辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份辽宁省朝阳市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，，
所以．
故选：B．
2. 已知，则（ ）
A. 9B. 8C. 3D. 1
【答案】B
【解析】令，则.
故选：B.
3. 某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（ ）
A. 150B. 130C. 120D. 100
【答案】A
【解析】设该企业职工人数为，由分层抽样性质可得，解得，
所以该企业职工人数为.
故选：A.
4. “且”是“且”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】由“且”，则“且”，故充分性满足；
反之，若“且”，取，显然成立，
但并不满足“且”，故不满足必要性.
故选：A.
5. 如图，四边形中，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意，为线段的中点，
则
．
故选：D．
6. 某班级从5名同学中挑出2名同学进行大扫除，若小王和小张在这5名同学之中，则小王和小张都没有被挑出的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】记另3名同学分别为a，b，c，
所以基本事件为，，（a，小王），（a，小张），，（b，小王），（b，小张），（c，小王），（c，小张），（小王，小张），共10种．
小王和小张都没有被挑出包括的基本事件为，，，共3种，
综上，小王和小张都没有挑出的概率为．
故选：B.
7. 著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，空气温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．若当空气温度为时，某物体的温度从下降到用时分钟，则再经过分钟后，该物体的温度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题知，，，所以，可得，
再经过分钟后，
该物体的温度为，
即该物体的温度为．
故选：C．
8. 已知集合，若是的必要条件，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为是的必要条件，所以，
所以成立.
令，得在恒成立，
所以，所以，
，又，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列关于平面向量的说法错误的是（ ）
A. 若是共线的单位向量，则
B. 若，则
C. 若，则不是共线向量
D. 若，则一定存在实数，使得
【答案】ACD
【解析】是共线的单位向量，则或，A错误；
向量相等，即大小相等，方向相同，B正确；
若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误；
若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误．
故选：ACD．
10. 已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】已知，，，取，
所以，A选项错误；
因为，，所以，所以，所以，
所以，所以，B选项正确；
因，所以，
当且仅当取等号，C选项正确；
，
当且仅当取等号，D选项正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，为偶函数B. 既有最大值又有最小值
C. 在上单调递增D. 的图象恒过定点
【答案】ACD
【解析】当时，，定义域为，因为，
所以为偶函数，A正确；
因为，所以，
则有最大值，没有最小值，B错误；
因为在上单调递增，在上单调递减，
又在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，C正确；
当时，，所以的图象恒过定点，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 请写出一个幂函数满足以下两个条件：①定义域为；②为减函数，则________.
【答案】（答案不唯一）
【解析】举例，其定义域为定义域为，且为减函数.
13. 某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是________.
【答案】85
【解析】设更正前甲，乙，丙...的成绩依次为，
则，
即，
所以，
，
即，
所以.
更正后的平均分，
更正后的方差
.
14. 已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】易知，令，
则满足条件需关于的方程在上有两个不相等的实数根，
由，解得.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知甲、乙两人进行围棋挑战赛，先胜两局的一方赢得比赛，每局比赛不考虑平局，并且前一局先手的一方，下一局比赛将作为后手．在每一局比赛中若甲方先手，则该局甲获胜的概率为；若甲方后手，则该局甲获胜的概率为．
（1）求双方需要进行第三局比赛的概率；
（2）若第一局比赛乙先手，求甲赢得比赛的概率．
解：（1）若双方需要进行第三局比赛，则前两局比赛中双方各胜一局，
因为前两局比赛中，双方各先手一次，
故双方需要进行第三局比赛的概率．
（2）记第局甲获胜为事件，甲赢得比赛为事件，
则包含的所有事件为，且这个事件之间两两互斥，
由，，，
得．
16. 已知函数.
（1）若关于的不等式的解集为，求，的值；
（2）当时，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
解：（1）由题意可知，，1是方程的两根，
所以，，解得，或，.
故，的值分别为，，或，.
（2）当时，，
若在上恒成立，即的图象与轴至多有一个交点，
则，
即，解得，
故的取值范围是.
17. 对于居民生活用水，某市实行阶梯水价．具体来说，季度用水量在及以下的部分，收费标准为3元；季度用水量超过但不超过的部分，收费标准为4元；季度用水量超过的部分，收费标准为6元．
（1）求某户居民用水费用（单位：元）关于季度用水量（单位：）的函数关系式；
（2）为了了解居民用水情况，通过抽样获得了2024年第三季度本市1000户居民每户的季度用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这1000户居民中，季度用水费用超过200元的有400户，求直方图中的值以及季度用水量的第75百分位数．
解：（1）当时，；
当时，；
当时，；
所以与之间的函数关系式为.
（2）由（1）知，当时，，即季度用水量超过的占，
结合频率分布直方图知，解得．
设第分位数为，
因为季度用水量低于的所占比例为，低于的占，
所以第分位数在内，故，解得，
即季度用水量的第分位数为．
18. 已知函数.
（1）若，求的值；
（2）判断在上的单调性并利用定义法证明；
（3）求在上的最大值.
解：（1）因为，所以，即
因为，所以．
（2）在区间上单调递减，在区间上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，所以，
当时，，所以，即，
当时，，所以，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（3）当时，由（2）知在上单调递减，所以；
当时，由（2）知在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以若，则，
若，则．
综上，.
19. 现定义了一种新运算“”：对于任意实数，，都有（且）.
（1）当时，计算；
（2）证明：，，，都有；
（3）设，若在区间（）上的值域为，求实数的取值范围.
解：（1）当时，.
（2）证明：因为，
，
所以.
（3）由新运算可知，
.
令，则在上单调递减，
由于在上的值域为，所以，则，
所以在上单调递增，则，即，
整理得，，所以，
将代入，得，
同理得，.
所以，是函数在上的两个不同的零点，
则，解得，
所以，故实数的取值范围为.