2025高考数学一轮复习-导数中的函数构造问题【课件】

这是一份2025高考数学一轮复习-导数中的函数构造问题【课件】，共51页。PPT课件主要包含了感悟提升，c＜a＜b，a＜b＜c，bca，e3＜π3＜3π，综上cba，课时分层精练，1＋∞，1e2，b＞a＞c等内容，欢迎下载使用。
近三年的高考数学试题都出现了比较大小问题，且是作为小题中的压轴题出现的，此类问题，通常需要构造函数，利用导数判断其单调性，从而使问题得以解决.
题型一　通过导数的运算法则构造
角度1　利用f(x)与ex构造例1 (2024·长沙联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＋f′(x)>0在R上恒成立，则不等式e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)的解集是____________.
解析　令g(x)＝exf(x)，则g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]>0，所以g(x)在R上单调递增，e2x＋1f(2x＋1)>e3－xf(3－x)，即g(2x＋1)>g(3－x)，
解析　由题意，令g(x)＝x2f(x)，x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)3，即g(x)>g(2)，∴原不等式的解集为(0，2).
当x＞0时，g′(x)＞0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
题型二　通过变量构造具体函数
例4 已知a＜5，且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则(　　)A.c＜b＜aB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.a＜b＜c
∵ae5＝5ea，a＜5，∴a＞0.同理b＞0，c＞0.
当0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增.∵f(5)＝f(a)，而0＜a＜5，故0＜a＜1.同理，0＜b＜1，0＜c＜1，f(4)＝f(b)，f(3)＝f(c).∵f(5)＞f(4)＞f(3)，∴f(a)＞f(b)＞f(c)，0＜a＜b＜c＜1.
若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解.
解析　构造函数f(x)＝ex－lnx，x∈(0，1)，
∴f(x)在(0，1)上不单调，无法判断f(x1)与f(x2)的大小，故A，B错误；
题型三　通过数值构造具体函数
当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减.
f′(x)≤0，f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(0.02)a>cD.a>c>b
解析　法一　易知ex≥x＋1，所以a＝e－0.1－1>－0.1＋1－1＝－0.1.
所以b＝－tan 0.1b；易知ln x≤x－1，所以c＝ln 0.9g(0)＝0，即有tan x>x(x>0)成立，
所以b＞c.故b＞c＞a.
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(2024·亳州质检)若函数y＝f(x)满足xf′(x)>－f(x)在R上恒成立，且a>b，则(　　)A.af(b)>bf(a)B.af(a)>bf(b)C.af(a)b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b)，故选B.
2.已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R，满足f(x)＋f′(x)e3f(3)　B.e2f(2)e2f(3)　D.e3f(2)0，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则(　　)A.4f(－2)9f(3)C.2f(3)>3f(－2)D.3f(－3)0，都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]>0恒成立，即g(x)在(0，＋∞)上单调递增，又由f(x)是定义在R上的偶函数，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)g(x)，即(11－x)ln(11－x)>xln x，
所以函数f(x)在[3，5]上单调递增.所以f(5)>f(4)>f(3)，即ln a>ln b>ln c，所以a>b>c.故选A.
15.已知正数x，y，z满足xln y＝yez＝zx，则x，y，z的大小关系为__________.
解析　由xln y＝yez＝zx，得xln y＝zx，则z＝ln y，得y＝ez，
令f(z)＝ez－z(z＞0)，则f′(z)＝ez－1＞0，所以函数f(z)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(z)＞f(0)＝e0－0＝1，所以ez＞z，即y＞z，
所以x＞y，综上， z ＜y＜x.
16.(2024·湖南名校联考)已知a＝2.12.3，b＝2.22.2，c＝2.32.1，则a，b，c的大小关系是_________(参考数据：ln 2.5≈0.916).
即2.3ln 2.1