内蒙古自治区赤峰市敖汉旗箭桥中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份内蒙古自治区赤峰市敖汉旗箭桥中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（解析版），共18页。试卷主要包含了 考生必须保持答题卡的整洁，4B， 曲线与曲线的， 点到直线距离的最大值为等内容，欢迎下载使用。
分值：150分 时间：120分钟
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目里面的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.
4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出渐近线方程.
【详解】双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出直线的斜率，再由解出倾斜角即可.
【详解】因为该直线的斜率为，
所以它的倾斜角为.
故选：A.
3 已知事件与事件互斥，且，则（ ）
A. 0.4B. 0.6C. 0.8D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】利用互斥事件概率的加法公式计算可得.
【详解】因为事件与事件互斥，所以.
故选：C
4. 已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模型的人数（估计值）分别为（ ）
A. 200，24B. 200，28C. 100，24D. 100，28
【答案】D
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．
【详解】样本量为，
抽取的初中生人数为，
所以抽取的初中生里购买航展模型的人数约为.
故选：D
5. 曲线与曲线的（ ）
A. 长轴长一定相等B. 短轴长一定相等
C. 离心率一定相等D. 焦距一定相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据椭圆的方程，得到a,b,c，即可判断.
【详解】对于曲线：，
对于曲线：，
所以它们的长轴不一定相等，短轴不一定相等，离心率不一定相等，焦距一定相等.
故选：D
6. 如图，在平行六面体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，利用空间向量的夹角公式可求异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设，
，
.
，.
，
异面直线与所成角的余弦值.
故选：D.
7. 点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，
即.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
8. 一条光线从点射出，经反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A. 或B. 或C. 或D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】先求得点关于直线的对称点，再设切线方程，由圆心到切线的距离等于半径求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
由题意知切线的斜率存在，设直线方程为：，即，
由，可得，半径，
则圆心到切线的距离等于半径，即，
整理得：，解得或.
故选：B.
二、选择题:(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9. 北京时间2024年7月27日，我国射击健将黄雨婷、盛李豪在奥运会上战胜韩国选手，摘夺了射击混合团体10米气步枪金牌，通过赛后数据记录得到其中一名选手的得分分别为7，12，13，18，18，20，32，则（ ）
A. 该组数据的极差为26
B. 该组数据的众数为18
C. 该组数据的75%分位数为19
D. 若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据的方差变小
【答案】BD
【解析】
【分析】由统计数据分析的相关概念即可得到结论.
【详解】该组数据的极差，故A选项错误；
该组数据的众数为出现频数最多的：18，故B选项正确；
该组数据的分位数：,取第6个，则为20，故C选项错误；
若该组数据去掉一个最高分和最低分，则这组数据波动变小，所以方差变小，故D选项正确；
故选：BD.
10. 已知圆，则下列结论正确的是（ ）
A. 的取值范围为
B. 圆关于直线对称
C. 若直线被圆截得的弦长为，则
D. 若，过点作圆的一条切线，切点为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据圆的方程可判断A，由圆心在直线上可判断B，根据弦长及圆心距判断C，利用切线的性质求切线长判断D.
【详解】圆可化为，所以，解得，故A错误；
因为圆C的圆心为在直线上，所以圆关于直线对称，故B正确；
因为圆心到直线的距离为，又弦长为，
所以，可得圆C的半径为1，即，得，故C正确；
当时，圆C的半径为，，所以切线长为，故D正确.
故选：BCD
11. 在平面直角坐标系中，、是圆与轴的交点，点为该平面内异于、的动点，且直线与直线的斜率之积为，设动点的轨迹为曲线，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则曲线的离心率为
B. 若，则曲线方程为
C. 若，则曲线有渐近线，其渐近线方程为
D. 若，，过原点的直线与曲线交于、两点，则面积最大值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据斜率的乘积、双曲线、椭圆、三角形的面积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由题A−2,0、，设Px,y，有，，且.
对于A选项，，即，则，，
所以离心率为，A正确；
对于B选项，，即，B错误；
对于C选项，，即，则，，
所以，曲线有渐近线，其渐近线方程为，C正确；
对于D选项，，即，
由题意可知，直线不与轴重合，
设直线的方程为，有，
则，，
所以，
而点到直线的距离为，所以，
所以当时，面积取最大值，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题: (本题共3小题，每小题5分，共15分)
12. 以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的标准方程为 ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线焦点求出，即可得解.
【详解】因为抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，所以抛物线开口向左，
设抛物线的标准方程为，所以，解得.
所以抛物线方程为.
故答案为：
13. 已知随机事件中，与相互独立，且，，则__________.
【答案】0.94
【解析】
【分析】根据和事件的概率公式以及相互独立事件的概率乘法公式可得答案.
【详解】因为与相互独立，
所以，
所以，
故答案为：0.94.
14. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点．若是的中点，则双曲线的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】设点为双曲线的右焦点，连接，由中位线的性质可得出，可求得，利用双曲线的定义求出，再结合勾股定理化简可得出该双曲线离心率的值.
【详解】设点为双曲线的右焦点，连接，
因为为中点，为中点，所以，，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，即，.
故答案为：.
四、解答题:(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15. 在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线相交于点，.
（1）若直线的斜率为，求；
（2）求证：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）直线的方程为，联立，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到；
（2）当直线的斜率为0时，不合要求，设直线的方程为，与联立得，得到两根之和，两根之积，计算出，得到，得到垂直关系.
【小问1详解】
直线的方程为，
联立得，显然，
设，则，
则；
【小问2详解】
当直线的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，
设直线的方程为，
与联立得，显然，
设，则，
则，
故，所以，即.
16. 如图，在四棱锥，平面， 底面是直角梯形， 其中， ， ，，为棱上的点，且 .
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意建系，写出相关点坐标，计算向量坐标和平面的法向量的坐标，由即可证得；
（2）分别求两平面的法向量坐标，由空间向量的夹角公式计算即得.
【小问1详解】
因平面，且，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立空间直角坐标系.
则、、、、.
于是，，,
设平面的法向量为，
则，令，可得，
又，显然，，故得平面.
【小问2详解】
设平面法向量为，且，，
则，令，可得.
所以，，
因此，平面与平面所成夹角的余弦值为.
17. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
【答案】（1）4 （2）；中位数为
（3）
【解析】
【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案；
（2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解；
（3）根据独立事件的乘法公式即可求解.
【小问1详解】
从图中可知组距为，则的频率分别为，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）.
【小问2详解】
由图可知，解得..
因为且，
所以中位数在内，
设估计的中位数为，则，得.
【小问3详解】
记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，
则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.
18. 已知椭圆C：的离心率为，长轴长为4.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点且倾斜角为的直线交椭圆于、两点，求弦长，为坐标原点，求的面积；
（3）直线（为左顶点）与椭圆C交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
【答案】（1）
（2），
（3）.
【解析】
【分析】（1）依题意可得、的值，从而求出，即可得解；
（2）首先求出直线的方程，设Mx1,y1，Nx2,y2，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式求出，再求出点到直线的距离，最后由面积公式计算可得；
（3）设直线的方程为，即可表示出点，再联立直线与椭圆方程，消元，求出点坐标，根据求出的值，即可得解.
【小问1详解】
由题意可得，所以，则，
所以椭圆方程为;
【小问2详解】
由（1）可得右焦点为F1,0，
∴直线的方程为，设Mx1,y1，Nx2,y2，
联立，消得，
显然，所以，
∴，
∴，
又点O0,0到直线的距离，
∴；
【小问3详解】
由题意可得直线的斜率存在且不为0，故设直线的方程为，
则，
由，
所以，所以，则，
故，F1,0，
所以，，
因为，所以
所以，解得，
故直线的方程为.
19. 在平行四边形中（如图1），为的中点，将等边沿折起，连接，且（如图2）.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）点在线段上，若点到平面的距离为，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理以及勾股定理可得，，即可根据线面垂直的判断求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据向量的夹角公式求解，
（3）根据点到平面的向量法求解是线段上靠近点的三等分点，即可求解法向量，利用法向量的夹角求解.
【小问1详解】
连接，
在中，，
，
在中，，
同理可得：，
平面
【小问2详解】
设为的中点，，
平面平面，
平面平面，
又平面平面平面，
平面以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且平行于的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设平面的法向量为，
，，
取，
设直线与平面所成角为，
【小问3详解】
设，
，，
设点到平面的距离为，
，
，
是线段上靠近点的三等分点，易求平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，
.
取，
设平面与平面所成的角为，
.