河南省安阳市文源高级中学2024-2025学年高二下学期开学调研质量检测考试数学试卷

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2024—2025学年高二年级春季开学调研质量检测考试
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1．抛物线的准线方程为（ ）
A．B．C．D．
2．若直线与直线互相垂直，则（ ）
A．B．C．12D．
3．动圆过定点，且与圆相内切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
4．在数列中，如果存在非零的常数，使得对于任意正整数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．已知数列满足，若，（且），当数列的周期为3时，则数列的前2024项的和为（ ）
A．676B．675C．1350D．1349
5．四棱锥底面为平行四边形，分别为棱上的点，，，设，，，则向量用基底表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知直线的一个方向向量，直线的一个方向向量，若，且，则（ ）
A．或1B．3或C．D．1
7．小华同学在做光学实验时，发现了一个有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处．根据椭圆的光学性质解决一问题：已知椭圆的方程为，其左、右焦点分别是，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（ ）
A．B．C．D．
8．若满足的有序实数对有3对，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．直线与圆相切，且在轴、轴上的截距相等，则直线的方程可能是（ ）
A．B．C．D．
10．已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线是椭圆
B．当或时，曲线是双曲线
C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则
D．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则
11．设是公差为的等差数列，是其前项的和，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点．若点在直线上，则下列结论错误的是（ ）
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在空间直角坐标系中，，，，若四边形为平行四边形，则______．
14．已知分别为直线与上任意一点，则的最小值为______．
15．某高校一航模小组进行飞机模型飞行高度实验，飞机模型在第一分钟内上升了10米高度．若通过动力控制系统，可使飞机模型在以后的每一分钟内上升的高度都是它在前一分钟上升高度的；在此动力控制系统下，该飞机模型在第三分钟内上升的高度是______米．
16．在平面直角坐标系中，已知椭圆（）与不过坐标原点的直线相交于、两点，线段的中点为，若、的斜率之积为，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知公比大于1的等比数列满足，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）求．
18．（12分）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与双曲线交于，两点，且线段的中点为，求直线的方程．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的重心．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度．
20．（12分）已知数列是等差数列，，记为数列的前项和，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求．
21．（12分）如图，设是圆上的动点，点是在轴上投影，为上一点，且．
（Ⅰ）当在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）求过点且斜率为的直线被所截线段的长度．
22．（12分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，分别为侧棱的中点，点在上且．
（Ⅰ）求证：四点共面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
2024—2025学年高二年级春季开学调研质量检测考试
数学（文源专版）•答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案 D
命题意图 本题考查根据抛物线方程求焦点或准线。
解析 抛物线的标准形式为，则，解得，即抛物线的准线为．
2．答案 B
命题意图 本题考查已知直线垂直求参数．
解析 由题意得，当时，直线，与直线不垂直，故，直线的斜率为，直线的斜率为，所以，解得．
3．答案 A
命题意图 本题考查根据圆的位置关系确定参数或范围求双曲线的轨迹方程．
解析 圆的圆心为，为2，且，设动圆的半径为，则，，即，即点在以为焦点，焦距长为，实轴长为，虚轴长为的双曲线上，且点在靠近于点这一支上，故动圆圆心的轨迹方程是．
4．答案 C
命题意图 本题考查根据数列新定义求解数列周期性的应用．
解析 因为，（且），满足，所以，因为数列的周期为3，可得，所以，所以，，，所以，同理可得，，，所以，……，所以．
5．答案 A
命题意图 本题考查空间向量的加减运算．
解析 因为分别为棱上的点，，，则，故．
6．答案 A
命题意图 本题考查空间向量求值．．
解析 因为，所以，又，所以，所以，所以，所以当时，，则，当时，，则，所以或1．
7．答案 C
命题意图 本题考查椭圆定义及辨析、椭圆与反光镜的设计问题．
解析 由椭圆定义可得，由光学性质可知，为的角平分线，所以．
8．答案 A
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系求参数．
解析 设，则，，而表示点到直线的距离，点又在圆上，所以问题转化为圆上有3个点到直线的距离为，如图，
而圆心到直线的距离为，故，解得，则．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
9．答案 ACD
命题意图 本题考查直线与圆的位置关系求直线方程．
解析 圆的圆心坐标为，半径，依题意直线的斜率存在，若直线过坐标原点，设直线为，即，则，解得，所以直线的方程为或；
若直线不过坐标原点，设直线为，即，则，解得（舍去）或，所以直线的方程为，综上可得直线的方程为或或．
10．答案 BCD
命题意图 本题考查根据方程判断曲线类型与参数范围．
解析 A选项，曲线是椭圆等价于，解得且，故A错误；
B选项，曲线是双曲线等价于，解得或，故B正确；
C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确；
D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故D正确．
11．答案 AB
命题意图 本题考查根据方程判断曲线类型与参数范围．
解析 根据题意可得，由等差数列性质可知．可转化为等式：，因为，所以，所以，，所以数列是递增数列，的前项和有最小值为，所以，所以A，B正确，C，D不正确；
12．答案 ABC
命题意图 本题考查空间位置关系的向量证明。
解析 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，，所以，，，．设平面的一个法向量为，则，取，则，，所以平面的一个法向量为，假设平面，且，则，因为也是平面的法向量，所以与共线，所以成立，但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案 5
命题意图 本题考查由空间向量共线求参数或值．
解析 由题意得，，，四边形为平行四边形，，，，．
14．答案 2.5
命题意图 本题考查平行线间的距离．
解析 由题意得，可化为．两直线平行，的最小值即为两平行线间距离，为．（答2.5也对）
15．答案 6.4
命题意图 本题考查利用等比数列的通项公式求数列中的项．
解析 由题意，飞机模型每分钟上升的高度构成，公比的等比数列，则米．即飞机模型在第三分钟内上升的高度是米．（答6.4也对）
16．答案 0.5
命题意图 本题考查中点弦坐标与方程，椭圆离心率求值．
解析 设，，，联立直线与椭圆方程，消去可得，则所以，由题意可得，又，所以椭圆的离心率为。（答0.5也对）
四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．命题意图 本题考查等比数列与递推关系．
解析 （Ⅰ）设等比数列的公比为，则，解得．．
（Ⅱ）令，则，
又，数列是首项为，公比为的等比数列，
．
18．命题意图 本题考查双曲线标准方程与弦中点所在方程．
解析 （Ⅰ）双曲线的右焦点为，虚轴长为，，解得，
双曲线的方程为；
（Ⅱ）线段的中点为，，，
点都在双曲线上，，即，
．直线的方程为，即．
联立，消去得，该方程有解，故直线的方程为．
19．命题意图 本题考查立体几何的线面垂直、面面垂直证明与线面角求其他值．
解析 （Ⅰ）在四棱锥中，平面，平面，则，
而，，平面，于是平面，
又平面，所以平面平面．
（Ⅱ）取中点为，连接，，，，，则，，
即四边形为矩形，则，
又平面，平面，显然两两垂直，以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，由点是的重心，得，则，，
又，，设平面的一个法向量，则，取，得，设与平面所成角为，，，
化简得，解得或，即或，
所以的长度为或．
20．命题意图 本题考查等差数列求通项公式与分组求和．
解析 （Ⅰ）设数列的首项为，公差为，则．
，由，故．
因为，所以，解得，，故．
（Ⅱ）当，时，，，．
当，时，，，
所以
由已知，故不能同时为奇数或偶数，所以为奇数与偶数．
当为奇数，为偶数时，则，所以，，；
当为偶数，为奇数时，则，所以，，．
因为，所以，．
（若考生无最后一句话扣1分）
21．命题意图 本题考查平面轨迹方程与椭圆中的弦长．
解析 （Ⅰ）设，则，，因为，所以，即，
故，所以，
因为是圆上的点，所以，即；
（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为，
与联立得：，易得，
设直线与的两交点坐标分别为，，则，，
故被所截线段的长度为．
22．命题意图 本题考查空间中的点（线）共面、判定空间向量共线、面角的向量求法、点到平面距离的向量求法．
解析 （Ⅰ）因为平面是菱形，所以，又因为底面，面，所以，，所以两两垂直，
以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立下图空间直角坐标系：
因为，，，则，，，，，
因为分别为侧棱的中点，所以，，
设，，，因为，所以，解得，，，即．所以，，．
所以，由向量共面的充要条件可知，共面．又过同一点，从而四点共面．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，，，又因为，所以，．
设平面的法向量，由，得到，取，可得，，所以，
设直线与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，平面的法向量，设到平面的距离为，则．