山东省德州市第二中学2024-2025学年高三上学期第四次学情检测数学试题（解析版）

这是一份山东省德州市第二中学2024-2025学年高三上学期第四次学情检测数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了 已知集合，则， 若，则， 在中，角的对边分别为，若，则， 已知随机变量X，且，则等内容，欢迎下载使用。
一．单选题
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数函数的定义域得到集合B，再由集合的并集运算得到结果.
【详解】由可得，则，
又，所以，
故选：D.
2. 已知复数且复数z是方程的一个根，则实数（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】将复数代入方程，化简后利用复数相等的性质求解即可/
【详解】因为复数且复数z是方程的一个根，
所以.
即，
则
故选：B.
3. 已知抛物线，则抛物线C的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】转化为抛物线的标准方程，直接得出准线方程即可.
【详解】由可得，
所以抛物线C的准线方程为，
故选：C
4. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分焦点在轴、轴上两种情况讨论可得，即可得答案.
【详解】若焦点在轴上，则；
焦点在轴上，则.
故选：C.
5. 若，则（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式、余弦的二倍角公式和同角三角函数关系求解即可.
【详解】由题意可得，
所以，，
故选：A
6. 今年贺岁片，《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》引爆了电影市场，小明和他的同学一行四人决定去看这三部电影，则恰有两人看同一部影片的选择共有（ ）
A. 9种B. 36种C. 38种D. 45种
【答案】B
【解析】
【分析】先安排2人看同一部影片，再安排剩余2人，利用排列组合知识进行求解.
【详解】从4人中选择2人看同一部影片，再从3部影片中选择一部安排给这两人观看，
剩余的2人，2部影片进行全排列，
故共有种情况.
故选：B
7. 已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（ ）
A. 4B. C. 9D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧数列的单调性并求其最大值，即可得答案.
【详解】由，令，解得，
当时，由，得，即，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，令，则，
而，所以，即数列单调递减，故，
所以，所以的最小值为.
故选：D
8. 在中，角的对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，结合，由正弦定理可得.最后由，结合余弦定理可得答案.
【详解】，
由正弦定理，则.
由余弦定理，
.
故选：B
二．多选题
9. 已知随机变量X，且，则（ ）
A. B. 若则
C. 若，则D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即可.
【详解】由题知，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
由正态分布密度曲线关于对称，
利用对称性知，，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（ ）
A. 与为互斥事件B. 与相互独立
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】由互斥事件、相互独立事件的定义判断AB；利用概率的基本性质计算判断C；求出条件概率判断D.
【详解】依题意，不放回的随机取两次，共有种不同结果，
，共个不同结果，
，共个不同结果，
，共个不同结果，
对于A，事件能同时发生，如基本事件，与不互斥，A错误；
对于B，，，
共6个不同结果，，与相互独立，B正确；
对于C，，共9个不同结果，
，，C错误；
对于D，由选项B知，，D正确.
故选：BD
11. 已知函数，则（ ）
A. 当，时，直线与曲线相切
B. 当时，函数的减区间为
C. 当时，若函数有3个零点，则实数的取值范围为
D. 当，时，若（其中），有
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，由切线斜率为1求出切点，结合点斜式即可判断A；求导，根据导数正负情况即可判断B；由函数的单调性和极值以及零点即可求解判断C；由函数的零点情况，结合和基本不等式即可求解判断D.
【详解】对于A选项，当，时，，有，
若，解得或，
由，可得与曲线相切，故A选项正确；
对于B选项，，
当时，由，有，故函数的减区间为，故B选项错误；
对于C选项，当时，，
所以由B可知函数在上单调递增，在上单调递减，
又，，极大值，
故若函数有3个零点，则实数的取值范围为，故C选项正确；
对于D选项，当，时，，
由，若（其中），
则有，有，
可得，有，
又由，有，
可得，故D选项正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点睛：求证的关键1是先由即结合立方和公式化简得到，关键2是利用基本不等式得到关于的不等关系得解.
三、填空题
12. 有一组数据：，且n为这组数据的分位数，则的展开式中第三项的系数为______．
【答案】80
【解析】
【分析】根据百分位数定义求出，由二项展开式的通项即可求解.
【详解】将数据按从小到大排成一列：，
由，可知这组数据的分位数为5，即，
所以的展开式中第三项为：，
所以的展开式中第三项的系数为：80.
故答案为：80
13. 已知圆，直线与圆交于两点，则最小值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据直线过定点，结合弦长公式即可求.
【详解】由可得，
所以直线恒过定点，
因为，所以在圆内，
由圆可知圆心为，半径，
当时，圆心到直线的距离取到最大值，此时最小，
因为，
所以.
故答案为：2
14. 已知个点大致呈线性分布，其中，且数据的回归直线方程为，则的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据回归方程必过样本中心点，即可得到答案.
【详解】回归直线经过，
且，
代入回归方程得：，
即，
所以当时，的最小值为.
故答案为：.
四、解答题
15. 已知函数，其中为常数，为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间上的最大值为2，求的值．
【答案】（1）答案见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的单调区间；
（2）先求得，然后对a进行分类讨论，研究单调性及最值求a的值.
【小问1详解】
由题设的定义域为，且，则，
当时，当时，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
【小问2详解】
由题设，
当，结合，易知，
所以在上单调递增，故无最大值，不符合；
当，且，则时，时，
所以在上递增，在上递减，则，
故，可得.
综上，.
16. 某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表
（1）若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请完成以下2×2列联表，并依据独立性检验，能否有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
（2）若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康问题，以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为X，求和；
（3）若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：
参考数据：
【答案】（1）列联表见解析；有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系
（2），
（3）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）由60名同学的统计数据可得列联表，代入公式可得，再对照临界值表即可得出结论；
（2）求出随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，易得服从二项分布，由二项分布即可得和；
（3）依题意可得的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布公式求得概率，进而即可得到的分布列和期望值.
【小问1详解】
根据统计表格数据可得列联表如下：
根据列联表的数据计算可得
，
故有90%的把握认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系；
【小问2详解】
因学校总学生数远大于所抽取学生数，故近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，
故，；
【小问3详解】
易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，
所以Y的所有可能取值为0，1，2，3，且Y服从超几何分布：
，
，
，
故所求分布列为
可得
17. 设x∈R，函数的最小正周期为，且图象向左平移后得到的函数为偶函数．
（1）求解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（2）在锐角中，分别是角的对边，若，求的值域．
【答案】（1）详见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据的最小正周期为，求得，再利用平移变换，得到函数，再根据函数是偶函数求得，从而得到，然后利用“五点法”作图求解；
（2）由，利用正弦定理，结合恒等变换求得，再根据是锐角三角形，求得角B的范围，再利用余弦函数的性质求解.
【小问1详解】
解：因为函数的最小正周期为，
所以，则，
由图象向左平移后得到的函数为，
因为函数是偶函数，所以，则，
因为，所以，所以．
由五点法，列表如下：
的图象，如图所示：
【小问2详解】
由，利用正弦定理得，
即，
即，
因为，所以，，
所以；
因为是锐角三角形，
所以 ，即，解得
因为，所以，
所以，
所以的值域是.
18. 已知圆与轴交于点，且经过椭圆的上顶点，椭圆的离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上一点，且在轴上方，为关于原点的对称点，点为椭圆的右顶点，直线与交于点的面积为，求直线的斜率．
【答案】（1）
（2）直线的斜率或
【解析】
【分析】（1）由题意首先依次得出，，进一步结合离心率公式以及的关系式即可求解；
（2），则，进一步表示出点以及的面积，结合已知可得点的坐标，由此即可得解.
【小问1详解】
圆过1,0，
，
又圆过，
，
又
，
椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，则，

由题知且，
则，
，
由，解得，
，
又，
，
又，
，
直线的斜率或.
19. 已知有穷数列中的每一项都是不大于的正整数.对于满足的整数，令集合.记集合中元素的个数为（约定空集的元素个数为0）.
（1）若，求及；
（2）若，求证：互不相同；
（3）已知，若对任意的正整数都有或，求的值.
【答案】（1），.
（2）证明见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）观察数列，结合题意得到及；
（2）先得到，故，再由得到，从而证明出结论；
（3）由题意得或，令，得到或，当时得到，当时，考虑或两种情况，求出答案.
【小问1详解】
因为，所以，则；
【小问2详解】
依题意，
则有，
因此，
又因为，
所以
所以互不相同.
【小问3详解】
依题意
由或，知或.
令，可得或，对于成立，
故或
①当时，
，
所以.
②当时，
或.
当时，由或，有，
同理，
所以.
当时，此时有，
令，可得或，即或.
令，可得或. 令，可得.
所以.
若，则令，可得，与矛盾.
所以有.
不妨设，
令，可得，因此.
令，则或.
故.
所以.
综上，时，.
时，
时，.
【点睛】数列新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
一周参加体育锻炼次数
0
1
2
3
4
5
6
7
合计
男生人数
1
2
4
5
6
5
4
3
30
女生人数
4
5
5
6
4
3
2
1
30
合计
5
7
9
11
10
8
6
4
60
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
女生
合计
0.100
0050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
性别
锻炼
合计
不经常
经常
男生
7
23
30
女生
14
16
30
合计
21
39
60
Y
0
1
2
3
P
0
0
1
0
-1
0