四川省广元市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版）

这是一份四川省广元市2024-2025学年高一上学期期末数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，，
所以，则．
故选：D．
2. 命题“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】“”的否定是“”.
故选：B.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】推不出，所以“”是“”非充分条件，
推出，“”是“”必要条件.
故选：B．
4. 已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由函数在R上单调递增，
得2a>0a−1≤0，解得，所以a的取值范围是.
故选：C.
5. 我们可以把看作每天的“进步”率都是，一年后是，而把看作每天的“落后”率都是，一年后是若大约经过n天后“进步”的是“落后”的100倍，则（ ）（参考数据：）
A. 231B. 243C. 250D. 266
【答案】C
【解析】依题意，两边取常用对数得，
所以.
故选：C.
6. 已知角终边经过点，则（ ）
A. 8B. C. D.
【答案】A
【解析】角终边经过点，
故，，
所以.
故选：A.
7. 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（ ）
A. 16B. 25C. 36D. 49
【答案】B
【解析】因a，b，x，y>0，则，当且仅当时等号成立，
又，即，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以函数的最小值为25.
故选：B.
8. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】为奇函数，故，
又为偶函数，故，
中，令代替得，
结合得，即，
又，故，的一个周期为4，
所以，
又时，．
故.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得都分分，有选错的得0分.
9. 对于实数，下列命题是真命题的为（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABD
【解析】对于A：因为，所以，故A正确；
对于B：因为，当时，由可得，
当时，由可得，
综上可得若，则，故B正确；
对于C：当，，满足，但是，故C错误；
对于D：因为，，即，
，即，
，，，故D正确．
故选：ABD.
10. 以下命题正确的是（ ）
A. 已知幂函数在区间上单调递增，则
B. 若函数在区间内单调，则实数a取值范围是
C. 若的解集为，则
D. 若函数，则对，不等式恒成立
【答案】ACD
【解析】A选项，由于为幂函数，故，
解得或，
当时，在区间上单调递增，满足要求，
当时，在区间上单调递减，不合要求，故，A正确；
B选项，函数的对称轴为，
在区间内单调，故或，
则实数a的取值范围是或，B错误；
C选项，由题意得为方程的两个根，
故，解得，C正确；
D选项，
，当且仅当时，等号成立，
故，D正确.
故选：ACD.
11. 若函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】BCD
【解析】AB选项，分别令得，，
所以函数的零点等价于与图象交点的横坐标，
函数的零点等价于与图象交点的横坐标，
其中，，
作出函数，和在上的图象，如图所示，
因为函数与在上的图象关于对称，
在上单调递减，
所以，，，
所以，故A错误，B正确；
C选项，由图象可知，，故，C正确；
D选项，由C知，，且，，
所以，即，
故，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 ________．
【答案】18
【解析】.
13. 如图，在中， ，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=________.
【答案】
【解析】设扇形的半径为，则扇形的面积为，直角三角形中，，
，面积为，由题意得，
∴，∴.
14. 已知，若，使得，则实数m的最大值是________．
【答案】0
【解析】函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
于是，由，使得，
得，不等式成立，即，，
而函数上单调递减，当时，，因此，
所以实数m的最大值是0.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，或．
（1）当时，求和；
（2）若，且，求实数a的取值范围．
解：（1）时，，又或，
故或，
或或.
（2），故，
，
当时，，解得，与矛盾，舍去，
当时，，解得，
综上，实数a的取值范围为.
16. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
解：（1）的最小正周期，
令，，
解得，，
故的单调递减区间为，.
（2）时，，
故当，即时，取得最小值，
最小值为，
当，即时，取得最大值，
最大值为，
所以在区间上的最小值为，此时；
最大值为1，此时.
17. “金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元．
（1）写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上；
（2）该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（）
解：（1）依题意，，
由，得，
即，解得，
所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上.
（2）平均盈利额，
当且仅当时等号成立，
所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元.
18. 函数为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性并证明；
（3）解关于x的不等式：
解：（1）函数的定义域为R，由为奇函数，得，
即，则，
所以a的值为1.
（2）由（1）知，，函数在R上单调递增，
，，
由，得，则，
因此，即，所以函数在R上单调递增.
（3）由（1）知，，不等式，
则，
当时，解得；
当时，不等式化为，解得；
当时，不等式化为，
若，解得或；
若，解得；
若，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
19. 设函数的定义域为D，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称I为的一个“T区间”．
性质1：对任意，有；
性质2：对任意，有．
（1）分别判断区间是否为下列两函数的“T区间”；
①；
②；
（2）若是函数的“T区间”，求m的取值范围；
（3）已知定义在R上且图象连续不断的函数满足：对，，有．求证：存在“T区间”，且使得不属于的所有“T区间”．
解：（1）时，，满足性质1，
故为的一个“T区间”；
由对勾函数性质得在上单调递增，
且时，，当时，，
故的值域为，
由于与的交集为，不满足性质1，也不满足性质2，
故不是的一个“T区间”.
（2）若，在上单调递增，
又，故，
由题意得，即，解得或，
与取交集，得到，
若，在上单调递减，
在上单调递增，故，
其中，
若，即，与取交集得，
此时，故，满足要求，
若，即或，与取交集得，
此时，故，
由于，，显然不能满足性质1和性质2，
所以不合要求，舍去，
综上，.
（3）对于任意的区间，，记，
由题意，，故在上单调递减，
故，
因，所以，fa−fb>b−a，
即的长度大于的长度，不满足性质1，
因此，如果为的“T区间”，需满足性质2，即，
即只需存在使得，或存在使得，
因为显然不恒成立，所以存在常数，使得，
若，取，区间，满足性质2，
若fc>c，取，区间满足性质2，
综上，一定存在“T区间”，
记，则的图象在R上连续不断，下证有零点，
因为在R上为减函数，所以在R上为减函数，记，
若，则为的零点，
若，则，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
若，则ft>f0=t，即，，
由零点存在性定理，可知存在，使得，
综上，有零点，
因为的所有“T区间”都满足性质2，故，
故使得不属于的所有“T区间”．