初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）10.1 二元一次方程组的概念课后复习题

这是一份初中数学人教版（2024）七年级下册（2024）10.1 二元一次方程组的概念课后复习题，共13页。试卷主要包含了若x|a|﹣1﹣等内容，欢迎下载使用。
1．已知x=2y=3是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
A．14B．11C．7D．4
2．方程组x+y=32x+y=☆的解为x=4y=O，则☆，O分别为（ ）
A．9，﹣1B．9，1C．7，﹣1D．5，1
3．若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．±2B．2C．0D．﹣2
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．3x−y=52y−z=6B．x+3=1y=x2
C．5x+2y=1xy=−1D．x+y=2y−2x=4
5．数学课堂上，老师要求写出一个以x=2y=3为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（ ）
A．3x+y=24x−y=11B．3x−y=32x+y=1
C．x+y=−12x−y=11D．x−y=−12x−y=1
二．填空题（共5小题）
6．若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为 ．
7．若x=2y=−1是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝ ．
8．x=2y=−3是方程ax+y＝1的解，则a＝ ．
9．已知x=1y=2是方程ax+by＝4的解，则代数式2a+4b﹣2024的值为 ．
10．已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 ．
三．解答题（共5小题）
11．（1）若在方程2x﹣y=13的解中，x，y互为相反数，求xy的值；
（2）已知x=2y=1是方程组2x+(m−1)y=2nx+y=1的解，求m+n的值．
12．关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式，其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）．
（1）二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为 ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），若x=m+ny=m+5为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值．
13．已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值．
14．对于二元一次方程2x﹣y＝3的任意一个解x=ay=b，给出如下定义：若|a|＞|b|，则称|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”；若|a|＝|b|，则称|a|或|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若|a|＜|b|，则称|a|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”．
（1）当a＝2时，此方程的“和谐值”是 ，二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是 ；
（2）若二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解；
（3）当a＝m+1（m≥2）时，探究方程2x﹣y＝3是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由．
15．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值；
（3）若关于x，y的方程组x∗y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值；
（4）若关于x，y的方程组a1x∗b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=12y=5，直接写出关于x，y的方程组4a1(x+y)∗5b1(x−y)=3c14a2(x+y)⊗5b2(x−y)=3c2的解．
参考答案
一．选择题（共5小题）
1．已知x=2y=3是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝7的解，则代数式4m+6n﹣3的值是（ ）
A．14B．11C．7D．4
【分析】把x=2y=3代入mx+ny＝7，求出2m+3n的值，再把所求代数式化成含有2m+3n的形式，最后整体代入进行计算即可．
【解答】解：把x=2y=3代入mx+ny＝7得：2m+3n＝7，
∴4m+6n﹣3
＝2（2m+3n）﹣3
＝2×7﹣3
＝14﹣3
＝11，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题关键是熟练掌握二元一次方程解的定义．
2．方程组x+y=32x+y=☆的解为x=4y=O，则☆，O分别为（ ）
A．9，﹣1B．9，1C．7，﹣1D．5，1
【分析】把x＝4代入x+y＝3，可确定O的值，再把x＝4，y＝﹣1代入可确定☆的值．
【解答】解：把x＝4代入x+y＝3，得y＝﹣1，
∴O表示的是﹣1，
把x＝4，y＝﹣1代入2x+y＝☆，得☆＝7，
即☆＝7，O＝﹣1，
故选：C．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确解答的关键．
3．若x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（ ）
A．±2B．2C．0D．﹣2
【分析】根据二元一次方程的定义可得|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵x|a|﹣1﹣（a﹣2）y+3＝0是关于x，y的二元一次方程，
∴|a|﹣1＝1，且a﹣2≠0，
解得：a＝﹣2，
故选：D．
【点评】本题考查二元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握相关定义是解题的关键．
4．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A．3x−y=52y−z=6B．x+3=1y=x2
C．5x+2y=1xy=−1D．x+y=2y−2x=4
【分析】根据二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组进行分析即可．
【解答】解：A、该方程组中含有3个未知数，属于三元一次方程组，故此选项错误；
B、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
C、该方程组中未知数的最高次数是2，属于二元二次方程组，故此选项错误；
D、该方程组符合二元一次方程组的定义，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组，关键是掌握二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
5．数学课堂上，老师要求写出一个以x=2y=3为解的二元一次方程组，下面方程组中符合条件的方程组是（ ）
A．3x+y=24x−y=11B．3x−y=32x+y=1
C．x+y=−12x−y=11D．x−y=−12x−y=1
【分析】根据二元一次方程组的解的定义逐项判断即可．
【解答】解：A、把x=2y=3代入方程组3x+y=24x−y=11中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意；
B、把x=2y=3代入方程组3x−y=32x+y=1中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意；
C、把x=2y=3代入方程组x+y=−12x−y=11中，两个方程都不成立，故不是方程组的解，故此选项不符合题意；
D、把x=2y=3代入方程组x−y=−12x−y=1中，两个方程都成立，故是方程组的解，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解就是使方程组中的每一个方程都成立的未知数的值．
二．填空题（共5小题）
6．若关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，则n的值为 ﹣1 ．
【分析】由二元一次方程的定义可知x，y的次数为1，据此可列出方程，并求解．
【解答】解：∵关于x，y的方程（n﹣1）x|n|+3y＝0是二元一次方程，
∴|n|＝1且n﹣1≠0，
解得n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】此题考查二元一次方程定义，绝对值，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的次数都为一次；（3）方程是整式方程．
7．若x=2y=−1是关于x、y的方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n的公共解，则m+n＝ 7 ．
【分析】把x与y的值分别代入已知两个方程中计算求出m与n的值，代入计算即可求出m+n的值．
【解答】解：把x=2y=−1分别代入方程3x﹣2y＝2m和5x+y＝3n得：6+2＝2m，10﹣1＝3n，
解得：m＝4，n＝3，
则m+n＝4+3＝7．
故答案为：7．
【点评】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
8．x=2y=−3是方程ax+y＝1的解，则a＝ 2 ．
【分析】根据二元一次方程的解的定义把x=2y=−3代入方程ax+y＝1中即可求出a的值．
【解答】解：把x=2y=−3代入方程ax+y＝1中，得2a﹣3＝1，
解得a＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．
9．已知x=1y=2是方程ax+by＝4的解，则代数式2a+4b﹣2024的值为 ﹣2016 ．
【分析】根据二元一次方程的解的定义，得出a+2b＝4，整体代入代数式求值即可求解．
【解答】解：∵x=1y=2是方程ax+by＝4的解，
∴a+2b＝4，
∴2a+4b﹣2024
＝2（a+2b）﹣2024
＝2×4﹣2024
＝﹣2016，
故答案为：﹣2016．
【点评】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
10．已知关于x，y的二元一次方程（3x﹣2y+9）+m（2x+y﹣1）＝0，不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是 x=−1，y=3 ．
【分析】该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，再分别令3+2m＝0和m﹣2＝0时求解方程即可．
【解答】解：该方程变形为（3+2m）x+（m﹣2）y＝m﹣9，
当3+2m＝0时，解得m=−32，
将m=−32代入方程得，0×x+（−32−2）y=−32−9，
解得y＝3；
当m﹣2＝0时，解得m＝2，
将m＝2代入方程得，（3+2×2）x+0×y＝2﹣9，
解得x＝﹣1，
∴不论m取何值，方程总有一个固定不变的解，这个解是x=−1y=3，
故答案为：x=−1y=3．
【点评】此题考查了解决含字母参数的二元一次方程组的能力，关键是能准确理解题意并能用特殊值法求解．
三．解答题（共5小题）
11．（1）若在方程2x﹣y=13的解中，x，y互为相反数，求xy的值；
（2）已知x=2y=1是方程组2x+(m−1)y=2nx+y=1的解，求m+n的值．
【分析】（1）根据题意列出方程组2x−y=13x+y=0，求出x、y的值，再计算xy即可；
（2）根据方程组的解的定义把x=2y=1代入方程组2x+(m−1)y=2nx+y=1，即可求出m、n的值，从而求出m+n的值．
【解答】解：（1）∵x，y互为相反数，
∴x+y＝0，
∴2x−y=13x+y=0，
解得x=19y=−19，
∴xy=19×(−19)=−181；
（2）把x=2y=1代入方程组2x+(m−1)y=2nx+y=1得，
4+m−1=22n+1=1，
解得m=−1n=0，
∴m+n＝﹣1+0＝﹣1．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
12．关于x，y的二元一次方程均可以变形为ax+by＝c的形式，其中a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c）．
（1）二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为 （4，﹣3，5） ；
（2）已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），若x=m+ny=m+5为该方程的一组解，且m，n均为正整数，求m，n的值．
【分析】（1）根据关联系数的定义进行解答即可；
（2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为2x﹣y＝1，把x=m+ny=m+5代入，得出m+2n＝6，根据m、n均为正整数，求出结果即可．
【解答】解：（1）∵a，b，c均为常数且a≠0，b≠0，规定：方程ax+by＝c的“关联系数”记为（a，b，c），
∴二元一次方程4x﹣3y＝5的“关联系数”为（4，﹣3，5）；
故答案为：（4，﹣3，5）；
（2）∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为（2，﹣1，1），
∴二元一次方程为2x﹣y＝1．
∵x=m+ny=m+5为该方程的一组解，m，n均为正整数，
∴2（m+n）﹣m﹣5＝1，即m+2n＝6．
∴m=4n=1或m=2n=2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法．
13．已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值．
【分析】根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值．
【解答】解：依题意，得a−2=1a−b+3=1，
解得a=3b=5，
故（a﹣b）3＝（﹣2）3＝﹣8．
【点评】此题考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．
14．对于二元一次方程2x﹣y＝3的任意一个解x=ay=b，给出如下定义：若|a|＞|b|，则称|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”；若|a|＝|b|，则称|a|或|b|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”，此时的“和谐值”又称为“和谐平衡值”；若|a|＜|b|，则称|a|为方程2x﹣y＝3的“和谐值”．
（1）当a＝2时，此方程的“和谐值”是 1 ，二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是 1或3 ；
（2）若二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐值”为5，写出所有满足条件的方程的解；
（3）当a＝m+1（m≥2）时，探究方程2x﹣y＝3是否有最小“和谐值”，若有，求出最小“和谐值”，若没有，请说明理由．
【分析】（1）依据题意，当a＝2时，即x＝2，可得y＝b＝1，从而|a|＞|b|，进而可以判断得解；当二元一次方程2x﹣y＝3存在“和谐平衡值”时，|a|＝|b|，即|x|＝|y|，则y＝±x，从而分两种情形分析计算可以得解；
（2）依据题意，结合二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐值”为5，可分x＝5、x＝﹣5、y＝5和y＝﹣5四种情况讨论分析，进而计算可以得解；
（3）依据题意，当a＝m+1时，可得y＝b＝2x﹣3＝2（m+1）﹣3＝2m﹣1，再结合m≥2，可得|a|＝a＝m+1，|b|＝b＝2m﹣1，及b≥a，从而分m＝2和m＞2进行分析判断可以得解．
【解答】解：（1）由题意，当a＝2时，即x＝2，
∴y＝1．
∴b＝1．
∴|a|＞|b|．
∴当a＝2时，此方程的“和谐值”是1；
由题意，当二元一次方程2x﹣y＝3存在“和谐平衡值”时，|a|＝|b|，
∴|x|＝|y|．
∴y＝±x．
①当y＝x时，2x﹣x＝3，
∴x＝y＝3．
∴|a|＝|b|＝3．
∴此时二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是3．
②当y＝﹣x时，2x+x＝3，
∴x＝1，y＝﹣1．
∴|a|＝|b|＝1．
∴此时二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是1．
综上，二元一次方程2x﹣y＝3的“和谐平衡值”是1或3．
故答案为：1；1或3．
（2）由题意，①当x＝5时，即2×5﹣y＝3，解得y＝7，
又|7|＝7＞|5|＝5，
∴5是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为x=5y=7．
②当x＝﹣5时，即2×（﹣5）﹣y＝3，解得y＝﹣13，
又|﹣13|＝13＞|﹣5|＝5，
∴5是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，符合题意；此时方程的解为x=−5y=−13．
③当y＝5时，即2x﹣5＝3，解得x＝4，
又|5|＝5＞|4|＝4，
∴4是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，不符合题意；
④当y＝﹣5，即2x+5＝3，解得x＝﹣1，
又|﹣5|＝5＞|﹣1|＝1，
∴1是方程2x﹣y＝3的“和谐值”，不符合题意．
综上所述，所有满足条件的方程的解为x=5y=7，x=−5y=−13．
（3）当a＝m+1时，
∴y＝b＝2x﹣3＝2（m+1）﹣3＝2m﹣1．
∵m≥2，
∴a＝m+1≥3，b＝2m﹣1≥3．
∴|a|＝a＝m+1，|b|＝b＝2m﹣1，
又b﹣a＝（2m﹣1）﹣（m+1）＝2m﹣1﹣m﹣1＝m﹣2≥0，
∴b≥a．
∴①当m＝2时，a＝b，即|a|＝|b|，
此时方程2x﹣y＝3的“和谐值”为3．
②当m＞2时，b＞a，即|a|＜|b|，
此时方程2x﹣y＝3的“和谐值”为m+1，此时m+1＞3．
∴方程2x﹣y＝3最小“和谐值”为3．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解、绝对值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
15．对于有理数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by，x⊗y＝ax﹣by，其中a，b是常数．已知3*2＝﹣1，2⊗1＝4．
（1）求a，b的值；
（2）若x*y+x⊗y＝10，求x的值；
（3）若关于x，y的方程组x∗y=8+mx⊗y=5m的解也满足方程x﹣y＝6，求m的值；
（4）若关于x，y的方程组a1x∗b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=12y=5，直接写出关于x，y的方程组4a1(x+y)∗5b1(x−y)=3c14a2(x+y)⊗5b2(x−y)=3c2的解．
【分析】（1）利用新定义列出关于a、b方程组，解方程组求出a、b的值．
（2）将a、b的值代入x*y+x⊗y＝10转化为x的一元一次方程，解方程求出x的值．
（3））将a、b的值代入x∗y=8+mx⊗y=5m，得出关于x、y的方程组，消去m，再与x﹣y＝6组成新的方程组，求出x、y的值，再求出m即可．
（4）将x=12y=5代入⊗a1x∗b1y=c1a2x⊗b2y=c2得出新的方程组，整体代入得出新方程组的解．
【解答】解：（1）由题意，∵3*2＝﹣1，2⊗1＝4，
∴3a+2b=−12a−b=4．
∴a=1b=−2．
（2）由题意，∵x*y+x⊗y＝10，
∴ax+by+ax﹣by＝10．
∴2ax＝10．
又∵a＝1，
∴x＝5．
（3）由题意，方程组x∗y=8+mx⊗y=5m可化为x−2y=8+mx+2y=5m，
∴x=4+3my=m−2．
又∵x﹣y＝6，
∴4+3m﹣m+2＝6．
∴m＝0．
（4）由题意，∵方程组a1x∗b1y=c1a2x⊗b2y=c2可化为a1x−2b1y=c1a2x+2b2y=c2，而方程组4a1(x+y)∗5b1(x−y)=3c14a2(x+y)⊗5b2(x−y)=3c2可化为4a1(x+y)−10b1(x−y)=3c14a2(x+y)+10b2(x−y)=3c2，
即a1⋅43(x+y)−2b1⋅53(x−y)=c1a2⋅43(x+y)+2b2⋅53(x−y)=c2，
又方程组a1x∗b1y=c1a2x⊗b2y=c2的解为x=12y=5，
∴43(x+y)=1253(x−y)=5．
∴x=6y=3．
∴方程组4a1(x+y)∗5b1(x−y)=3c14a2(x+y)⊗5b2(x−y)=3c2的解为x=6y=3．
【点评】本题二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解题时要熟练掌握新定义运算，并准确计算是关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/2/8 11:28:45；用户：永州综合中专；邮箱：yzzh66@xyh.cm；学号：48626927