是型函数，所以，
当时，，又，所以；
令，得，
所以，
又当时，，
所以，
解得，
所以当时，；
当时，，
所以．
综上，
②因为是型函数，所以，
当时，，又，所以，满足；
当时，恒成立，
令，则当时，恒成立，所以恒成立，
而函数在上单调递增，则，当且仅当时取等号，所以；
当时，，
则，
由，得，
令，则当时，，
又，则只需时，恒成立，即恒成立，
又，当且仅当时取等号，所以，
综上，m取值范围是．