四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题（解析版）

这是一份四川省泸州市2024-2025学年高一上学期1月期末统一考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 函数取得最小值时，， 已知函数，则， 已知，，若，则等内容，欢迎下载使用。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页、共150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑.
3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过联立方程组来求得正确答案.
【详解】由解得，
所以.
故选：B
2. 下列函数是奇函数且在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据基本初等函数的性质逐项分析判断即可.
【详解】对于选项A：奇函数，且在上单调递减，故A错误；
对于选项B：的定义域为，为非奇非偶函数，故B错误；
对于选项C：为奇函数，且在上不单调，故C错误；
对于选项D：为奇函数，且在上单调递增，故D正确；
故选：D.
3. 设函数的零点为，则所在的区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数单调性以及零点存在性定理分析判断.
【详解】因为在定义域内单调递增，
可知在定义域内单调递增，且，
所以函数的唯一零点为.
故选：A.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】结合对数函数的定义域、单调性以及充分、必要条件的知识确定正确选项.
【详解】当时，.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
5. 函数取得最小值时，（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】
【分析】整理可得，结合正弦函数性质分析求解即可.
【详解】因为，则，
可得：，当且仅当时，等号成立，
所以函数取得最小值时，.
故选：C.
6. 函数与的图象在区间上的交点个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】令，可得，结合正切函数分析求解即可.
【详解】令，即，可得，
且，可得，
所以交点个数为3.
故选：B.
7. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足关系式：.已知五分记录法的评判范围为，设，则五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为最小值对应的小数记录法数据的倍数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意结合指、对数运算分析求解.
【详解】设五分记录法中最大值对应的小数记录法数据为，最小值对应的小数记录法数据为，
则，两式相减得，则，
且，可得，
所以，
故C正确，检验可知其余选项均不符合.
故选：C.
8. 已知函数为上偶函数，对任意，，均有成立，若，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据偶函数可知，分析可知在内单调递减，结合单调性即可判断大小.
【详解】因为函数为上的偶函数，则，
且，则，即，可得，
又因为对任意，，均有成立，
可知在内单调递减，则，即.
故选：A.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 的最大值为1B. 在上是增函数
C. 为的一个周期D. 在上有两个零点
【答案】AC
【解析】
【分析】利用数形结合即可作出判断.
【详解】作出函数图象，如图：
根据图象可知：的最大值为1，故A正确，
在上是减函数，故B错误，
为的一个周期，故C正确，
在上有三个零点，故D错误，
故选：AC.
10. 已知，，若，则（ ）
A. b的取值范围是B. ab的最大值为
C. 的最大值为D. 的最小值为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用不等式性质判断A；由，结合二次函数性质求最值判断B；由，应用基本不等式求最值，注意取值条件判断C；应用基本不等式“1”的代换求最值判断D.
【详解】由题设，则，又，故b的取值范围是，A对；
由，且，故的最大值为，B对；
由，当且仅当取等号，
而，所以取不到，C错；
由，
当且仅当时取等号，故最小值为8，D对.
故选：ABD
11. 定义在上的函数，对任意，，都有，且当时，恒成立，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 函数的图象是中心对称图形D. 函数为上的增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：令代入即可；对于B：举反例说明即可；对于C：令，，结合对称性的定义分析判断；对于D：根据题意结合单调性的定义分析判断.
【详解】因为对任意的，都有，
对于选项A：令可得，所以，A正确；
对于选项B：若，
令，可得，解得，
这与选项A相矛盾，故B错误；
对于选项C：令，可得，
整理可得，可知为函数的一个对称中心，
所以函数的图象是中心对称图形，故C正确；
对于选项D：任取实数，且，
则，
因为，则，
且当时，恒成立，则，
即，可得，
所以函数为R上的增函数，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
注意事项：
（1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效.
（2）本部分共8个小题，共92分.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根据根式以及对数的定义运算求解即可.
【详解】原式.
故答案为：4.
13. 从四个函数，，，中选出两个函数，分别记为和，若的图象如图所示，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】观察图像确定函数的定义域和奇偶性，再结合函数的单调性，确定的解析式.
【详解】根据图像可知，函数的定义域为，
所以一定包含,一定不包含,
故或者,
若,则为奇函数,图象关于原点对称，与题中图像不符合,
故,不成立.
若,
当时,单调递减,单调递减,所以在上单调递减；
当x∈0,+∞时，
任取,,且,
则,
,
因为,，且,所以,,
当时, ,
所以,即所以在上单调递减
当时,,
所以,即所以在上单调递增, 符合题意.
故答案为：
14. 设函数，若，则实数k的最大值为__________.
【答案】1
【解析】
【分析】分和x∈0,+∞两种情况，根据对数函数符号可得的符号，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】由题意可知：的定义域为，
若，则有：
当时，则，可得，
即，且在内的值域为1,+∞，则；
当x∈0,+∞时，则，可得，
即，且在0,+∞内的值域为，则；
综上所述：，所以实数k的最大值为1.
故答案为：1.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合，.
（1）当时，设全集，求；
（2）若，求a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意化简集合，再根据并集和补集运算求解即可；
（2）由题意可知，结合包含关系列式求解即可.
【小问1详解】
因为，
当时，则，可得，
所以.
【小问2详解】
若，则，
可得，解得，
所以a取值范围为.
16. 已知函数.
（1）若无零点，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式.
【答案】（1）；
（2）答案见解析.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数性质及零点个数有，即可求参数范围；
（2）应用分类讨论求含参一元二次不等式的解集.
【小问1详解】
由无零点，则，可得；
【小问2详解】
由，即，
当，可得解集为；
当，可得解集为；
当，可得解集为.
17. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点O重合，始边为x轴的非负半轴，终边与圆心为O的单位圆交于点P，P位于第一象限，且.
（1）求点P的坐标；
（2）将的终边绕原点O逆时针旋转得到的角记为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合列式求解即可；
（2）根据题意可知，利用诱导公式结合齐次化问题运算求解即可.
【小问1详解】
由题意可得：，解得或，
且角为第一象限角，则，
可得，所以点P的坐标为.
【小问2详解】
由题意可知：，
则，
所以.
18. 把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min.
（1）求；
（2）小王想喝的温水，发现水的温度为，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？
（3）某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？
【答案】（1）
（2）至少需要等待60min
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意代入相应数据运算即可；
（2）根据题意可知，，代入运算即可；
（3）根据题意可得水的温度由冷却到，需要，再加热8min，结合题意求水温即可.
【小问1详解】
已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min，
则，即，所以.
【小问2详解】
由题意可知：，，
可得，解得，
所以至少需要等待60min.
【小问3详解】
设水的温度由冷却到，需要，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要8min加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要60min，
显然，则，
所以经过98min后，此时壶中水的温度是.
19. 若函数满足条件：在定义域内存在，使得成立，则称具有性质；反之，若不存在，则称不具有性质.
（1）判断函数是否具有性质，若具有性质，求出对应的值；若不具有性质，说明理由；
（2）证明：函数具有性质；
（3）已知函数具有性质，求a的取值范围.
【答案】（1）不具有，理由见详解
（2）证明见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，代入解方程即可判断；
（2）根据题意可得，整理可得，构建，根据零点存性定理分析判断；
（3）根据题意可得，整理可得，换元令，结合基本不等式运算求解即可.
【小问1详解】
因为的定义域为
令，且，
即，整理可得，
因为，可知方程无解，
所以函数不具有性质.
【小问2详解】
因为，
令，且，
即，可得，
构建，
因为在内单调递增，且，
可知在内单调递增，且，
可知在内存在零点，
即存在，使得，
所以函数具有性质.
【小问3详解】
因为，显然，
若hx具有性质，则存在，使得，
即，整理可得，
令，则，
可得，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，即，
可得，且，解得，
所以a的取值范围为．
【点睛】思路点睛：对于新定义问题要读懂题意，并能在新定义的指引下，代入函数，判断方程是否有解.