广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份广西壮族自治区柳州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了 下列函数中，在上单调递增的是， 已知，则“”是“”的条件．， 已知命题，命题，则， 下列四个式子中，计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
满分150分 考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用整数有理数的定义可判断A,B选项；利用集合的定义及集合的特性可判断C,D选项.
【详解】对于选项A：Z为正整数，显然A不正确；
对于选项B：Q为有理数，但为无理数，故B不正确；
对于选项C：利用集合元素的互异性即可判断，C正确；
对于选项D：表示集合里只有一个元素，而表示集合里的两个元素，两个集合不存在包含关系，故D不正确.
故选：C
2. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为指数函数为上的增函数，则，
指数函数为上减函数，则，
对数函数在上为增函数，则，
因此，.
故选：A.
3. 函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数
B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数
D. 最小正周期为的偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式计算可得，再由周期公式以及余弦函数的奇偶性可得结论.
【详解】易知，
所以其最小正周期为，
且满足，即该函数为偶函数；
因此函数是最小正周期为的偶函数.
故选：B
4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由正切函数定义域可判断A错误，根据指数函数单调性可得B错误，再由幂函数性质及定义域可得C错误，利用分段函数单调性以及对数函数性质可得D正确.
【详解】对于A，显然函数的定义域不为，即A错误；
对于B，因为，所以函数在上单调递减，即B错误；
对于C，易知的定义域为，即在上单调递增，即C错误；
对于D，易知在上单调递增，在上单调递增，
且，所以在上单调递增，即D正确.
故选：D
5. 已知，则“”是“”的（ ）条件．
A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分又非必要
【答案】C
【解析】
【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的的值，进而结合充分、必要条件的定义判断即可.
【详解】由题意，，
由，即，则或，
由，则，
所以“”是“”的必要非充分条件．
故选：C.
6. 某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用（单位：万元）与仓储中心到机场的距离（单位）之间满足的关系为，则当最小时，的值为（ ）
A. 2080B. 40020C. D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】根据均值不等式求解即可.
【详解】因，
当且仅当，即时等号成立，
所以当C最小时，s的值为20.
故选：D
7. 已知命题，命题，则（ ）
A. 和都是真命题B. 和都是真命题
C. 和都是真命题D. 和都是真命题
【答案】B
【解析】
【分析】取出反例得到是假命题，是真命题，根据零点存在性定理判断得到方程有根，故是真命题，是假命题，得到答案.
【详解】对于而言，取，则，故是假命题，是真命题.
对于而言，令，，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
故是真命题，是假命题.
综上，和都是真命题.
故选：B
8. 函数，若，且互不相等，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据函数解析式将函数图像画出，得到关于对称，而，再利用不等式性质即可判断.
【详解】
由题意，假设，由上图可知关于对称，故，
由不等式得，又当且仅当时取等号，但是故等号不成立，即；
又因为都为负值，故；而，故，
所以，故，又，故.
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个式子中，计算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据两角差的正弦公式求A，由辅助角公式求B，由两角和的正切公式求C，由同角三角函数的关系结合二倍角公式求D.
【详解】A选项，根据两角差的正弦公式，，A选项错误；
B选项，根据辅助角公式，，B选项正确；
C选项，根据两角和的正切公式，，C选项正确；
D选项，，D选项正确.
故选：BCD
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 二次函数的零点是
B. 函数与是同一函数
C. 函数且的图象恒过点
D. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用函数的零点定义判断选项A；利用同一个函数的概念判断B；求出指数型函数恒过的定点可判断C，利用二次函数的单调性判断选项D.
【详解】对于选项A：令，解得：或，故零点为，故A正确；
对于选项B:因为定义域为，函数定义域为R,故B错误；
对于选项C：令得，此时，所以函数且的图象恒过点，故C错误；
对于选项D：函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递增，所以，解得：，实数的取值范围是，故D正确.
故选：AD
11. 函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. 函数y=fx图象关于点对称
B. 该图象向左平移个单位长度可得图象
C. 该图象的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标缩短到原来倍可得图象
D. 函数y=fx在上单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】由图可知，由得，将点代入求得，从而得，验证 是否为0可判断A；根据三角函数图象的变换规律求得变换后的函数解析式可判断B、C；利用三角函数的图象及其单调性可判断D.
【详解】由图可知，由得 ，，
将点的坐标代入中，可得，
则，因为，所以，得，
对于A，将代入，得到，
故函数的图象关于点对称，故A正确；
对于B， 图象向左平移个单位，
则，故B正确；
对于C，对于，如果横坐标伸长到原来的2倍，则；
同时纵坐标缩短到原来的倍，得，故C正确；
D.由于，则，而在不单调
故函数在上不单调，故D错误.
故选：ABC.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出扇形半径，利用扇形面积公式可求得结果.
【详解】弧长为的弧所对的圆心角为，则扇形的半径，
因此该扇形的面积为.
故答案为：
13. 设函数，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用函数的解析式，由内到外逐层计算可得出的值.
【详解】因为，则，
所以，.
故答案为：.
14. 若函数且是指数函数，其图象过点，则函数的单调递增区间为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据指数函数定义确定参数值，再结合复合函数单调性可求得单调区间.
【详解】由指数函数定义可得，解得；
代入点可得，解得；
因此，
显然，解得或，即的定义域为；
再由复合函数单调性可得的单调递增区间即为在上的单调递减区间；
由二次函数性质可得在上单调递减，
所以函数的单调递增区间为.
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 如图所示，以为始边作角与，它们的终边与单位圆分别交于两点，已知点的坐标为，点的坐标为.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由任意角三角函数定义结合题意可得答案.
（2）由题结合诱导公式、二倍角正切公式可得答案.
【小问1详解】
由题结合任意角三角函数定义可得：
，；
【小问2详解】
根据诱导公式化简可得：
，
由（1）知，，，则，
所以，
所以.
16. 已知集合（其中），
（1）求；
（2）当时，求；
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）或；
（2）或；
（3）或.
【解析】
【分析】（1）解分式不等式求出集合，再由补集运算可得结果；
（2）将代入，再由交集运算可得；
（3）根据交集结果得出集合间的包含关系，再对集合是否为空集分类讨论可得结果.
【小问1详解】
不等式，解得，故，
所以或；
【小问2详解】
当时，集合，
所以或；
【小问3详解】
由可得，
当时，即时，满足题意；
当时，要使得，
或，
解得或；
综上可知，实数的取值范围为或.
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在上的最值；
（3）若，求的值.
【答案】（1），单调减区间为.
（2），.
（3）
【解析】
【分析】（1）化简函数为，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）得出函数的单调递增区间，结合，和的值，即可求解；
（3）根据题意，求得，结合，即可求解.
【小问1详解】
由函数
，
所以的最小正周期为，
令，可得，
所以的单调减区间为.
【小问2详解】
由（1）知，函数的单调递增区间为，
因为，所以在上单调递增，在上单调递减，
且，，，所以，.
【小问3详解】
由函数，可得，
因，
所以
.
18. 函数，函数，已知函数是定义域为的奇函数.
（1）解不等式：；
（2）求的值，并判断函数在上的单调性（不用证明）；
（3）若存在使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）,在上单调递增
（3）
【解析】
【分析】（1）结合指数函数的值域解指数型不等式即可；
（2）根据奇函数的定义求参数值，然后根据定义判断函数的单调性；
（3）结合（2）的函数单调性，分离参数，得到，然后根据不等式能成立的方法求解.
【小问1详解】
由题知，，即，即，
根据指数函数的性质，恒成立，于是解得，解得，
即的解为
【小问2详解】
由题知，，由于在R上奇函数，
则对于x∈R成立，
即，
即，
即；
于是.任取，结合指数函数性质，
，
即在R上单调递增
【小问3详解】
由（2）可知，根据可得，
由，整理可得，
存在，使得成立，
故需求不等式右边的最小值，由，则，
故当时，不等式右边取到最小值，
即.
19. 现定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（，为实数），我们称这个函数在上是同步函数.比如：函数在上是同步函数.理由：，，，得，在上是同步函数.
（1）若函数在上是同步函数，求的值；
（2）已知反比例函数在上是同步函数，求的值；
（3）若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）.
【解析】
【分析】（1）直接按新定义求解即可；
（2）经分析得出含的方程组解出即可；
（3）由新定义解出抛物线方程，进而利用基本不等式解出的最小值即可.
【小问1详解】
函数在上是同步函数，且函数是递减函数，
又，，故当时，；当时，；
即，解得，.
【小问2详解】
由反比例函数在上是同步函数，，，
反比例函数在和上都是递减的，
当时，取最大值，当，取最小值，
即，故得.
【小问3详解】
可化为，过点，
因，，则对称轴，
故在上递增，
又在上是同步函数，
当时，取最小值1，当时，取最大值3.
即得，，解得，，
函数表达式为，
所以，当且仅当时取“”，
所以的最小值为.
【点睛】方法点睛：转化思想是解决集合新定义题目的一种常见方法；如小问由函数新定义解出，变形转化为；小问解出函数表达式为，将转化成基本不等式求最值.