广东省18校2024-2025学年高一上学期1月期末联考试数学试题（解析版）

这是一份广东省18校2024-2025学年高一上学期1月期末联考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，则以下正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于A，为元素，为集合，所以，故A错误；
对于B，为集合，为集合，且，所以，故B正确；
对于C，为集合，是有序数对，故C错误；
对于D，为集合，为集合，且，故，故D错误.
故选：B
2. 命题“”的否定为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由特称命题的否定可得命题“”的否定为.
故选：C.
3. 若函数有一个零点是1，则函数的零点是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可得，可得；
可得，
令，因此，
解得或或；
因此函数的零点是.
故选：D
4. 若幂函数在上是单调递增的，则（ ）
A. B.
C. 在上是单调递增函数D. 是偶函数
【答案】C
【解析】由题意得且，解得或（舍去），
故，
A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项，在R上单调递增，故在上是单调递增函数，C正确；
D选项，，故不是偶函数，D错误.
故选：C
5. 已知，且是方程的两根，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在区间内，，.
已知和是方程的两根，
根据韦达定理有，.
因为，所以.
又因为，所以.则.
所以，
又，即，解得
故选：C.
6. 已知某扇形的圆心角为，周长为10，设甲：为第二象限角；乙：该扇形的面积为6，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件又不是乙的必要条件
【答案】D
【解析】设扇形的半径为，弧长为，
则，解得或，
所以当时，（弧度），其为第二象限角；当时，（弧度），其不是第二象限角，
又第二象限角的范围为，
所以甲无法推出乙，乙也无法推出甲.
故选：D.
7. 函数的值域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
令，则，则原函数可化为，
因为，所以，当且仅当即时取等号，
所以当时，；当时，，所以函数的值域为；
故选：C.
8. 已知一个质点在一个单位圆上按逆时针方向作匀速运动，其在轴上的投影到原点的位移，若初始位移为，随后一段时间内位移开始增加，又质点运动一圈的时间为，则的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】由质点运动一圈时间为可得，
由初始位移为可得，因为，所以，
因为随后一段时间内位移开始增加，所以，
所以即，
由余弦函数性质可得，
因为，所以，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若是第一象限角，则下面选项中一定为正值的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】因为是第一象限角，
所以，
则，
，
所以，不确定，，，
故选：ACD
10. 已知函数的最小正周期为，是奇函数，则（ ）
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减
D. 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象
【答案】ABD
【解析】由题意可知，解得，
又是奇函数，可得，即，
又，可得，即可得A正确；
对于B，因此可得，
当时，可得，取得最小值，
因此的图象关于直线对称，即B正确；
对于C，当时，，
由正弦函数的单调性可得在上不是单调递减的，即C错误；
对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到，即D正确.
故选：ABD
11. 已知的定义域为，，且，则（ ）
A. B. 为偶函数
C. 的图象关于点中心对称D.
【答案】BCD
【解析】对于A，令可得：，结合，
所以，A错误；
对于B，令，可得，由A可得：
，即，偶函数，B正确；
对于C，令，可得，可得：，
再令，可得，
所以，
所以的图象关于点中心对称，C正确；
对于D:由，
可得：结合
可得：，所以，周期为2，D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知是上的增函数，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】根据题意，可得，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：.
13. 设光线通过一块玻璃，强度损失，如果光线原来的强度为，通过块这样的玻璃以后强度为，则，那么光线强度减弱到原来的以下时，至少通过这样的玻璃块数为___________.（参考数据：）
【答案】11
【解析】由题意得：，由于，所以有，
两边取常用对数得：，因为，
所以有，
即至少通过这样的玻璃11块.
故答案为：11.
14. 已知函数，若，则的取值范围为___________，若恒成立，则的最大值为___________.
【答案】 6
【解析】函数的定义域为，
因为，所以函数是偶函数，
当时，令，
由于函数在上单调递增，而函数是增函数，
所以函数在上单调递增，
由于，
所以，
所以，整理得，解得或，
所以的取值范围为；
又，当且仅当，即时取等号，
所以，
不等式可化为，
所以恒成立，
而，
当且仅当，即时取等号，
因此，所以的最大值为6.
故答案为：；6
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设集合．
（1）若，求；
（2）若，求的取值范围．
解：（1），
所以，或，
若，，
所以.
（2）因为，所以，解得.
16. 计算以下的值：
（1）；
（2）；
（3）化简：已知，求.
解：（1）原式
.
（2）原式.
（3）由，得，
即，
所以.
17. 已知.
（1）将化为的形式，并求出在上的单调递增区间；
（2）设，求的值.
解：（1）
，即，
当且仅当，
即时，单调递增，
所以在上的单调递增区间为.
（2）因为，
所以，
因为，即，
所以，
，
所以
.
18. 舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：
为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：
①；②；③其中含的项的系数均不为0.
（1）请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；
（2）运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；
（3）若本次舆情不是严重的，求的最小值.
解：（1）③；
根据表格中数据可以看出舆论场指数增长非常快，符合指数函数性质，故选③；
（2）将表格数据代入，得，，
解得，
故函数为，
则第4天时的舆论场指数为.
（3）若本次舆情不是严重的，则恒成立，
原式等于，故两边同时除以，得到，
不妨设，故原式等于，整理得，
由于在上单调递减，故只需要当时，成立即可，
代入得，解得，
故的最小值为.
19. 已知函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，令，其中分别为奇函数、偶函数.
（1）求在上的最大值；
（2）求证：；
（3）求证：仅有1个零点，且.
解：（1）由已知得，，，
所以，所以，
所以在上单调递增，
所以在上的值域为，即最大值为.
（2）因为，即①，
所以，即，
因为分别为奇函数，偶函数，所以②，
由①、②得，，所以
，
即成立，当且仅当时取等号.
（3）由以上得，，所以定义域为且单调递增，
因为，因为，
所以，
由零点存在定理得，存在唯一零点，使得，
所以，
要证，
令.显然函数在定义域上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，则，
所以成立，所以成立，原式得证.
.天数
1
2
3
舆论场指数
12
48
156