浙江省台州市部分学校2025届高三上学期年1月期末联考数学试题

这是一份浙江省台州市部分学校2025届高三上学期年1月期末联考数学试题，共12页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题卷，在中，，且，则的值不可以是，函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分（共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.命题p：，都有，则命题P的否定是（ ）
A.，使得B.，使得
C.，使得D.，使得
3.已知，（i为虚数单位），则（ ）
A.B.4C.D.2
4.下表为国家统计局统计的2014年～2023年我国各级各类学校教职工数的统计数据：
则在这10年的时间里，教职工数的增长率（增长率×100%）最高的是（ ）
A.高等学校B.高中阶段C.初中阶段D.小学阶段
5.下列选项中的圆既与轴相切又与直线相切的是（ ）
A.B.
C.D.
6.在空间四边形ABCD中，，三棱锥的体积的最大值等于（ ）
A.2B.C.1D.
7.对于平面凸四边形ABCD，若，，则四边形ABCD的面积为（ ）
A.B.C.D.大小不确定
8.在中，，且，则的值不可以是（ ）
A.B.C.1D.2
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.以下四个正方体中，满足平面CDE的有（ ）
A.B.C.D.
10.函数，则（ ）
A.B.的单调递增区间为
C.最大值为D.有两个零点
11.甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（ ）
A.，是互斥事件B.，是独立事件
C.D.
非选择题部分（共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.已知，则_______.
13.在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于轴对称，若，则_______.
14.已知右焦点为F的椭圆上的三点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若于点F，且，则E的离心率是_______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且满足.
（1）求C的值；
（2）若，求的值.
16.（本小题满分15分）如图，在直四棱柱中，，，，，点E和F分别在侧棱、上，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线AD与平面所成角的正弦值.
17.（本小题满分15分）已知数列满足（e为自然对数的底），且.
（1）当时，令，求的通项公式及其前n项和；
（2）当时，令，，，求的值.
18.（本小题满分17分）“石头、剪刀、布”是我们小时候常玩的游戏，游戏规则如下：
①石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；
②两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时都出相同的手势或者三种手势都出现为平局.
现有人玩游戏.
（1）分别求3人，4人玩一轮游戏，平局的概率、；
（2）求人玩一轮游戏，平局的概率（结果用n表示）；
（3）设当时，玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者的概率.
19.（本小题满分17分）对于一个函数和两个点，，给出如下定义：记：，若满足，则称P是M，N视角下的“基于的回点”.
（1）若，点，，求：M，N视角下的基于的回点P的坐标；
（2）若，，对于点，，若M，N视角下的“基于的回点”恰有两个，记为，，求证：直线，的斜率.
2014年
2015年
2016年
2017年
2018年
2019年
2020年
2021年
2022年
2023年
高等学校教职工数（万人）
234
237
240
244
249
257
267
275
284
292
高中阶段教职工数（万人）
365
365
368
375
381
391
403
395
407
418
初中阶段教职工数（万人）
396
398
400
408
420
435
450
469
475
482
小学阶段教职工数（万人）
549
549
554
565
573
585
597
622
625
626
高三数学答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1-5：DBCAC 6-8：CAA
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.ABD 11.AD
【11题解析】依题意，因为每次只摸出一个球，，所以，是互斥事件，A正确；，，，，B错误；
，C错误；
，D正确.故选AD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上.
12.24313.14.
【14题解析】设椭圆的左焦点为，连接、、，设，由对称性知：，所以，，因为，所以，在中，，即，解得，在中，，将代入上式，得.故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤.
解：（1）法1：由可得：
化简得：
进一步整理得：
.
又已知锐角，，；
法2：先证明
由正弦定理得：
由，可得：，；
（直接应用，无证明，答案正确扣3分）
（2），得，
（答案对5分，答案错的情况下，有切化弦2分，有两角和差公式1分，有应用正余弦定理1分）
（数量积公式正确得2分）
16.解：（1）证明：如图所示，分别取线段，的中点M，N，
连结MN、AM、EN，则MN是梯形的中位线，
故，且，
因为，，所以，且，
所以四边形AEMN是平行四边形，所以，
同理可证四边形AMCB是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面
（2）解：以点A为坐标原点，、所在直线分别为x、z轴，过点A且垂直于AB的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
（含建系1分，点坐标2分；点坐标有错酌情扣1分）
所以，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，得，，则，
（答案对得3分，答案错有求法向量的过程酌情扣1分）
设直线AD与平面所成角为，
所以，（答案对得2分，答案错公式对得1分）
故直线AD与平面所成角的正弦值为.
17.解：（1），，即，
又，是首项为1，公比为2的等比数列
，
（2）当时，，
（答案错，有裂项相消思想给1分）
又，
（答案错，有累乘思想给1分）
.
18.解：（1），
（全对得4分，错一个得2分，全错得0分）
（2）由于平局的情况比较多，我们可以考虑n人玩游戏分出胜负的概率，
；
其中表示分出胜负的三种情况，即n人只出了①石头，剪刀；②石头，布；③剪刀，布，此时分胜负，而分出胜负与平局是对立事件，
故
（答案正确得6分，不正确的情况下，有考虑对立事件想法得2分，其他酌情给分）
（3）解法一：由于5人玩2轮游戏，最终决出唯一获胜者
情形一：第一轮平局，第二轮决出唯一获胜者
此时；
情形二：第一轮淘汰1位游戏者，第二轮淘汰3位游戏者，决出唯一获胜者
此时；
情形三：第一轮淘汰2位游戏者，第二轮淘汰2位游戏者，决出唯一获胜者
此时；
情形四：第一轮淘汰3位游戏者，第二轮淘汰1位游戏者，决出唯一获胜者
此时；
综上所述：
（答案正确得7分，答案不正确的情况下，每算对一个情形得2分，没有一个情形算对，但有分情形考虑得1分）
解法二：记表示n个人玩一轮游戏，恰好剩m人的概率，
当时，；
当时，；
（答案正确得5分，答案不正确的情况下，每算对一个情形得3分）
5人2轮游戏决出唯一获胜者的概率，
19.解：（1）注意到，当且仅当点P在线段MN上时，等号成立，即M，N视角下的基于的回点P只能在线段，与的交点上.
因为既在线段MN上，又在图像上，故是回点；
下证明与有且只有一个交点.
构造，现证明只有一个零点.
，，在上单调递增.
由于
在区间上单调递减，在上单调递增，
.因此只有一个零点，即M，N视角下的“基于的回点”个数有且只有一个，是.
（2），由椭圆的定义可知P是椭圆与的交点，
设，，其中.
由对数不等式：若，，则.
取，，得.
.①
将和相减，
得，
.②
再将和相加，得.③
注意到：时，由知，
结合①，②，③，知
，
，，，
本小题用数形结合找极限位置去做更方便.
，，故
（若有不同解法，酌情给分）