安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版）

这是一份安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可.
【详解】因为，且，
所以，则或，
解得或或，
当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去；
当时，，满足，符合题意.
故选：A
2. 已知是实数，
（1）是的充分条件；（2）是的必要条件；
（3）是的充分条件；（4）是的必要条件．
上述四个命题中真命题的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用特殊值判断（1）（2）（3）的正确性，根据不等式的性质可判断（4）的正确性.
【详解】对（1）：取，，则，但不成立，所以不是的充分条件，故（1）错误；
对（2）：取，，则，但不成立，故不是的必要条件，故（2）错误；
对（3）：当 时，不能推出，所以不是的充分条件，故（3）错误；
对（4）：由，可得，所以，所以是的必要条件，故（4）正确.
故选：B
3. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则不一定包含的零点的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据零点存在定理可确定结果.
【详解】因为，，，且函数的图象是连续的，
所以函数在区间，，上均有零点.
而，所以函数在上未必有零点.
故选：A
4. 生物学家研发一种谷物新品种，如果第1代得到1粒种子，以后各代每粒种子都可以得到下一代6粒种子，则种子数量首次超过100万粒的是（ ）参考数据：
A. 第7代种子B. 第8代种子C. 第9代种子D. 第10代种子
【答案】C
【解析】
【分析】设第代种子的数量为，根据题意列出不等式，对不等式化简代入数值即可得到结果.
【详解】设第代种子的数量为，
由题意得，得x−1lg6>6，
即.
因为，
故种子数量首次超过100万粒的是第9代种子.
故选：C.
5. 下列函数中符合在定义域上单调递增的奇函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数定义域的特点先判处BD，再根据函数的奇偶性排除A.
【详解】因为函数的定义域为，，所以函数在其定义域不具有单调性，故B不合题意；
因为函数的定义域为，函数在其定义域不具有单调性，故C不合题意；
对A：，所以为偶函数，故A不合题意；
对C：对函数，由，得函数的定义域为，
，所以函数为奇函数，
因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，故D符合题意.
故选：C
6. 已知奇函数的图象关于点对称，当时，，当时，的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用奇函数的性质以及函数图象的对称性，找出不同区间上函数值的关系，然后通过对已知区间函数不等式的变形，推导出所求区间的函数解析式.
【详解】因为函数y=fx的图象关于点对称，所以，
又函数y=fx为奇函数，所以，
所以，即函数y=fx是以为周期的周期函数.
设，则，且，
因为，所以，且.
所以，.
又当时，，
所以.
即
故选：B
7. 若时，取得最大值，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值.
【详解】因为（其中，）
所以.
当时取“”.
此时；
，
所以.
故选：A
8. 记函数的定义域为，若存在非负实数，对任意的，总有，则称函数具有性质．
①所有偶函数都具有性质；
②具有性质；
③若，则一定存在正实数，使得具有性质；
④已知，若函数具有性质，则．
其中错误结论的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】利用性质可判断①；利用基本不等式结合性质可判断②；根据函数的值域可判断③；根据已知条件可得出可得出，结合不等式恒成立可得出的取值范围，可判断④.
【详解】对于①，设函数是定义在上的偶函数，
对任意的，，所以，所有偶函数都具有性质，①对；
对于②，对任意的，，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
又因为，故对任意的，，
所以，具有性质，故②对；
对于③，因为，
又函数的值域为，所以，不存在实数，使得，故③错；
对于④，，
因为，易知，因为，则，则，
所以，，即，所以，，
要使得恒成立，则，
又因为，则，
所以，若函数具有性质，则，故④对，
故选：C.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角函数的定义可得，，即可结合诱导公式逐一求解.
【详解】由题意可知：，，
故，，，故BCD正确，A错误，
故选：BCD
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，的值域为
B. 当时，的单调递减区间为
C. 取任意实数时，均有的图象关于直线对称
D. 若的定义域为全体实数，则实数的取值范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用配方法整理内函数，根据对数函数的单调性，可得答案；
对于B，令内函数大于零，根据一元二次不等式解得函数的定义域，利用二次函数与指数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案；
对于C，判断与的等量关系，结合对数运算，可得答案；
对于D，将问题等价于一元二次不等式恒成立，利用分离参数与配方法，可得答案.
【详解】对于A，当时，函数，由，则，故A正确；
对于B，当时，函数，令，则，解得或，
所以函数的定义域为，
由函数的对称轴为直线，则该函数在上单调递减，
由函数在上单调递增，则函数的单调递减区间为，故B错误；
对于C，由，，
则，即，
所以函数的图象关于直线成轴对称，故C正确；
对于D，由的定义域为全体实数，则在上恒成立，
可得，所以，故D正确
故选：ACD.
11. 函数满足，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用赋值法可判断AB选项；令，利用函数奇偶性的定义可判断C选项；根据已知条件推导出，再结合以及等式的可加性可判断D选项.
【详解】对于选项A，在等式中，令，可得，
在等式中，令，可得，则，故A错误；
对于选项B，在等式中，令，可得，①
在等式中，令，可得，②
①+②可得，故B正确；
对于选项C，令，其中，则，
即，所以函数为奇函数，故C错误；
对于选项D，因为，则，
又因为，
上述两个等式相加可得，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若不等式的解集为，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解集可构造方程组求得，由此可得结果.
【详解】的解集为，，解得：，
.
故答案：3.
13. 函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式．
【详解】由图象可知：，，所以.
由，且，可得.
所以.
故答案为：
14. 若，则的范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用三角换元，把问题转化成三角函数有关的值域问题求解.
【详解】由.
可设.
所以
.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：把化成，结合同角三角函数的关系，设，是解决问题的关键.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知函数
（1）请画出函数的图象（需要标出函数的零点，最值与特殊值等）；
（2）求使方程的实数解个数分别为时，的相应取值范围．
【答案】（1）作图见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据基本初等函数的性质即可作出图象，
（2）利用函数图象的交点个数即可结合图象求解.
【小问1详解】
fx=x2+2x−3,x≤0−2+lnx,(x>0)
当时，，函数在上单调递减，上单调递增，，
当时，，函数在0,+∞上单调递增. 作出的图象如图，
【小问2详解】
方程的实数解的个数等于直线与图象的交点个数.
∴当实数解的个数为时，；
当实数解的个数为时，或；
当实数解的个数为时，.
16. 求下列各式的值：
（1）；
（2）；
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用指数幂的运算法则求解即可.
（2）利用对数的运算法则结合换底公式求解即可.
（3）利用立方和公式化简目标式，再结合给定条件代入求和即可.
【小问1详解】
原式，
.
【小问2详解】
原式，
.
【小问3详解】
原式，
因为，所以，故.
17. （1）已知，，，.求的值；
（2）求的值；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）4
【解析】
【分析】利用诱导公式及和角公式求（1）的值；利用两角和正切公式的变形形式求（2）的值；利用和角公式和倍角公式求（3）的值.
【详解】（1）因为，所以，又，所以.
所以.
由得：，又，所以，
所以.
所以
.
（2）
.
（3）
18. 已知函数的图象关于直线对称．
（1）求的值；
（2）若，求的最大值；
（3）是否存在实数满足对任意，存在，使成立？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据函数对称性进行求解即可；
（2）根据两角差的余弦公式、二倍角的正弦公式、降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，利用整体法，再结合正弦型函数的单调性即可求解最值，
（3）将问题转化为，根据指数函数的单调性得，利用二次函数的性质求解最值即可得解.
【小问1详解】
因为函数的图象关于直线对称，
所以有，
即，解得．
【小问2详解】
时，
，
当时，则，
所以当，即时，取得最大值，最大值为．
【小问3详解】
由（2）知：当时，最大值为．
若存在m满足对任意，存在，使成立，
则，即，所以．
因为，所以当时，取得最小值，
所以，则m的取值范围为．
19. 对于函数y=fx，如果对于其定义域内任意给定的实数，都有，并且，就称函数y=fx为“M函数”．
（1）已知，判断y=gx是不是M函数，并说明理由；
（2）若是定义在上的M函数，当时，，方程是否有整数解？并说明理由；
（3）若是定义在上的M函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增．记，证明：是的充要条件．
【答案】（1）函数不是M函数，理由见解析
（2）方程有整数解6，理由见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用“M函数”的定义判断函数y=gx，可得出结论；
（2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数，利用零点存在性定理可得出结论；
（3）推导出函数Fx的奇偶性、单调性，再利用函数Fx的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件的定义证明可得结论.
【小问1详解】
函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，
故函数不是“M函数”；
【小问2详解】
当时，则，由“M函数”的定义可得，
由满足“M函数”的定义，
当时，函数、均为增函数，故函数在0,+∞上为增函数，
当时，，，，当时，，
若函数有整数解，则x0∈0,+∞，
设，则函数hx在0,+∞上单调递增，
因为，故方程有整数解6.
【小问3详解】
因为函数y=fx是上的“M函数”，其函数值恒大于0，且在上是严格增函数，
所以，，
任取且，则，所以，f−n>f−m，
所以Fm−Fn=fm−f−m−fn−f−n=fm-fn+f-n-f-m>0，
所以，函数Fx为上的增函数，
因为，故函数Fx为上的奇函数，
当时，即，即Fx1>F−x2=−Fx2，所以，，
即“”“”；
若，则Fx1>−Fx2=F−x2，所以，，即，
所以，“”“”，
因此，是充要条件.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考査的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.1
2
3
4
5
136.136
15.552
10.88