四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省内江市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，所以.
由，所以.
所以.
故选：A.
2. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】对于选项A：例如，可得，故A错误；
对于选项B：例如，满足，
但，即，故B错误；
对于选项C：例如，满足，
但，即，故C错误；
对于选项D：因为，若，则，
可得，即，故D正确.
故选：D.
3. 设命题三角形的内角和为，则p的否定为（ ）
A. 所有三角形的内角和都不为B. 有的三角形的内角和为
C. 存在三角形的内角和不为D. 三角形的内角和不为
【答案】C
【解析】命题：所有三角形的内角和都是，
所以命题的否定为：存在三角形的内角和不为.
故选：C.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由.
所以.
故选：B.
5. 中国扇子历史悠久，源远流长，在长达数千年的发展过程中，被赋予了极其深厚的文化内涵和鲜明的民族特色．自古中国就有“制扇王国”的美誉，数量之大品种之多，皆居世界首位．如图，现从一圆面中剪下一个扇形制作一把扇形扇子，为了使扇子形状更为美观，要求剪下的扇形和圆面剩余部分的面积比值为黄金分割比，则扇子的圆心角应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设圆半径为，剪下的扇形的圆心角为，则圆面剩余部分的圆心角为，
由题意可得：，解得.
故选：A.
6. 在下列区间中，方程的解所在的区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为在定义域内单调递增，
可知函数在定义域内单调递增，
又因为，可知函数的唯一零点在区间内，
所以方程的解所在的区间为.
故选：B.
7. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间t（单位：h）间的关系为（其中，k是正常数），如果在前5h消除了10%的污染物，则污染物减少50%需要花费的时间约为（ ）
（本题参考数据：）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意可知，当为最开始的污染物含量.
当时，废气的污染物含量为
所以所以当污染物减少时，
可设所以所以
则所以
故选：D.
8. 已知函数是定义在上的奇函数，且满足．若，则（ ）
A. 0B. 2C. 2024D. 2025
【答案】B
【解析】因为函数为奇函数，所以，且，
所以，即，
所以.
所以函数是以4为周期的周期函数.
又， ，，，
所以，
.
所以.
故选：B.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知集合，，，，下列选项正确的有（ ）
A. B.
C D.
【答案】BD
【解析】因为集合中的元素都是有序实数对（点），
所以，的运算结果均为点的集合，
所以，都是错误的，即AC错误；
对B：因为方程组无解，所以正确，即B正确；
对D：因为，
又，所以，故正确，即D正确.
故选：BD.
10. 已知函数图象关于直线对称，则（ ）
A. 在区间单调递增
B. 在区间内有4个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 在区间上的最大值为
【答案】AD
【解析】由（），
又，所以，，所以.
对A：由，，
得，，
的函数的单调增区间为，.
所以函数在上单调递增，因为，
所以函数在上单调递增，故A正确；
对B：由，，所以且，
所以的值可以为：，，，即函数在内有3个零点，故B错误；
对C：因为，
所以点不是曲线对称中心，故C错误；
对D：当时，，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且，
.
所以函数在上的最大值为，故D正确.
故选：AD.
11. 设，用表示不超过x的最大整数，例如，．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A.
B.
C. 当时，
D. 方程在实数范围内有9个不同的实数根
【答案】BCD
【解析】由于，
所以，
由此画出函数图象如下图所示，
由图可知，是非奇非偶函数，A选项错误；
是周期为1的周期函数，B选项正确；
当时，，C选项正确；
方程在实数范围内的实数根的个数可以转化为与交点的个数，
如图可得方程在实数范围内有9个不同的实数根，D选项正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 在平面直角坐标系中，已知是以原点O为圆心，半径长为3的圆，角的终边与的交点为P，则点P的纵坐标y关于x的函数解析式_______．
【答案】
【解析】设，则，
，所以.
13. 如图，已知函数的图象经过点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】因为函数的图象经过点，则，即，
由图像可知，且，
可得，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
14. 已知函数对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可知：在定义域内单调递减，
则，解得，所以实数a的取值范围是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数的图象经过点，其中．
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数的定义域和值域．
解：（1）由题意：，
又，所以.
（2）因为，
由，所以函数的定义域为：.
因为，.
当时，，当时，取得最大值.
所以，
所以函数的值域为.
16. 已函数为定义在上的偶函数，当时，．
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的单调区间，并说明理由．
解：（1）设，则，所以，
又因为函数为偶函数，所以，所以，.
所以.
（2）设，
则，
因为，所以，，所以.
即.
所以函数在上单调递增.
又函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以函数在上单调递减.
17. 经过市场调查分析，某地区一年的前个月内，对某种商品的需求累计万件，近似地满足下列关系：．
（1）求这一年内，哪几个月需求量超过1.7万件?
（2）若在全年销售，将该产品都在每月初等量投放市场，则为保证该产品全年不脱销，每月初至少投放多少万件?（精确到万）
解：（1）第1个月的月需求量为，
第个月的月需求量为
，
由得，又得，
即这一年的这四个月的需求量超过万件.
（2）设每月初等量投放商品万件，要使商品不脱销，对于第个月来说，
不仅有本月投放市场的万件商品，还有前几个月未销售完的商品.
所以，需且只需：，所以，
又，
当且仅当，即时，等号成立，故，
即每月初至少要投放万件即1.43万件商品，才能保证全年不脱销.
18. 已知函数的最小正周期为2，部分图象如图所示．
（1）求A，，；
（2）在实数范围内，求使不等式成立的x的集合；
（3）若，且满足，求满足要求的m的个数．
解：（1）由题意可知：，
因为，且函数的最小正周期为2，
则，解得，可得，
又因为函数的过点，则，即，
且，则，可得，即.
（2）由（1）可知：，
因为，即，可得，
则，解得，
所以不等式成立的x的集合为.
（3）因为，即，
可得，解得，
又因为，可得，
即，可得，
若为偶数，可得，解得，满足条件的有34个；
若为奇数，可得，解得，满足条件的有38个；
综上所述：满足条件的有个.
19. 意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样?这便是闻名遐迩的“悬链线问题”．1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．
（1）求证：；
（2）求函数的最小值；
（3）求证：对，．
解：（1）因为.
所以：.
（2）
.
设，则，当且仅当时取“”.
则，在上单调递增，所以.
所以函数的最小值为.
（3）当时，，.
对，
因为，所以为偶函数；
设，则，
因为，所以，，所以，
所以，即在上单调递增.
所以当时，.
对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增.
所以当时，.
所以；
当时，.
设.
所以，
所以.
即.
综上可得：对，.