云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一上学期期末学业水平考试数学试题卷（解析版）

这是一份云南省昆明市官渡区2024-2025学年高一上学期期末学业水平考试数学试题卷（解析版），共15页。试卷主要包含了 已知函数，则的值为， 求值， 下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷，草稿纸上作答无效．
2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题，共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合,即可根据交集的定义域求解.
【详解】由，故，
故选：C
2. 已知命题，则p的否定为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可求解.
【详解】命题，
其否定为.
故选：B
3. 已知函数，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由分段函数解析式代入计算可得结果.
【详解】易知，
所以.
故选：A
4. 如图所示，角的终边与单位圆在第一象限交于点，且点的横坐标为，射线OP绕点逆时针旋转后与单位圆交于点，角的终边在射线OQ上，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数定义及诱导公式即可求得结果.
【详解】由三角函数定义可知，
又为第一象限角，所以；
又，所以.
故选：C
5. 已知幂函数的图象过点，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定幂函数解析式，再利用函数单调性解不等式.
【详解】因为幂函数过点，所以，则,
所以=在0,+∞上是增函数,
所以不等式等价于，
求解可得.
故选：D.
6. 求值：（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合正切定义，两角差的正弦公式，辅助角公式，二倍角公式，诱导公式，直接化简求解即可.
【详解】
.
故选：B
7. 古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为，一位顾客到店里购买10克黄金，售货员先将5克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5克砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，则顾客购得的黄金质量（ ）
A 大于10克B. 小于10克
C. 等于10克D. 当时，大于10克；当时，小于10克
【答案】A
【解析】
【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为，
所以，所以，
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：
因为，
因为，所以，即，
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A.
8. 已知函数，则下列结论中正确的有（ ）
A. 的最小正周期为B. 的值域为
C. 点是图象的一个对称中心D. 不等式的解集为
【答案】D
【解析】
【分析】把函数用分段函数表示，再作出的图象，观察图象即可判断选项A，B，C，解不等式即可判断选项D而作答.
【详解】，
作出的图象，如图，观察图象，

对于A， 的最小正周期为，故A错误；
对于B，的值域为，B错误；
对于C，的图象没有对称中心，C错误；
对于D，不等式，
即时，得，
解得，
所以的解集为，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 的解集为
C. 的解集为D.
【答案】BC
【解析】
【分析】因为不等式的解集为或，结合不等式解集和韦达定理，可得和，然后逐个选项代换判断即可.
【详解】因为不等式的解集为或，
所以，，可得，
则，即，得，，
又化为，
可得，解得，
又，
故A错，B正确，C正确，D错误.
故选：BC
10. 下列结论正确的有（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及换底公式一一计算可得.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，则，，故D正确.
故选：ACD.
11. 已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A. 的图象关于直线对称B. 为奇函数
C. 的最小正周期为4D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用得到函数的图象关于对称，可判断A；利用的图象关于1,0对称，可得为奇函数，可判断B；由和两者结合即可得到，可判断C；令，可得可判断D.
【详解】对于A，由可知，函数的图象关于对称，故A正确；
对于B，由可知，函数的图象关于1,0对称，
则向左平移一个单位可得，所以函数的图象关于对称，
所以为奇函数，故B正确；
对于C，由可得：，
由可得：，
所以，所以，
函数的周期是2，故C错误；
对于D，函数的图象关于1,0对称，所以f1=0，
再令，可得，故D正确.
故选：ABD.
第II卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数，且的图象恒过定点______.
【答案】
【解析】
【分析】根据对数函数的性质求定点.
【详解】令，则恒成立，
故函数，且的图象恒过定点.
故答案为：
13. 已知，且，则______.
【答案】
【解析】
分析】根据平方关系求出，再利用诱导公式求解.
【详解】根据题意，，则，
又，所以
.
故答案为：
14. 定义运算：，若，将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的最小值为______；若在区间内恰好有4个零点，则的取值范围是______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】依题意得，根据三角函数的平移变换结合奇函数的性质可得，即可求出的最小值；将问题化为在上恰好有4个解，结合正弦函数性质有即可得结果.
【详解】依题意得，
图像向左平移个单位得为偶函数，
所以，所以，
因为，所以当时，的最小值为.
在区间内恰好有4个零点，即在区间内恰好有4个解，
所以在区间内恰好有4个解，
因为，即，
所以，解得：.
故答案为：；.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合.
（1）若，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解一元二次不等式，根据集合的基本运算可得结果.
（2）根据条件可得⫋，利用集合的基本关系列不等式组可得结果.
【小问1详解】
由题意得，，
∵，∴，
∴.
【小问2详解】
∵是的充分不必要条件，∴⫋，
∴（等号不同时成立），解得，
∴的取值范围为.
16. 普洱茶种植历史可追溯到1700多年前，其外形匀整、挺秀，汤色碧绿，香气浓烈等优异品质闻名遐迩，深受广大消费者青睐.实践表明，该茶用的水泡制，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感.研究发现：茶水温度随放置时间（分钟）的函数关系式为.由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为.
（1）求常数的值；
（2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？（参考数据：）
【答案】（1）
（2）7.5分钟
【解析】
【分析】（1）代入即可求解，
（2）根据指对互化即可求解.
【小问1详解】
将代入函数，得
解得，
所以常数
【小问2详解】
由（1）知，根据题意可知：，
所以，化简得：，
将指数式化为对数式，
将题目中的参考数据代入上述对数式，化简得，
所以，在室温下，刚泡的该茶大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.
17. 函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式及单调递增区间；
（2）求函数在上的值域.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的图象，依次求得的值，从而求得的解析式，利用整体代入法来求得单调递增区间.
（2）根据三角函数值域的求法来求得正确答案.
【小问1详解】
由图可得，，
，，，
由于，所以，
则，而，所以，
所以函数解析式为
令，
所以.
综上函数解析式为，单调增区间.
【小问2详解】
因为，所以.
当时有最大值为，
，所以时有最小值为，
所以函数在上的值域为.
18. 已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求实数的值并判断的单调性（无需证明）；
（2）解关于的不等式；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），单调递增
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数性质以及指数函数单调性即可判断得出结论；
（2）利用指数函数单调性解不等式即可得出结果；
（3）分离参数利用基本不等式计算得出最小值，即可求实数的取值范围.
【小问1详解】
因为函数的定义域为，且为奇函数，
所以，解得．
此时，经检验满足题意；
易知，
由指数函数单调性可判断得在上单调递增.
【小问2详解】
因为是奇函数，
所以，所以，
又因为在上单调递增，所以，即，
解得.
所以不等式的解集
【小问3详解】
由题设在上恒成立，
因为当时，，所以，
即在上恒成立，
令，
设，
当且仅当时，等号成立；
即，所以实数的取值范围是.
19. 如图所示，角终边与单位圆交于点，过作轴的垂线，交轴于，过作轴的垂线交射线OP于.
（1）由正弦函数、正切函数定义可知，的值分别等于线段MP，AQ的长.
（i）求的值；
（ii）判断的大小关系；
（2）设点的横坐标为，点的纵坐标为，求的最大值.
【答案】（1）（i），；（ii）
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）直接利用三角形面积公式和扇形面积公式求解；
（ii）利用面积大小关系先得，再由三角函数的性质和单调性判断大小；
（2）由三角函数定义可得，利用三角函数恒等变换再求最值.
【小问1详解】
（i）
，
（ii）由图可知的大小关系为，
所以结合（1）的值可以得到在时有，
即，
因为，
又因为，则，
再由在上的单调性可知，
综上.
【小问2详解】
由三角函数定义可以设点的横坐标为，点的纵坐标为，
所以，
原式，
因，所以，
所以时，有最大值.
【点睛】关键点点睛：利用面积大小关系先得，又，所以.