黑龙江省大庆市让胡路区大庆中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省大庆市让胡路区大庆中学2024-2025学年高二上学期期末数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
学校：_________姓名：________班级：________考号：_________
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（共40分）
1. 已知等比数列的公比，则 等于（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等比数列通项公式计算可得；
【详解】解：因为等比数列的公比，
所以．
故选：D
2. 已知等差数列的首项为1，若成等比数列，则（ ）
A. -2B. 4C. 8D. -2或4
【答案】B
【解析】
【分析】设出公差，根据成等比数列，得到方程，求出，检验后得到答案.
【详解】由题意得，，且，
设公差，则，解得，
若，则，，满足要求，
若，则，不合要求，舍去，
故.
故选：B
3. 已知函数 （，且）的图象恒过定点A，若点的坐标满足，则的最小值为（ ）
A. 13B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先求出对数函数的定点，再根据点在直线上得出，最后应用常值代换结合基本不等式计算即可求出最小值.
【详解】当时，，即.
因为点的坐标满足，所以，即，
所以，
当且仅当时取等号，即的最小值为.
故选：C.
4. 已知是直线的方向向量，直线经过点，则点到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由点到线的距离公式即可求解；
【详解】由题意直线的方向向量，，则，
，，所以点到直线的距离为
，
故选：B.
5. 斐波那契数列因以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用.斐波那契数列可以用如下方法定义：，且，若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数列各项的规律可知是以为周期的周期数列，由此可得.
【详解】由题意知：数列为：，
则数列为：，
即数列是以为周期的周期数列，.
故选：A.
6. 设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A. 6B. C. 8D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用椭圆的几何性质，得到，，进而利用得出，进而可求出
【详解】解：由椭圆的方程可得，
所以，得
且，，
在中，由余弦定理可得
，
而，所以，，
又因为，，所以，
所以，
故选：B
7. 已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则中点直线上，即①，
直线与直线垂直，即②，
解得，即点关于直线的对称点为，
又，所以，
所以直线方程为，即，
由，解得，，
所以当取得最小值时，点的坐标为．
故选：B．
8. 如图，已知，是双曲线的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足，且，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】延长与双曲线交于点，易得，设，结合双曲线定义得，进而在中应用勾股定理得到齐次方程，即可得离心率.
【详解】延长与双曲线交于点，因为，根据对称性知，

设，则，，
可得，即，
所以，则，，
所以，可知，
在中，由勾股定理得，
即，解得.
故选：B.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
二、多选题（共18分）
9. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点
B.
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 当时，圆上存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解直线系结果的定点判断A；圆的圆心求解、判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心到直线的距离判断D．
【详解】直线，恒过点，所以A正确；
圆的圆心坐标为，，，所以B正确；
圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，圆的圆心到定点的距离为：，
直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
当时，直线方程为：，经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
10. 已知直三棱柱中，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 异面直线与所成的角的余弦值为
D. 点到平面的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，
则.
A：，
所以，故A正确；
B：，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
所以，即，又平面，所以平面，故B正确；
C：，则，
所以，
即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误；
D：设平面的一个法向量为，
则，令，则，所以，
得，所以点到平面的距离为，故D正确.
故选：ABD
11. 已知是等差数列的前n项和，且，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 数列的最大项为D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由判断出，，求出，即可判断A；
利用等差数列的性质求出，可以判断B；
由，，可判断出最大，可以判断C；
由，，，可以判断D.
【详解】因为，，所以，A正确；
，所以，B正确；
因为，，所以数列的最大项为，C不正确；
因为，，，所以，即，D正确．
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（共15分）
12. 过点且与圆：相切的直线方程为__________
【答案】或
【解析】
【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．
【详解】解：将圆方程化为圆的标准方程，得圆心，半径为，
当过点的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆的切线，满足题意；
当过点的直线斜率存在时，
可设直线方程为，即，
利用圆心到直线的距离等于半径得，解得，
即此直线方程为，
故答案为：或 ．
13. 已知数列的前项和满足，则_____.
【答案】10
【解析】
【分析】由公式，将代入即可得结果.
【详解】由题得.
故答案为：10.
14. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.
【详解】为等差数列，故，
故.
故答案为：
四、解答题（共77分）
15. 2021年9月24日，中国轻工业联合会、中国乐器协会授予正安县“吉他之都”称号.遵义市某中学的同学们利用暑假到正安参加社会实践活动，对县城20至50岁的市民是否会弹吉他进行调查.若会弹吉他，则称为“吉他达人”，否则称为“非吉他达人”.同学们随机抽取2800人进行调查，统计后发现“吉他达人”有1000人，进一步对“吉他达人”各年龄段人数进行统计后，得到了各年龄段“吉他达人”人数的频率分布直方图：
（1）根据直方图估计“吉他达人”年龄的平均数；
（2）若从年龄在的“吉他达人”中采用分层抽样法抽取5人参加“吉他音乐节”表演，再从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由平均数的计算公式即可求解；
（2）结合组合数，由古典概型计算公式即可求解.
【小问1详解】
由题意可得：
平均数为
【小问2详解】
由的频率为可得两组人数比为，
故5人中，来自的人数分别为2和3，
所以从这5人中随机选取2人作为领队，求2位领队来自同一组的概率为,
故2位领队来自同一组的概率为.
16. 已知向量，，函数 ．
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）在中，分别是角的对边，且，，且，求的值．
【答案】(I) (Ⅱ）
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）先利用向量的坐标运算将函数转化为三角函数的形式，再利用三角恒等变形将函数转化为的形式，可求得周期；（Ⅱ）先由所给函数值，代入求得值，再由余弦定理，结合的值，解方程组可得．
试题解析：
(I)
.
故最小正周期
(Ⅱ），，
C是三角形内角，
∴ 即：
即： ．
将代入可得：，解之得：或4,
，

点睛：三角恒等变换与向量的综合问题是高考经常出现的问题，一般以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，往往是两微量平行或垂直的计算．将向量形式化为坐标运算后，接下来的运算仍然是三角函数的恒等变换以及三角函数，解三角形等知识的运用．
17. 已知数列满足，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）将已知条件两边同时取倒数整理后根据等差数列的定义即可证明；
（2）由（1）求出的通项公式，再分和分别求.
【详解】（1）由，可得即.
因为，所以，
故数列是以为首项，为公差的等差数列.
（2）由（1）可得，
设数列的前项和为，则.
当时，，
；
当时，，
，
综上所述
18. 如图，在四棱锥中，平面平面为棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，
（i）求二面角的余弦值；
（ii）在棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）,（ii）存在，
【解析】
【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，即可根据线面平行的判定定理证明结论；
（2）（i）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解；
（ii）设，，根据点面距离的向量法即可求出，进而求出的值．
【小问1详解】
取的中点，连接，，如图所示：
为棱的中点，
，，，，，，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
【小问2详解】
，，，
，，
平面平面，平面平面，
平面，
平面，
又，平面，，，由，
以点坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图：
则，，，，，，
（i）故，
设平面的一个法向量为n=x,y,z，
则，令，则，，，
平面的一个法向量为,

则，令，则，，故，
,，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为；
（ii）假设在线段上是存在点，使得点到平面的距离是，
设，，则,0,，0,，
由（2）知平面的一个法向量为,,，
，
点到平面的距离是，
，．
19. 在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上的一点，直线交于两点．
（1）若直线过的焦点，求的值；
（2）若直线分别与轴相交于两点，且，试判断直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件求出抛物线方程，联立直线与曲线方程，根据韦达定理解出，，即可求解的值；
（2）根据已知条件分析出直线的斜率一定存在，由此设出直线方程，直曲联立，利用韦达定理表示出，，利用两点式求出方程，令，求出，同理可得，结合条件即可求得由此可得直线过定点.
【小问1详解】
因为点在抛物线上，所以有，即，
所以抛物线方程，焦点坐标为0,1，
根据抛物线方程设，；
若直线斜率不存在，则直线为轴，不合题意，所以直线的斜率存在设为，
且直线过的焦点，所以直线的方程为，
联立直线与抛物线方程：，整理有，
根据韦达定理有：，；
因为向量，，
所以.
【小问2详解】
根据题意可知直线的斜率一定存在，设直线方程为，
根据题意设，，，，，
联立直线与抛物线有：，整理有：，
根据韦达定理有，，
由题意可知直线斜率存在，若所在直线斜率为，
则与或重合，不合题意；所以所在直线斜率不为，
则方程为，化简得：，
令解得；同理可得；
，，所以，
即，由，有，，
所以直线过定点.
【点睛】关键点点睛：直线方程和曲线方程联立，利用韦达定理表示出两根的，，将已知条件归纳成的关系式即可求解.