浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题

这是一份浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高三下学期返校联考数学试题，文件包含七彩阳光高三数学试题docx、高三数学参考答案及解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则
A． B． C． D．
2．直线 与圆 的位置关系是
A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能
3．已知函数 满足： ，且 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
4．某个简谐运动可以用函数 来表
示，部分图象如图所示，则
A．
B．
C．直线 是曲线 的一条对称轴
D．点 是曲线 的一个对称中心
5．已知 是关于 的方程 的两根，不正确的是
A．若 ，则 是一对共轭复数 B．若 ，则
C．对 D．对
6．已知 是长方体 表面上任意三点，且 ，
则 的最小值为
A． 14 B． C． 10 D． 5
7．已知 为椭圆 上一点（非顶点）， 为椭圆的左右顶点，令
， （其中 均不为 ）． 的面积为 ，则下
列表达式不可能为定值的是
A． B． C． D．
8．已知数列 满足 ．记数列 的前 项和为 ，则
A． B． C． D．
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
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目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．根据气象学上的标准，从冬季进入春季的标志为连续 5 天的日平均温度均超过 ．现将
连续 5 天的日平均气温的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，则下列样本中一定
符合入春指标的有
A．平均数为 13，极差为 3 B．中位数为 13，众数为 11
C．众数为 15，极差为 6 D．平均数为 16，方差为 6
10．随机事件 满足 ，则下列说法正确的是
A． B．
C． D．
11．已知抛物线 ，直线 过 的焦点 且与 交于 两点．以 为直径的圆与
轴交于 ，与 轴交于 两点，则有
A． 为定值 B． 不是定值
C． 有最小值 D． 有最大值
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12．随机变量 服从正态分布 ，则
_____， 的最小值为_____．
13．已知 ，则 的大小关系为： _____ （填 ， ， ）．
14． 已 知 ， 若 函 数 有 零 点 ， 则
的取值范围是_____．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15． （ 13 分 ） 在 中 ， 角 所 对 的 边 分 别 为 ， 且
．
（1）求角 的大小；
（2）设 是边 上一点，满足 ，且 平分 ，若 ，求 的面积．
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16． （ 15 分 ） 如 图 ， 四 边 形 是 正 方 形 ， 四 边 形 是 直 角 梯 形 且
的中点分别为 ．
（1）证明：平面 平面 ，并求直线 与平面
所成角的正弦值；
（2）设截面 与平面 的交线为 ，确定 的位置并说明理
由．
17．（15 分）已知函数 ．
（1）若 恒成立，求 的取值范围；
（2）判断 的单调性，并说明理由；
（3）证明： ．
（证明时可使用下列结论：当 时， 成立）．
18． （ 17 分 ） 已 知 圆 为 坐 标 原 点 ， 过 上 任 意 一 点
作圆 的切线 ．
（1）若 与椭圆 相交于 两点，证明： ；
（2）若 与椭圆 相交于 ， 两点，恒有 ，判断 是否过定点？请
说明理由．
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19．（17 分）材料 1：埃及分数是指分子为 1 的分数，也叫单位分数．古埃及人进行运算时，
擅长使用分子为 1 的分数进行运算，如 ．埃及分数是埃及文明
中具有独特魅力的一部分．
材 料 2： 数 列 的 发 散 性 ： 随 着 的 不 断 增 大 ， 虽 然 无 限 接 近 于 0， 但
却会无限增大（发散），即任意给一个正数 ，一定存在一个正整
数 ，当 时， ．材料 3：对于任意正整数 ，都存在唯一的整数 ，使
得 ，其中 为奇数， 为自然数．定义： ．
结合上述材料解决下列问题．
（1）将 表示成不同的埃及分数的和（写出一种表示形式即可）；
（2）试判断是否存在正整数 ，使得 ，并证明你的结论；
（3）求证： ．
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