2025高考数学一轮复习2.9对数函数【课件】

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1.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点. 2.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)互为反函数.
ZHISHIZHENDUANZICE
1.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝lgax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质
2.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________ (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换.
2.对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.即在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
解析　(1)形如y＝lgax(a＞0，且a≠1)为对数函数，故(1)错误.(3)若00，所以g(x)＝3－ax在区间[0，2]上为减函数.
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，且最大值为1？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
解　不存在.理由如下：假设存在这样的实数a.由题意，得f(1)＝1，即lga(3－a)＝1，
因为当x＝2时，f(x)无意义，所以这样的实数a不存在.
利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
(2)(2024·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)(　　)A.是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减B.是奇函数，且在(－3，3)上单调递减C.是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增D.是偶函数，且在(－3，3)上单调递增
解析　函数f(x)的定义域为{x|x≠3，且x≠－3}，则f(－x)＝ln |－x＋3|＋ln |－x－3|＝ln |x－3|＋ln |x＋3|＝f(x)，则f(x)是偶函数，排除B，C；f(x)＝ln |x＋3|＋ln |x－3|＝ln |x2－9|，令t＝|x2－9|，而y＝ln t为增函数，由复合函数单调的同增异减的原则，f(x)在(－∞，－3)上单调递减，A正确.
KESHIFENCENGJINGLIAN
解析　函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝lgax，又f(2)＝1，即lga2＝1，所以a＝2.故f(x)＝lg2x.
3.(多选)函数y＝lga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，且a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是(　　)A.a＞1B.0＜c＜1C.0＜a＜1D.c＞1
解析　由图象可知0＜a＜1，令y＝0得lga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由图象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.
解析　因为函数y＝lga(－x)的图象与函数y＝lgax的图象关于y轴对称，所以函数y＝lga(－x)的图象恒过定点(－1，0)，故A，B错误；当a>1时，函数y＝lgax在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝lga(－x)在(－∞，0)上单调递减，
6.(多选)函数f(x)＝lga|x－1|(a>0，且a≠1)在(0，1)上是减函数，那么(　　)A.f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值B.f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值C.f(x)在定义域内是偶函数D.f(x)的图象关于直线x＝1对称.
解析　因为函数f(x)＝lga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以f(x)＝lga(1－x)在(0，1)上为减函数，而y＝1－x是减函数，故a>1，所以当x>1时，f(x)＝lga(x－1)，而y＝x－1是增函数，且a>1，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，故A正确，B错误；又f(－x)＝lga|－x－1|＝lga|x＋1|≠f(x)，故C错误；因为f(2－x)＝lga|2－x－1|＝lga|x－1|＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，故D正确.
又ab＜0，所以a＋b＜ab，所以a＋b＜ab＜0.
9.已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a，＋∞)，则a＝________.
解析　由x2－2x－8＞0，得x＞4或x＜－2，所以f(x)的定义域为{x|x＞4，或x＜－2}.又μ＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，而y＝lg μ在定义域上单调递增，所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4，＋∞)，故a＝4.
解析　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，
11.已知函数f(x)＝lg2(1＋x)，g(x)＝lg2(1－x).(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
所以函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1).
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
解　函数f(x)－g(x)是奇函数.理由如下：因为函数f(x)－g(x)的定义域是(－1，1)，所以其定义域关于原点对称.又因为f(－x)－g(－x)＝lg2(1－x)－lg2(1＋x)＝－[lg2(1＋x)－lg2(1－x)]＝－[f(x)－g(x)]，所以函数f(x)－g(x)是奇函数.
(3)求使得不等式f(x)－g(x)>1成立的x的取值范围.
解　因为f(x)－g(x)>1，即lg2(1＋x)－lg2(1－x)>1，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(2，＋∞).
(2)若f(x)在区间[2，4]上是增函数，求实数a的取值范围.
因为g(x)在区间[2，4]上恒大于0，所以g(4)>0.
则此种情况不存在.综上所述，实数a的取值范围是(1，＋∞).
所以f(－x)＝ln(ex＋e－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数，B错误；当x＞0时，y＝ex＋e－x在(0，＋∞)上单调递增，因此y＝ln(ex＋e－x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；由于f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)的最小值为f(0)＝ln 2，D正确.
15.设实数a，b是关于x的方程|lg x|＝c的两个不同实数根，且a