山东省枣庄市市中区2024-2025学年高二上学期期末阶段性质量监测数学试题（解析版）

这是一份山东省枣庄市市中区2024-2025学年高二上学期期末阶段性质量监测数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
考试范围：选择性必修一：考试时间：120分钟：
第1卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若，在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线的坐标表示可得出答案．
【详解】因为A，B在直线l上，所以，
与共线的向量可以是直线l的一个方向向量，其他选项经验证与均不共线.
故选：B
2. 过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出两直线交点坐标，求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由，解得，得直线与的交点为点．
因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率，
因此，所求直线的方程为，即．
故选：B.
3. 椭圆的焦点坐标为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，直接求出椭圆焦点坐标作答.
【详解】椭圆的长短半轴长分别为a，b，有，则椭圆半焦距，
显然 ，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标为.
故选：A
4. 在空间直角坐标系中，已知，则以下错误的是（ ）
A. B. 夹角的余弦值为
C. A，B，C，D共面D. 点O到直线AB的距离是
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间向量数量积的坐标运算以及夹角计算公式即可求解A,B,根据共面向量基本定理可判断C，根据点线距离的向量法即可判断D.
【详解】因为，所以，A正确；
夹角的余弦值为，所以B错误；
因为，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正确；
因为，所以，所以点O到直线AB的距离是，D正确．
故选:B．
5. 已知圆的方程为，为圆上任意一点，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将圆方程化为标准式，表示圆上的点与点的连线的斜率，求出过点与圆相切的切线的斜率，即可求出的取值范围.
【详解】圆的方程为，即，圆心为，半径，
则表示圆上的点与点的连线的斜率，
过点作圆的切线方程，
显然，切线斜率存在，设切线方程为，即．
则k+2−kk2+1=1，解得，
所以的取值范围为．
故选：C．
6. 已知 ，向量，，，且，，则的值为（ ）
A. －1B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量垂直、共线的坐标表示求出可得答案.
【详解】因为向量，，，
由，则，解得，
由，则，解得，
则.
故选：A.
7. 圆关于直线对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设对称圆的圆心，解方程组即得圆心，然后代入圆的标准方程得解.
【详解】圆的圆心为O0,0，设对称圆的圆心为，
依题意得，解得，
又圆的半径与对称圆的半径相等都为2，
所以对称圆的方程为.
故选：B.
8. 已知双曲线的一个顶点为，左、右焦点分别为，，直线经过，且与交于，两点.若，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，则，利用双曲线的定义表示，，由勾股定理可得关系进而可得离心率．
【详解】由题意知，，且A，B都在双曲线的右支上．
设，则，，．
在中，，得，
则，.
在中，，
即，得．
所以双曲线C的离心率为.
故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆的焦点坐标是
B. 双曲线的顶点坐标是
C. 抛物线的准线方程是
D. 直线与圆相交
【答案】AC
【解析】
【分析】由圆锥曲线的焦点坐标、顶点坐标以及准线的定义即可判断ABC，由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可判断D.
【详解】在椭圆中，因为，，则，且焦点在轴上，A正确．
双曲线的顶点在轴上，B错误．
抛物线开口向左，，准线为，C正确．
圆心到直线的距离，则直线与圆相切，D错误．
故选：AC.
10. 已知直线，下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 点到直线的最大距离为
C. 直线一定经过第四象限
D. 当时，直线关于直线的对称直线为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求出直线恒过的定点可判断A；当时，点到直线的距离最大，求出最大距离可判断B；直线不一定经过第四象限可判断C；先求出直线与直线的交点，再求出直线上一点关于直线的对称点，由两点式即可求出，可判断D.
【详解】对于A，，令，可得：，
所以直线过定点，故A正确；
对于B，直线过定点，当时，点到直线的距离最大，
且最大距离为，故B正确；
对于C，直线过定点，不一定经过第四象限，故C错误；
对于D，当时，直线，
设直线关于直线的对称直线为，
一定经过直线和直线交点，设为，
由可得：，所以，
在直线上任取一点关于直线的对称点一定在上，
所以，解得：，
所以，在直线上，
所以，化简可得：，故D正确.
故选：ACD.
11. 在正方形中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当点为中点时，与相交于一点，且
C. 存在点，使得平面
D. 异面直线与所成角的余弦值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，直接证明平面即可判断A；对于B，设和相交于点E，则，所以，即可判断B；对于C，建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，利用共线向量，即可判断C；对于D，由和进行求解，可判断D.
【详解】对于A选项，在正方体中，易知，
由平面，得，
而，故平面，
所以，同理可得，
又因为，所以平面，
又平面，∴，故A正确；
对于B选项，当为中点时，根据题意可得，为中点，
设和相交于点E，连接和，如图所示：
，
因为，所以，故B正确；
对于C选项，设正方体的边长为，建立如图所示直角坐标系，
则,
，
设平面的法向量，
则,则，
令，则，故，
设，则，则，
由平面，则，
所以，则不存在,
即不存在使得平面，故C错误；
对于D选项，由，，
则，
此时，即为中点，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知点，，则AB的中点坐标为______，=______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】直接利用中点坐标公式可得线段AB的中点坐标，利用空间向量模的坐标表示可得的值.
【详解】设线段的中点坐标为，
由中点坐标公式可得，
即线段的中点坐标为，
所以．
故答案为：；.
13. 抛物线的焦点坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】
将抛物线方程化为标准形式后可得结果.
【详解】由得，
所以，，
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：
14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的夹角为锐角，可得，且不能同向共线解出即可得出．
【详解】，，
的夹角为锐角，，且不能同向共线．
解得，．则的取值范围为．
故答案为:．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知点为坐标原点，向量，计算：
（1）求向量同向的单位向量；
（2）若，求的值；
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据单位向量定义求向量同向的单位向量；
（2）应用向量的线性运算和垂直的坐标表示列方程求参数.
【小问1详解】
因为，，
所以，与同向的单位向量为.
【小问2详解】
因为，，
又，
所以，即.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，N是BC的中点，PD⊥平面ABCD，且，．
（1）求证：平面PCD；
（2）求AP与平面CMB所成角的正弦值；
（3）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）取中点为，分别连接，利用中位线性质得，再根据线面平行的判定即可.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，用向量的方法求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求平面的法向量，用向量的方法求二面角的余弦值．
【小问1详解】
取中点为，分别连接，
又因为是PA的中点，N是BC的中点，所以，
，所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面PCD.
【小问2详解】
以为原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示
则，
，
设平面的法向量，则
，即，令，则，.
设直线与平面所成的角为，则
.
所以与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
.
设平面的法向量m=x,y,z，则
，即，
令，则..
又平面的法向量.
设二面角的大小为，则为锐角，
，
所以二面角的余弦值为．
17. 已知椭圆E：的离心率，左焦点，
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，若，求直线l的一般式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据求出即可；
（2）当k不存在时，弦长不符，当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理和弦长公式列列方程求出斜率，则直线方程可得.
【小问1详解】
，，
∴，，
所以椭圆方程为；
【小问2详解】
设，
当k不存在时，通径（舍）；
当k存在时，设直线方程为：，与椭圆方程联立消去得：，，
∴；
解得，
故直线方程为：.
18. 若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程.
（2）若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为.
（i）求的方程.
（ii）已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）直线过定点
【解析】
【分析】（1）设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程；
（2）（i）分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；（ii）分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可.
【小问1详解】
因为圆心在直线上，设，
且点，均在圆上，则，
可得，解得，
即圆心为，半径，
所以圆的标准方程为.
【小问2详解】
（i）因为，由题意可得：，
可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆，
所以的方程为；
（ⅱ）若直线l的斜率存在，设直线l：，，
联立方程，消去y可得，
则，且，
因为，
整理可得，
则
可得，即或，
当，直线过定点；
当，直线过定点，不合题意；
可知直线过定点；
若直线l的斜率不存在，设，
则，即，
且在圆上，则，
即，解得，不合题意；
综上所述：直线过定点.
【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法
1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点；
2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．
19. 已知抛物线，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（1）当直线l的倾斜角为时，，求抛物线G的方程：
（2）对于（1）问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值．
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，设直线的方程代入抛物线的方程，设Ax1,y1,Bx2,y2，运用韦达定理，弦长公式，解方程可得，进而得到所求方程；
（2）运用中点坐标公式，求得，由两点的距离公式，可得，进而得到的定值．
小问1详解】
由题意知，设直线的方程为，Ax1,y1,Bx2,y2
由 得：，所以
所以，所以，故抛物线的方程为；
【小问2详解】
由（1）抛物线的方程为，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，直线与抛物线只有一个交点，与已知矛盾，
故直线的斜率不为0，故可设的方程为
消去得：，设Ax1,y1,Bx2,y2，
则：
所以：
，即
所以：