内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数据采集数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区呼和浩特市回民区2024-2025学年高二上学期期末学业质量监测数据采集数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 过点和点的直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点先求出直线斜率，然后根据斜率与倾斜角关系求得倾斜角.
【详解】由已知直线AB的斜率，
设直线倾斜角为，则，
所以.
故选：B.
2. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种
【答案】C
【解析】
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
3. 在四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，若，则的值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据空间向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】因为四面体中，点为线段靠近的四等分点，为的中点，
所以
因为，所以，故．
故选：A
4. 已知某同学在高二期末考试中，A和B两道选择题同时答对的概率为23，在A题答对的情况下，B题也答对的概率为，则A题答对的概率为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式计算即可.
【详解】设事件A：答对A题，事件B：答对B题，
则，
.
.
故选：B.
【点睛】本题考查了条件概率的计算，属于基础题.
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
B. 回归直线方程为时，变量x和y负相关
C. 在回归直线方程中，当x每增加1个单位时，相应观测值y增加0.5个单位
D. 由样本数据得到的回归直线至少经过点中的一个
【答案】B
【解析】
【分析】根据回归方程概念性质及相关系数性质判断各个选项.
【详解】对于A，若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，因为斜率小于0，所以变量x和y负相关，故B正确；
对于C，在回归直线方程中，当x每增加1个单位时，相应观测值y约增加0.5个单位，故C错误；
对于D，由样本数据得到的回归直线，必过点，不一定经过中的点，故D错误．
故选:B．
6. 在直三棱柱中，，，为的中点，则与所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，由求解.
【详解】解：以为原点，以，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
，则，，，，
所以，，
所以，
故与所成角的余弦值为．
故选：C
7. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若，记，则．
A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人
【答案】B
【解析】
【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩，再根据所给条件求出，即可求出，即可估计人数．
【详解】由题得，
，
，
，
该校及格人数为（人），
故选：B．
8. 设双曲线的左、右焦点分别为，，过坐标原点的直线与交于，两点，，，则的离心率为（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由双曲线的对称性可得、且四边形为平行四边形，由题意可得出，结合余弦定理表示出与，有关齐次式即可得离心率．
【详解】由双曲线的对称性可知，，则四边形为平行四边形，
令，则，
由双曲线定义可知，故有，即，
即，，
，
则，
因为，所以，故，
则有，
即，即，则，由，故．
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的离心率，解题关键是找到关于，，之间的等量关系，本题中结合题意与双曲线的定义得出，与的具体关系及的大小，借助余弦定理表示出与，有关齐次式，即可得解．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9. 已知甲、乙、丙、丁、戊5个人排成一列，则下列说法正确的是（ ）
A. 若其中甲不能排在最后，有96种不同的排队方法
B. 若其中甲乙既不能排在最前，也不能排在最后，有72种不同的排队方法
C. 若其中甲乙必须相邻，有48种不同的排队方法
D. 若其中甲乙不能相邻，有36种不同的排队方法
【答案】AC
【解析】
【分析】对于AB，先安排特殊的人甲或甲、乙、，再安排其它人即可；对于C，采用捆绑法，将甲和乙捆绑在一起，再和剩余3人放在一起排队，即可求得结果；对于D，采用插空法，先安排丙、丁、戊3个人，在形成的4个空中，再排甲乙，即可求得结果.
【详解】对于A：甲不能排在最后，则甲有种排法，剩下乙、丙、丁、戊4个人全排有种排法，
所以排队方法有种，故A正确；
对于B：甲乙2人不能排在最前，也不能排在最后，先安排甲乙，则共有种排法，再安排剩下的丙、丁、戊3人，共有种排法；
则所有的排队方法有种，故B错误；
对于C：甲乙两人相邻，将甲和乙捆绑在一起，和剩余3人放在一起排队，
则共有种排队方法，故C正确；
对于D：甲乙两人不能相邻，则先安排其余丙、丁、戊3个人，有种排法，在形成的4个空中，再排甲乙，有种排队方法，
故共有种排队方法，故D错误.
故选：AC.
10. 已知抛物线：的焦点为，准线为，直线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，则（ ）
A. 若，则B.
C. D. 面积的最小值为16
【答案】ACD
【解析】
【分析】确定焦点和准线，设直线为，联立得到根与系数的关系，结合抛物线的定义逐项计算判断.
【详解】抛物线的焦点为，准线，，
直线不垂直于轴，设方程为，由，得，
则，，
对于A，，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，，
当且仅当时取等号，D正确．
故选：ACD
11. 一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（ ）
A. 最多需要检测4次可确定患病者
B. 第2次检测后就可确定患病者的概率为
C. 第3次检测后就可确定患病者概率为
D. 检测次数的期望为3
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，分患病者在混检的4人中和患病者不在混检的4人中两种情况分析判断即可，对于B，分患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他两种情况求解，对于C，分患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他两种情况求解即可，对于D，设检测次数为随机变量，则可能取2，3，4，求出相应的概率，从而可求出期望.
【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者，
若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者，
若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确；
对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况：
（1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他；
（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他，
所以其概率，所以B正确；
对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况：
（1）患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他；
（2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他，
其概率为，所以C错误；
对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为
所以，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取2个偶数和2个奇数，组成一个无重复数字的四位数，则不同的四位数的个数是______.
【答案】180
【解析】
【分析】根据特殊元素优先法，按照0是否被取到，先分类再分步即可解决.
【详解】根据题意，可将四位数分成两类：
第一类，数字0被取到，则可从2，4中任选一个，再从1，3，5中任选两个，
接着从除0外的另外三个数中取一个排在首位，剩下的在三个数位上全排，
此时共有个四位数；
第二类，数字0没被取到，故2，4全被取到，只需从1，3，5中任选两个，
再与2，4共4个数字在四个数位上全排，此时共有个四位数.
根据分类加法计数原理，不同的四位数的个数是.
故答案为：180.
13. 已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积.
【详解】由，即，则，半径，
所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，

由题意，且，而，
所以，要使四边形的面积最小，只需最小，
又，即只需最小，显然，
所以，故最小
故答案为：.
14. 英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是______.

【答案】
【解析】
【分析】向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，由二项分布的性质计算概率即可.
【详解】因为向左下落的概率为向右下落的概率的2倍，所以向左下落的概率为，向右下落的概率为，
则下落的过程中向左一次，向右三次才能最终落到4号位置，
此时概率为：.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，15题13分，16和17题各15分，18和19题各17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15. 已知，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）
（2）0 （3）
【解析】
【分析】（1）利用二项式展开式的通项公式(且)求解；
（2）分别令，令求解；
（3）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解.
【小问1详解】
二项式展开式的通项为：(且)，
所以，所以．
【小问2详解】
令，得，
令，得，
所以．
【小问3详解】
因为展开式的通项为(且)，
所以当为奇数时，项的系数为负数．
所以，
令，得，
．
16. 某省采用“3+1+2”新高考模式，其中“3”为语文、数学和外语3门全国统考科目；“1”为考生在物理和历史中选择1门；“2”为考生在思想政治、地理、化学和生物4门中再选择2门．为了研究高一年级学生的选科类别是否与选生物有关联，在某中学高一年级的所有学生中随机抽取200人进行调查，整理得到如下列联表：
（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为选科类别与选择生物有关联?
（2）现从选物理类的样本中，按分层随机抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人中再随机抽取3人参加生物竞赛，求这3人中，选择生物的人数的分布列和数学期望．
附：．
【答案】（1）推断选科类别与选生物有关联
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）计算出卡方，即可判断；
（2）依题意的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到分布列与数学期望.
【小问1详解】
零假设为：选科类别与选生物无关联，
计算
所以依据小概率值的独立性检验，推断选科类别与选生物有关联，
此推断犯错误的概率不超过；
【小问2详解】
依题意选择生物的人抽取人，不选择生物的人抽取人，
则的可能取值为0，1，2，3，
则，，
，，
所以的分布列为：
所以数学期望.
17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立．
（1）求甲以获胜的概率；
（2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望；
（3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）甲应该采用“五局三胜制”．
【解析】
【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解；
（2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出；
（3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论.
【小问1详解】
若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为，
所以．
【小问2详解】
易知取值为3，4，5．
，
，
，
故的概率分布列为：
所以的数学期望为：．
【小问3详解】
采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率：
；
采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率：
因为，所以甲应该采用“五局三胜制”．
18. 如图，在四棱锥中，平面，且为CD的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）若点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用两个向量的夹角公式求解即可；
（3）不妨设则设出的坐标，利用向量求线面所成的角的正弦值得出的坐标，然后求解点到平面的距离即可.
【小问1详解】
证明：因为，
所以四边形是平行四边形，
因为，所以平行四边形是矩形，则.
因为平面平面，所以，
又因为平面，且，所以平面.
【小问2详解】
由（1）可知，即两两垂直，
故以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，而
所以，令，则.
设平面的一个法向量为，而，
所以，令，则，
记平面与平面夹角为，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
依题意，不妨设则
又由（2）得平面的一个法向量为，
记直线CM与平面所成角为，
所以，
解得（负值舍去），
所以，则，
而由（2）得平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离为.
19. 已知动圆M经过定点，且与圆内切.
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）设轨迹C与x轴从左到右的交点为点A，B，点P为轨迹C上异于A，B的动点，设直线PB交直线于点T，连接AT交轨迹C于点Q；直线AP，AQ的斜率分别为，.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线，证明：直线PQ过定点.
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，结合椭圆的定义求出轨迹C的方程.
（2）（i）设出点的坐标，利用斜率坐标公式计算即得；（ii）联立直线与轨迹C的方程，利用韦达定理结合（i）的结论计算即得.
【小问1详解】
设动圆的半径为r，圆的圆心，半径，
显然点在圆内，则，
于是，
因此动点M的轨迹C是以，为焦点，长轴长为4的椭圆，
长半轴长，半焦距，则短半轴长，
所以轨迹C的方程为.
【小问2详解】
（i）设，，，由（1）知，，
显然，，而，则，
，又，即，
所以，为定值.
（ii）由消去x得，
，
由（i）得，又，
则
，解得，满足，
因此直线PQ的方程为，
所以直线PQ过定点.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
①“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
②“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
③求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
2
3
4
选科类别
是否选择生物
合计
选择生物
不选择生物
物理类
100
60
160
历史类
15
25
40
合计
115
85
200
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
0
1
2
3
3
4
5