湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版）

这是一份湖北省2024-2025学年高一上学期期末联考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
所以
故选：D.
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】命题“，”的否定为“，”可得
命题“”的否定是“”.
故选：D.
3. 截取一块扇形钢板，若扇形钢板的圆心角为，面积为，则这个扇形钢板的半径约为（参考数据：）（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设扇形的半径为，
由扇形面积公式可得，又，
可得（），
故选：C.
4. 已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为和在上都是连续的增函数，
所以在上是连续的增函数，
所以在上至多有一个零点，
因为，，
所以，
所以唯一的零点所在的区间为，
故选：C.
5. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】，
“”是“”的必要不充分条件.
故选:B.
6. 函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】易知函数的定义域为，
因为，所以，函数为奇函数，排除D.
又当时，，则，排除C.
又，排除B.
故选：A.
7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中、是正的常数.如果前消除了的污染物，那么前消除的污染物的占比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当时，，当时，，即.
所以当时，，
即后，还剩的污染物，所以前消除的污染物的占比为.
故选：A.
8. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意得，，
要比较与0的大小，即比较的大小.
由，，
可得，故；
又，
故，所以，
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知角的终边过，则（ ）
A. 角为第二象限角B.
C. 当时，D. 的值与的正负有关
【答案】BC
【解析】由，角的终边在第四象限，显然A错误；
由定义，，B项正确；
当时，，
所以，所以C项正确；
因为，与的正负无关，所以D项错误，
故选：BC.
10. 已知函数的定义域为，，则（ ）
A. B.
C. 为减函数D. 为奇函数
【答案】ABD
【解析】因为，，
令，可得，则，
令，可得，则.
对于A选项：令，可得，所以A正确；
对于B选项：令可得，所以B正确；
对于C选项：因为、，所以不可能为上减函数，故C错误；
对于D选项：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，可得，
所以，所以为奇函数，所以D正确.
故选：ABD.
11. 已知，函数，若恒成立，则（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为2
C. 的最小值为D. 的最小值为
【答案】AC
【解析】因为​单调递增，​单调递增，恒成立，
所以与零点相等，
令可得，
令可得
所以函数的零点为，函数的零点为，
所以
对于A选项：，
可知，
故，所以，
当且仅当，即取等号，所以A正确；
对于B选项：，可知，即，显然，
所以，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C选项：由可知，易知，，
故，
所以，
故，当且仅当，即取等号，所以C正确；
对于D选项：由可知，，
由A选项可知，所以，当且仅当取最小值，所以D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知幂函数的图象过点，则_____.
【答案】8
【解析】由题意得，，
解得，
所以.
故答案为：.
13. 若，且，则_____.
【答案】或
【解析】法1：由已知得，
与联立可得，
故，
因为，则，所以.
法2：由可知，
因为，则，，则，
由于，则，
联立，解得，即.
法3：由，构造对偶式，令，
两式平方相加可得，
因为，则，，则，
即或（舍），
所以，解得.
故答案为：.
14. 给出定义：若 （其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.已知.
（1）_____；
（2）若方程恰有5个实数根，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为，
所以，
所以；
，画出的图象
要使方程恰有5个实数根，
结合图像可知，，解得.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
解：（1）依题意，
所以.
（2）由（1）及，得，解得，
所以
16. 已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若集合 中恰有3个整数，求实数的取值范围.
解：（1）由，可得或，
即集合或：
由，得或，
解得或.
（2）易知集合的区间长度为6，故中最少有5个整数，而集合中端点“”与“7”相距8个单位，故要使集合中恰有3个整数，则有两种情形：
①当即，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为，，，
则，可知
②当即时，要使集合中恰有3个整数，三个整数应为7，8，9，
则，可知
综上可知.
17. 已知，函数为奇函数.
（1）求的值；
（2）判断的单调性，并用定义证明；
（3）解不等式：.
解：（1）法一：因为为奇函数，所以，
即，亦即，
解得.
法二：因为为奇函数，所以，即，
解得.
此时，所以
所以符合题意，故.
（2）为增函数.
证明如下：设且，
则.
因为，所以，即，
故，所以为增函数.
（3）原不等式即为.
又由（1）可知为奇函数，所以.
又由（2）可知为增函数，所以，即，
解得.
所以原不等式解集为.
18. 某企业生产一批产品，受工艺和技术水平的限制，在生产中会产生一些次品，其次品率与日产量（单位：千件）之间满足如下关系：（且）.每生产1千件合格品企业平均可以获利5万元，但每生产1千件次品企业平均亏损7万元.（注：次品率，盈利=获利总额-亏损总额.）
（1）求企业日盈利（单位：万元）关于日产量的函数关系式；
（2）当日产量多少时，企业日盈利最大？
解：（1）依题意，，
当时，，则，
当时，，则，
所以日盈利关于日产量的函数关系式为，（且）.
（2）由（1）知，当时，企业不盈利，则只需考虑时的情况，
设，，则，且，
则，
①当，即时，，
当且仅当，即时，取最大值27万元，此时千件；
②当，即时，，函数在上单调递增，
函数在上单调递减，
则当，即千件时，取最大值，最大值为万元，
所以当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大；
当，时，日产量（千件）时，企业盈利最大.
19. 用表示中的最小值，用表示 中的最大值.
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，函数 ，试讨论函数的零点的个数.
解：（1）由对数函数性质知，即
又由指数函数性质知，即.
又因为，
所以，即.
（2）解法一：由，可得，且.
则，
所以，当且仅当即，时取等号，
所以的最大值为.
解法二：由，可得，且.
则，所以，
当且仅当即，时取等号，所以的最大值为.
解法三：由，可得，且.
所以.
下面研究的最大值：
，令，，则有.
由及可得，故的最大值为.
接下来验证取等号的条件.
当时，，所以取等号的条件为即，时取等号，
所以，故的最大值为.
（3），，由可得.
对，则
①当，即时，恒成立，
所以的零点也为的零点，故有个零点；
②当，即或.
（i）当时，，
此时，是的个零点.
（ii）当时，，
当时，，，
当时，，当且仅当，
所以有个零点，和.
②当，即或，有个零点，记为.
所以，
（i）当时，，，且关于对称，
又，则必有，，
所以时，，，
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，，
函数的零点为.
若，则，此时，
函数的零点为.
此时无论取何值，必有个零点.
（ii）当时，关于对称，且，
则当时，，此时，
当时，有个零点，这个零点且也是的零点，此时函数有个零点.
综上所述：当时，有个零点；当时，有个零点；当时，有个零点.