湖南省岳阳县第一中学2024-2025学年高三下学期入学考试数学试题

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三、填空题：12. 13. 14.
15.(1)如图，取 的中点 ，连接 、 ，因为 、 分别为
、 的中点，则 且 ，因为 且
， 为 的中点，则 且 ，所以，
且 ，则四边形 为平行四边形，所以， ，因为
平面 ， 平面 ，所以， 平面 .
(2)因为 平面 ， 平面 ，则 ，因为 ，
， 、 平面 ，所以， 平面 ，因为 平
面 ，所以， ，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、
、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 、 、 、
，则 ， ， ， ，设平
面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得
，设平面 的法向量为 ，则 ，取
，可得 ，所以， ，由图可知，二面角
的平面角为锐角，故大小为 .
16.(1)若选择条件①③,由 ,得 ，即 ， ，则
，又函数 的一个零点为 ，则 ，
则 不能确定，所以函数 不唯一，所以不能选择条件①③.选择条件①②,由 ,
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得 ，即 ， ，则 ，因为函数 图象的两条
相邻对称轴间的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，因为 ，则
，所以 .选择条件②③,因为函数 图象的两条相邻对称轴间
的距离为 ，所以函数的最小正周期 ，因为 ，则 ，因为函数
的一个零点为 ，即 ，所以 ，则
，又 ，则 ，所以 .
(2)因为函数 的单调递减区间为 ，所以
，则 ，所以
是 的一个单调递减区间，若函数 在区间 上单调递减，
则 所以实数 的最大值为 .
18. (1)由题可知 ，所以 ，解得 ，所以 的方程为 ；
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(2)设 ，由题可知 ，依题意知直线 的斜率必存
在 ， 设 直 线 的 方 程 为 .由 整 理 得 ， 则
， ， ， ，因
为 ， 所 以 ， 所 以 ，
，解得 ，所以直线 的方程为 ；
(3)设 ，因为 在 轴的两侧，所以直线 的斜率一定存在，不
妨设 ，直线 的方程为 ，
由 整理得 ，则 ，
，由 得 .设切线 的斜率分别为 ，又
，所以 ，则 ， ，所以 的方程为
，即 ，同理可得 的方程为 .
由 解得 即 .令 ，可得 ，
，
.点 到直线 的距离为
，故 的面积为 ，
（当 时，等号成立）令 ，记 ，则
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，令 ，则 ，所以 在 上单调递增；令
，则 ，在 上单调递减，所以 ，故
面积的最小值为 .
19(1)因为 ，所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以
，
所以 ，当 时， ，所以数列 的“ 数列”
所有项组成的集合为 ；
(2)①若 ，则 有 1 个，②若 且 ，则 有 种可
能， 有 3 个，③若 且 ，则 两者相同有 种，两者
不同，则 共有 种，所以共有 种可能， 有 6 个.④若 均不为 1
，则 三者全相同，共有 种， 三者有 2 个相同，因为顺序确
定，共有 种， 三者全不相同，因为顺序确定，有 种，共有
种可能， 有 10 个综上符合条件的 共有 ，综上得符合条件的有
20 个；
(3)由题意得 ，所以 ，
所以， ，所以
，能被 4 整除， ，为奇数，不能被 2
整除， ，能被 2 整除，
不能被 4 整除， ，不能被 2 整除，
所以 中能被 2 整除，但不能被 4 整除的有 个，
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，
.
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