2025年高考数学一轮复习讲义专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学一轮复习讲义专题21同角三角函数的基本关系及诱导公式(原卷版+解析)，共38页。
【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】3
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用3
【考点2】诱导公式的应用4
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用6
【分层检测】7
【基础篇】7
【能力篇】8
【培优篇】9
考试要求：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
三、解答题
6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
考点突破
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则 .
6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
【考点2】诱导公式的应用
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（ ）
A．3B．C．D．2
2．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．在上的值域为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．

6．（2024·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则 .
反思提升：
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）下列等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龙江·模拟预测）关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
三、填空题
5．（2024·福建厦门·一模）若，则 ．
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则 .
反思提升：
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正方体的外接球的球心为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（ ）
A．B．0C．D．
3．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东聊城·三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·重庆涪陵·模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的值为2D．
6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·全国·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题
8．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
10．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
四、解答题
11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．角的终边在第一象限
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
4．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的长.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2022·湖北武汉·三模）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）若，则的最大值为 ，的最小值为 ．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限
专题21 同角三角函数的基本关系及诱导公式（新高考专用）
目录
【知识梳理】2
【真题自测】2
【考点突破】6
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用6
【考点2】诱导公式的应用9
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用14
【分层检测】17
【基础篇】17
【能力篇】25
【培优篇】27
考试要求：
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cs2x＝1，eq \f(sin x,cs x)＝tan x.
2.能利用单位圆中的对称性推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
知识梳理
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f(sin α,cs α)＝tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z)).
2.三角函数的诱导公式
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α；sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
2．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·全国·高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国·高考真题）（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
三、解答题
6．（2023·全国·高考真题）在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
参考答案：
1．B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．A
【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出.
3．C
【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．
【详解】将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论．
4．D
【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.
【详解】由题意，
.
故选：D.
5．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
6．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
考点突破
【考点1】同角三角函数基本关系式的应用
一、单选题
1．（2024·四川眉山·三模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南三门峡·模拟预测）若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）已知角的终边过点，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·全国·模拟预测）美国数学史家、穆伦堡学院名誉数学教授威廉・邓纳姆在1994年出版的The Mathematical Universe一书中写道：“相比之下，数学家达到的终极优雅是所谓的‘无言的证明’，在这样的证明中一个极好的令人信服的图示就传达了证明，甚至不需要任何解释．很难比它更优雅了．”如图所示正是数学家所达到的“终极优雅”，该图（为矩形）完美地展示并证明了正弦和余弦的二倍角公式，则可推导出的正确选项为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）若，则 .
6．（2024·广东广州·二模）已知复数的实部为0，则 ．
参考答案：
1．A
【分析】先根据平方关系求出，再根据结合两角差的正弦公式即可得解.
【详解】因为，所以，有，
所以
.
故选；A.
2．A
【分析】由倍角公式可得，根据题意结合齐次式问题分析求解.
【详解】由题意可得：.
故选：A.
3．BD
【分析】先根据三角函数的定义求出的三角函数值，再结合二倍角的余弦公式和两角和的正切公式逐一计算即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以，，，
对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选：BD．
4．ACD
【分析】利用图形结合解直角三角形，二倍角正弦公式和三角形面积公式求解判断各个选项.
【详解】如图，
对于A，在中，，，又，
则，，
在中，可求得，
所以，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C，在中，因为，，则，故C正确；
对于D，，
，
所以，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】利用平方关系求出，又，利用两角差的余弦公式求解.
【详解】，则，
，
因此
.
故答案为：.
6．
【分析】利用复数的实部为0，求出，再利用二倍角公式得出结论．
【详解】复数的实部为0，
．
．
故答案为：．
反思提升：
1.(1)利用sin2α＋cs2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以实现角α的弦切互化.
(2)形如eq \f(asin x＋bcs x,csin x＋dcs x)，asin2x＋bsin xcs x＋ccs2x等类型可进行弦化切.
2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cs α，sin αcs α，sin α－cs α这三个式子，利用(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α，可以知一求二.
【考点2】诱导公式的应用
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏南通·期末）已知，则（ ）
A．3B．C．D．2
2．（16-17高三上·广西梧州·阶段练习）若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）下列选项中，与的值相等的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·海南海口·二模）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．在上的值域为
三、填空题
5．（2024·河北邯郸·二模）正五角星是一个非常优美的几何图形，其与黄金分割有着密切的联系，在如图所示的五角星中，以为顶点的多边形为正边边形，设，则 ， ．

6．（2024·湖南长沙·一模）已知O为坐标原点，过作x轴的垂线交直线于点B，C满足，过B作x轴的平行线交E：于点P（P在B的右侧），若，则 .
参考答案：
1．A
【分析】利用辅助角公式结合同角关系式结合条件可得，然后利用诱导公式求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
又，所以，所以，
所以，故.
故选：A
2．D
【分析】由诱导公式可得，结合诱导公式和二倍角的余弦公式计算即可求解.
【详解】由，得，
则.
故选：D.
3．ABD
【分析】求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用二倍角的正切求值判断D.
【详解】因为，
对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，因为，可得，故D正确.
故选：ABD.
4．AC
【分析】A选项，先根据图象求出最小正周期，进而得到；B选项，求出，代入求出，得到函数解析式，计算出，B错误；C选项，利用诱导公式得到C正确；D选项，整体法求出函数的值域.
【详解】A选项，设的最小正周期为，则，
故，
因为，所以，A正确；
B选项，由图象可知，，，
将代入解析式得，
故，故，
因为，所以，
故，
，故的图象不关于点中心对称，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，，
故，D错误.
故选：AC
5． 0 /0.0625
【分析】由正五角星的性质，求得，进而根据诱导公式及二倍角公式计算即可.
【详解】正五角星可分割成5个3角形和1个正五边形,五个3角形各自角度之和
正五边形的内角和；每个角为，
三角形是等腰三角形，底角是五边形的外角，即底角为，
三角形内角和为，那么三角形顶角，即五角星尖角，
即.
;
因为,
所以.
故答案为：；.
6．/
【分析】由条件求出点的坐标，证明，，由此可得，列方程求，由此可求，再求.
【详解】依题意不妨设，则，，
因为，所以，
所以，又，
所以，，
所以，即，设，则，，
所以，所以，，
即，所以，
由得，
解得，所以，
所以，
在中，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是结合三角函数，平面几何相关结论找到角，之间的关系.
反思提升：
(1)诱导公式的两个应用
①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
(2)含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cs(5π－α)＝cs(π－α)＝－cs α.
【考点3】同角关系式和诱导公式的综合应用
一、单选题
1．（2024·福建南平·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·福建厦门·三模）已知，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
3．（23-24高一上·河南三门峡·期末）下列等式正确的有（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·黑龙江·模拟预测）关于函数的图象和性质，下列说法正确的是（ ）
A．是函数的一条对称轴
B．是函数的一个对称中心
C．将曲线向左平移个单位可得到曲线
D．函数在的值域为
三、填空题
5．（2024·福建厦门·一模）若，则 ．
6．（2023·河南郑州·模拟预测）已知，则 .
参考答案：
1．A
【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角的余弦公式和诱导公式化简代入即可得出答案.
【详解】因为，所以，
解得：，
.
故选：A.
2．C
【分析】由可得，再利用整体思想结合诱导公式与二倍角公式计算即可得.
【详解】由，则，则，
，
则，由，故.
故选：C.
3．ABD
【分析】利用诱导公式和三角恒等变换等知识求得正确答案.
【详解】对A，，A选项正确；
对B，，B选项正确；
对C，，C选项错误；
对D，
，所以D选项正确.
故选：ABD
4．ABD
【分析】化简函数解析式，整体代入法或验证法求函数对称轴和对称中心判断选项AB，利用图象平移的规则判断选项C，结合函数解析式求解区间内函数的值域判断选项D.
【详解】依题意，因为
令，，当时，，
所以是函数的一条对称轴，所以选项正确；
（另解：因为，即当时，函数取得最大值，所以是函数的一条对称轴）；
令，，当，
所以是函数的一个对称中心，所以选项正确；
（另解：因为，即是函数的零点，所以是函数的一个对称中心）．
因为，
又将曲线向左平移个单位可得到曲线，所以选项不正确；
因为，
当， 有，则，
得函数的值域为，所以选项正确.
故选：ABD
5．/
【分析】
应用诱导公式有，即可求值.
【详解】.
故答案为：
6．
【分析】应用和角余弦公式得，利用诱导公式、倍角余弦公式得，即可得答案.
【详解】，所以，
则.
故答案为：
反思提升：
1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq \f(π,3)－α与eq \f(π,6)＋α，eq \f(π,3)＋α与eq \f(π,6)－α，eq \f(π,4)＋α与eq \f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq \f(π,6)－θ与eq \f(5π,6)＋θ，eq \f(π,3)＋θ与eq \f(2π,3)－θ，eq \f(π,4)＋θ与eq \f(3π,4)－θ等.
分层检测
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知正方体的外接球的球心为，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知，则（ ）
A．B．0C．D．
3．（2024·浙江绍兴·二模）若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·山东聊城·三模）已知，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
5．（2022·重庆涪陵·模拟预测）已知向量，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．的值为2D．
6．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）计算下列各式的值，其结果为2的有（ ）
A．B．
C．D．
7．（2020·全国·模拟预测）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为
C．的最大值为D．的最大值为
三、填空题
8．（2024·北京顺义·二模）在中，，，，则的面积为 .
9．（2024·河北承德·二模）已知，则 .
10．（2024·安徽池州·模拟预测）筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为米的筒车按逆时针方向做每分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，分钟时，该盛水筒距水面距离为，则 .
四、解答题
11．（21-22高二下·吉林·阶段练习）已知，
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
12．（22-23高一上·安徽黄山·阶段练习）（1）已知角终边上一点，求的值；
（2）化简求值：
参考答案：
1．D
【分析】根据正方体的体对角线以及面对角线长，即可利用余弦定理求解，由同角关系即可求解.
【详解】设正方体的棱长为，则，
易知正方体的外接球的球心为体对角线的中点，
.
在中，由余弦定理可得
由于，，
故选：D.
2．C
【分析】利用两角差的正切公式计算可得，结合切弦互化即可求解.
【详解】由，得，
解得，
所以.
故选：C
3．D
【分析】由降幂公式求出，再结合诱导公式求解即可．
【详解】由已知得，，即，
则，
故选：D．
4．A
【分析】先利用整体思想结合诱导公式与二倍角余弦公式计算得，然后由及可得，即可求得.
【详解】因为，所以，
所以，
则，即，
由，则，由，得，故，
所以，则，故.
故选：A
5．BD
【分析】先根据向量加法，可直接求出.
对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可；
对选项，直接求出余弦值；
对选项，直接求出向量的模；
对选项，直接求出正弦值.
【详解】根据向量的加法可得：
根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：.
对选项，，则有：，故选项错误；
对选项，则有：，故选项正确；
对选项，，则有：
故有：，故选项错误；
对选项，则有：，故选项正确.
故选：BD.
6．ABC
【分析】利用和角公式可求值验证A项，运用辅助角公式和诱导公式可得B项，运用两角和的正切公式可以验证C项，利用倍角公式和诱导公式可以判定D项.
【详解】对于选项A，，故A项正确；
对于选项B，，故B项正确；
对于选项C，
，故C项正确；
对于选项D，
，故D项错误．
故选：ABC．
7．BD
【分析】令，利用换元法将函数转化为分式函数，即可根据函数单调性求得函数最值.
【详解】设，
由，得，则，
又由，得，
所以，
又因为函数和在上单调递增，
所以在上为增函数，
，，
故选：.
【点睛】本题考查之间的关系，涉及利用函数单调性求最值，属综合基础题.
8．
【分析】将两边平方，结合余弦定理可得，利用平方关系求出即可得解.
【详解】由余弦定理得①，
又，得②，
联立①②解得，
因为，，所以，
所以.
故答案为：
9．/
【分析】利用三角恒等变换化简算式得，已知，由正切的倍角公式求出即可求得结果.
【详解】，，
所以，
而，
因此原式.
故答案为：.
10．3
【分析】由题意得，，，又时，，代入求值，得到，求出函数解析式，求出答案.
【详解】由题意得，又，故，
且，解得，
故，
当时，，即，，
又，解得，
故，
所以
.
故答案为：3
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据角的范围确定，即可由一元二次方程求解，
（2）（3）根据弦切齐次式即可求解.
【详解】（1）由于，所以，
又得，
解得或（舍去），
故
（2）
（3）
12．（1）；（2）2
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，利用诱导公式化简后，代入，求出答案；
（2）利用对数运算法则计算出结果.
【详解】（1）因为角终边上一点，
所以，
所以
（2）
.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·湖南常德·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
2．（2024·浙江温州·二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，为其终边上一点，若角的终边与角的终边关于直线对称，则（ ）
A．B．
C．D．角的终边在第一象限
三、填空题
3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）已知，是方程的两个根，则 ．
四、解答题
4．（2023·贵州·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，.
(1)求；
(2)若，，在上，且，求的长.
参考答案：
1．A
【分析】使用诱导公式和二倍角公式，结合已知条件即可求解.
【详解】
.
故选：A.
2．ACD
【分析】
根据三角函数的定义，可求角的三角函数，结合诱导公式判断A的真假；利用二倍角公式，求出的三角函数值，结合三角函数的概念指出角的终边与单位圆的交点，由对称性确定角终边与单位圆交点，从而判断BCD的真假.
【详解】因为角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
所以：，所以，，所以，故A对；
又，
，
所以的终边与单位圆的交点坐标为：，
因为角的终边与角的终边关于直线对称，所以角的终边与单位圆的交点为，
所以，且的终边在第一象限，故CD正确；
又因为终边在直线的角为：，角的终边与角的终边关于对称，
所以，故B错误.
故选：ACD
3．
【分析】利用韦达定理可得，，再利用两角和差公式和三角函数的商数关系求解即可.
【详解】因为，是方程的两个根，
所以，，则，
所以．
故答案为：
4．(1)
(2)
【分析】（1）根据二倍角公式和同角三角函数关系化简已知条件即可求解；
（2）根据同角三角函数关系得，由向量加法运算得，
平方化简即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，由得，
即，平方化简得，所以.
（2）由题意，所以，即,
又由（1）知，，
又因为，所以，
所以，
所以.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
2．（2022·湖北武汉·三模）高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．若函数，则的值域为
C．若函数，则的值域为
D．，
三、填空题
3．（2023·全国·模拟预测）若，则的最大值为 ，的最小值为 ．
参考答案：
1．D
【分析】先根据题意分别求出，再根据平方关系求出的关系，再利用基本不等式即可得解.
【详解】因为三个锐角满足，
所以，
则，
所以，
整理得，
又，
于是解得，
当且仅当时取等号，
所以的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：根据求出，再根据平方关系求出的关系是解决本题的关键.
2．AC
【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断BD；变形函数式，分类讨论判断C即可.
【详解】对于A，，，有，
则函数在上单调递增，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，
，
当时，，，有，
当时，，，有，
综上：的值域为，故C正确；
对于D，当时，，有，故D错误.
故选：AC.
【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是利用三角函数的基本关系式将函数化为，从而结合高斯函数的定义即可得解.
3． 9 1
【分析】借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值.
【详解】因为，
所以
，
此式可看作点到点的距离．
而点的轨迹是圆．
又点到圆心的距离为2，所以的最大值，的最小值．
故答案为：9；1
【点睛】将所给函数式展开必将陷入命题人的圈套，此时要整体把握目标，借助诱导公式将函数式转化，再利用两点间的距离公式将数转化为形，利用形的直观来求最值，既简单又节省时间．本题不仅要求学生具备扎实的基本功，具有整体把握目标的能力，还对学生分析问题和解决问题的能力、逻辑推理能力、运算求解能力等要求较高．
公式
一
二
三
四
五
六
角
2kπ＋α(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
eq \f(π,2)－α
eq \f(π,2)＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin__α
sin__α
cs__α
cs__α
余弦
cs α
－cs__α
cs__α
－cs__α
sin__α
－sin__α
正切
tan α
tan__α
－tan__α
－tan__α
口诀
奇变偶不变，符号看象限