2025年高考数学第一轮复习考点巩固考点巩固卷10平面向量(六大考点)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点巩固考点巩固卷10平面向量(六大考点)(原卷版+解析)，共62页。试卷主要包含了下列说法中不正确的是，设，是不共线的两个非零向量.，设是不共线的两个非零向量等内容，欢迎下载使用。

考点01：共线定理
定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线.
证明:(1)由三点共线.由得
.
即，共线，故三点共线.
(2)由三点共线.
由三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
1．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
2．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
3．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最大值为
C．的最大值为12D．的最小值为4
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则与共线
C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
5．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．
6．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
7．设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若，，，且，求实数的值.
8．如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．
(1)求的正弦值；
(2)当点为中点时，求的余弦值．
(3)当取得最小值时，设，求的值．
9．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？
10．如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.
(1)当时，用，表示；
(2)求的值，并求最小值.
考点02：投影向量的求算
1、投影向量的定义
如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，
那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；
理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；
特殊地，如图，若两个向量共起点；
即：，过点作直线的垂线，垂足为，
则就是向量在向量上的投影向量；
2、投影向量的计算公式
以一点为起点，；
作：，把射线、的夹角称为向量、向量的夹角，记作：；
；
；
，又称向量垂直，记作；
（1） （2） （3）
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，
，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，
所以
所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
综上可知，对于任意的，都有；
3、数量投影的定义与求法
据图：如果令为向量的单位向量，那么
向量在向量方向上的向量投影为：；
其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影；
理解：（1）当时；实数（*）大于0；
（2）当时；实数（*）等于0；
（3）当时；实数（*）小于0；
特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；
11．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．
12．若，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
13．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
14．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
15．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
16．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则
D．若且，则
17．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
18．已知，．
(1)若且，求在方向上的投影向量；
(2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
19．已知向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求在上的投影向量（用坐标表示）
20．已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值.
考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
21．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
22．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
23．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．
C．与的面积之比为
D．与的面积之比为
24．的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，，则的外接圆半径
25．的内角的对边分别为，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，且，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，则的外接圆半径
26．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
27．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
28．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的有两个
C．若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D．已知是内一点，若分别表示的面积，则
29．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
30．已知在中，角所对的边分别为，若的面积，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积.
考点04：平面向量之三角形四心问题
一、四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
为的内心.
（2）外心：为的外心.
（3）垂心：为的垂心.
（4）重心：为的重心.
31．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ）
A．B．C．D．
32．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
33．已知，向量，，满足条件，．则 是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形
34．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
35．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
36．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
37．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．在平行四边形中，
C．在中，若，则是钝角三角形．
D．内有一点，满足，则点是三角形的重心
39．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
40．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为 .
考点05：极化恒等式解决向量数量积问题
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
41．在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（ ）
A．0B．C．D．1
42．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
43．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．B．C．D．
44．在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A．B．C．D．3
45．已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
46．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ．
47．如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 .
48．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．

49．如图，在△ABC中，，，，则 ．
50．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 .
考点06：等和线解决平面向量系数和问题
题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
51．如图，在中，若为上一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
52．如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．15
53．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
54．的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
55．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
56．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
57．已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
58．如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
59．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
60．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．
考点巩固卷10 平面向量（六大考点）
考点01：共线定理
定理1：已知，若，则三点共线；反之亦然
平面向量共线定理证明
若点互不重合，是三点所在平面上的任意一点，且满足，则三点共线.
证明:(1)由三点共线.由得
.
即，共线，故三点共线.
(2)由三点共线.
由三点共线得，共线，即存在实数使得.
故.令，则有.
1．已知是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】B
【分析】利用向量共线充要条件求出结果．
【详解】，
所以，所以三点共线，即B对．
同理，其它各项对应三点均不共线.
故选：B.
2．已知向量不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1B．C．1或D．或
【答案】A
【分析】由共线定理可知存在使得，然后由平面向量基本定理可得.
【详解】因为与同向共线，所以存在使得，
即，
又向量不共线，所以，解得（舍去）或.
故选：A
3．在中，为边上一点且满足，若为边上一点，且满足，，为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为1B．的最大值为
C．的最大值为12D．的最小值为4
【答案】BD
【分析】根据三点公式求得，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为，所以，
又，
因为、、三点共线，所以，
又，为正实数，所以，
当且仅当，即，时取等号，故A错误，B正确；
，
当且仅当，即，时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
4．下列说法中不正确的是（ ）
A．若，则，且四点构成平行四边形
B．若为非零实数，且，则与共线
C．在中，若有，那么点一定在角A的平分线所在直线上
D．若向量，则与的方向相同或相反
【答案】AC
【分析】根据四点共线即可判断A，根据共线定理即可求解B，根据单位向量的定义以及向量加法的运算法则，即可由角平分线求解C，根据零向量即可求解D.
【详解】对于A，线段上，为线段的三等分点，满足，且，
但四点不能构成平行四边形，A错误；
对于B，因为为非零实数，且，所以，所以与共线，B正确；
对于C，因为、分别表示向量、方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合，又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角A的平分线所在直线上，C正确；
对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，D错误.
故选：AC
5．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．
【答案】
【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，
而，于是得，
又点M，O，N共线，
因此，，即，又，解得，
所以.
故答案为：
6．如图，已知△ABC为等边三角形，点G是△ABC内一点．过点G的直线l与线段AB交于点D，与线段AC交于点E．设，，且，．
(1)若，求；
(2)若点G是△ABC的重心，设△ADE的周长为，△ABC的周长为．
（i）求的值；
（ii）设，记，求的值域．
【答案】(1)；(2)（i）3；（ii）．
【分析】（1）连接AG并延长，交BC于点F，设，则，由B，F，C三点共线可求得，则有，又，可求，，即可得出结果.
（2）（i）由题意得，，又D，G，E三点共线，所以，即可得解；（ii）设△ABC的边长为1，则，，在△ADE中，由余弦定理得，所以，结合化简，因为，所以，结合的范围及二次函数的性质求解即可得出的值域.
【详解】（1）连接AG并延长，交BC于点F，
设，则，
又B，F，C三点共线，所以，，
故，即，
则有，所以，
又，所以，所以.
（2）（i）连接AG并延长，交BC于点F，
因为G为重心，所以F为BC中点，所以，
所以
又D，G，E三点共线，所以，则．
（ii）设△ABC的边长为1，则，，（）
在△ADE中，，
所以，所以，
因为，，
所以，
因为，所以，
因为，，所以，，又，则有，
因为，所以，
因为，，所以的最小值为，最大值为，
所以，单调递增，则，
所以，即的值域为．
7．设，是不共线的两个非零向量.
(1)若，，，求证：，，三点共线；
(2)若，，，且，求实数的值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）首先求出，，根据平面向量共线定理得到，即可得证；
（2）首先求出，的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得.
【详解】（1）因为，，，
所以，
，
又，是不共线的两个非零向量，所以，所以，且有公共点，
所以，，三点共线；
（2）因为，，，
所以，，
又，所以，解得.
8．如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．
(1)求的正弦值；
(2)当点为中点时，求的余弦值．
(3)当取得最小值时，设，求的值．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）解法1、先利用余弦定理求得BC，再根据与互补，由，求得，然后在中，利用余弦定理求解；解法2、由，求得，再利用的面积为面积的求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，利用向量的夹角公式求解；
（2）方法1、在中，利用余弦定理，求得，再由为重心，得到，，然后在中，利用余弦定理求解；解法2：由，求得，再利用向量的夹角公式求解；解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系，再利用向量的夹角公式求解；
（3）设，由，则即时，取最小值，得到，再由，，得到，由A，，三点共线求解；
【详解】（1）解法1、由余弦定理得，
即，所以，
所以，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因为与互补，所以，解得，
在中，由余弦定理，得，
因为，所以．
解法2、由题意可得，，
由为边上的中线，则，
两边同时平方得，，
故，
因为为边中点，则的面积为面积的，
所以，
即，
化简得，．
解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系
则，，，
所以，，
所以，
因为，所以．
（2））解：方法1、在中，由余弦定理，
得，
所以，
由，分别为边，上的中线可知为重心，
可得，，
在中，由余弦定理，得，
又由，所以．
解法2：因为为边上的中线，所以，
，
，即．
所以．
解法3：以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点的垂线为轴，建立平面直角坐标系：
则，，，，
所以，．
所以．
（3）设，，
当即时，取最小值，
，
，，
，
，，三点共线，
.
9．设是不共线的两个非零向量．
(1)若，求证：三点共线；
(2)已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）根据已知条件结合向量加减法求出、，进而得出即可得证.
（2）先求出，根据向量垂直得，再结合向量运算法则计算即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
所以，又与有公共点，
所以A，B，C三点共线.
（2）由得，
因为向量与垂直，
所以，即，
整理得.
10．如图，在中，AQ为边BC的中线，，过点P作直线分别交边AB，AC于点M，N，且，，其中，.
(1)当时，用，表示；
(2)求的值，并求最小值.
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合为边的中线求解即可；
（2）结合（1）可得，再根据，求得，结合三点共线即可求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】（1）因为为边的中线，所以，
因为，，所以，，
所以，
即；
（2）由（1）可得，
因为，，
所以，，
，
由三点共线，得，
所以，
则，
当且仅当，即时，取等号，
所以最小值为.
考点02：投影向量的求算
1、投影向量的定义
如图：如果向量的起点和终点在直线上的投影分别为和，
那么向量叫做向量在直线上的投影向量（简称为：投影）；
理解：一个向量在一个非零向量的方向的投影，就是向量在向量的任意一条所在直线上的投影，因为这些直线都是平行的，所以，向量在一个非零向量的方向的投影是唯一确定的；
特殊地，如图，若两个向量共起点；
即：，过点作直线的垂线，垂足为，
则就是向量在向量上的投影向量；
2、投影向量的计算公式
以一点为起点，；
作：，把射线、的夹角称为向量、向量的夹角，记作：；
；
；
，又称向量垂直，记作；
（1） （2） （3）
当为锐角（如图（1））时，与方向相同，
，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时，与方向相反，
所以
所以；
当时，，所以；
当时，，所以；
综上可知，对于任意的，都有；
3、数量投影的定义与求法
据图：如果令为向量的单位向量，那么
向量在向量方向上的向量投影为：；
其中，实数（*）称为向量在向量方向上的数量投影；
理解：（1）当时；实数（*）大于0；
（2）当时；实数（*）等于0；
（3）当时；实数（*）小于0；
特别的：零向量在任何非零向量方向上的投影是零向量；而相应的数量投影的绝对值是该投影的模，因此，这个数量投影等于0；
11．向量与非零向量的夹角为，则在上的投影数量为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用投影数量的定义计算即得.
【详解】依题意，在上的投影数量为.
故选：A
12．若，则在方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由求得值，根据投影向量的定义公式计算即得.
【详解】由可得，，解得，则，
在方向上的投影向量为.
故选：D.
13．若向量，，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量的坐标运算可得，再结合投影向量的定义运算求解.
【详解】因为，，则，
所以在上的投影向量.
故选：B.
14．已知向量，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由模长公式可得，即可由投影向量的公式求解.
【详解】因为，所以，又因为，所以，所以在上的投影向量为.
故选:D.
15．空间向量在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据投影向量公式计算即可.
【详解】，，
由投影向量的定义和公式可知在的投影向量为，
故选：C.
16．下列关于向量的说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为
C．若与不共线，且，则
D．若且，则
【答案】BC
【分析】根据向量的线性运算及数量积的几何意义可判断各选项.
【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误；
B：向量在向量上的投影向量为，B正确；
C：若与不共线，且，则，C正确；
D：，则，又，
则，显然不能确定，D错误；
故选：BC.
17．已知向量，，则向量在方向上的投影向量的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算，结合投影向量的定义求解即得.
【详解】由，，得，
则，，
所以向量在方向上的投影向量.
故答案为：
18．已知，．
(1)若且，求在方向上的投影向量；
(2)若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据模长的坐标运算求得，再结合投影向量的定义分析求解；
（2）根据题意可知且与不共线，结合向量的坐标运算分析求解.
【详解】（1）因为，，则，
若且，则，解得，
则，，可得，
所以在方向上的投影向量.
（2）因为，．
若与的夹角为钝角，则且与不共线，
则，解得且，
所以实数m的取值范围为.
19．已知向量，，.
(1)若，求；
(2)若，求在上的投影向量（用坐标表示）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）把代入中，再根据的坐标去求模长即可；
（2）根据，把坐标代入计算求出的值，再列式求得在上的投影向量.
【详解】（1）当时，，，
∴.
（2）∵，∴，∴，
即，∴，即，
∴在上的投影向量为.
20．已知与的夹角为.
(1)求在方向上的投影向量；
(2)求的值.
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）根据向量在向量上的投影向量的概念求解；
（2）根据数量积的运算法则求模即可.
【详解】（1）在方向上的投影向量为.
（2）.
考点03：奔驰定理解决三角形面积比问题
奔驰定理---解决面积比例问题
重心定理：三角形三条中线的交点.
已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为.
注意：（1）在中，若为重心，则．
（2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等．
重心的向量表示：．
奔驰定理：，则、、的面积之比等于
奔驰定理证明：如图，令，即满足
，，，故.
21．点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】C
【分析】利用向量的平行四边形法则可知点在的中线上，且，从而可得，根据即可求解.
【详解】

因为，
所以，即，
取中点为点，
则，即，
所以在中线上，且
过，分别作边上的高，垂足为，
则，
所以，，
所以，
所以，
故选：C.
22．设点O是所在平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则O为的重心；
B．若，则O为的垂心；
C．若，则为等边三角形；
D．若，则△BOC与△ABC的面积之比为．
【答案】B
【分析】利用向量数乘运算和三角形重心定义判断选项A；利用向量数量积运算和三角形垂心定义判断选项B；利用向量数量积运算和等边三角形定义判断选项C；求得△BOC与△ABC的面积之比判断选项D.
【详解】对于A，如图，取边中点，连接边上的中线，则，
又∵，∴，∴，
∴为的重心，故选项A正确；

对于B，如图，取边中点，边中点，连接，，
则，，
∵，
∴，
∴，∴，，
∴，，
∴，分别是，边上的垂直平分线，
∴，为的外心，故选项B错误；

对于C，作角的内角平分线与边交于点，
∵为方向的单位向量，为方向的单位向量，
∴（），
∴（），
∴，∴，∴，为等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴为等边三角形，故选项C正确；

对于D，设，，
由，得，
则由选项A可知，为的重心，设的面积，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故选项D正确．

故选：B
23．已知为所在平面内的一点，且，则下列说法正确的是（ ）
A．若且，则
B．
C．与的面积之比为
D．与的面积之比为
【答案】ABD
【分析】对于A，由条件，求出，再开方可得，即可判断；对于B，由，通过向量的线性运算可得，即可判断；对于C，由，可得，即可判断；对于D，由，可得，，则得，即可判断.
【详解】若且，则，
则，
所以，故A正确；
因为，
所以，故B正确；
因为，所以，故C错误；
因为，所以，，所以，故D正确．
故选：ABD．
24．的内角，，的对边分别为，，，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，，则的外接圆半径
【答案】ABD
【分析】根据重心的性质及平面向量线性运算法则判断A；利用向量加法的平行四边形法则，结合平行关系探讨面积判断B；利用正弦定理、余弦定理计算判断C；利用和差角的余弦公式、结合正弦定理计算判断D.
【详解】对于A，如图设为的中点，点为的重心，

则，即，即，A正确；
对于B，令，则，
由平行四边形法则得，，则，同理，
所以的面积是的面积的2倍，B正确；
对于C，由，得，整理得，
由余弦定理得，整理得，则是直角三角形，C错误；
对于D，由，得，由，得，
即，
，
由正弦定理，得，
即，解得，D正确.
故选：ABD
25．的内角的对边分别为，其外接圆半径为，下列结论正确的有（ ）
A．若是的重心，且，则
B．是所在平面内一点，若，则的面积是的面积的2倍
C．若，则是等腰三角形
D．若，则的外接圆半径
【答案】ABD
【分析】利用三角形重心的向量表示，结合余弦定理计算判断A；利用向量加法的平行四边形法则，结合平行关系探讨面积判断B；利用正弦定理、余弦定理计算判断C；利用和差角的余弦公式、结合正弦定理计算判断D.
【详解】对于A，由是的重心，得，又，
则，由余弦定理得，于是，A正确；
对于B，令，则，由平行四边形法则得，
，则，同理，B正确；
对于C，由，得，整理得，
由余弦定理得，整理得，则是直角三角形，C错误；
对于D，由，得，由，
得，即，
，
由正弦定理，得，
即，解得，D正确.
故选：ABD
26．下列说法中正确的是（ ）
A．在中，，，，若，则为锐角三角形
B．已知点是平面上的一个定点，并且，，是平面上不共线的三个点，动点满足，则点的轨迹一定通过的内心
C．已知，，与的夹角为锐角，实数的取值范围是
D．在中，若，则与的面积之比为
【答案】BD
【分析】利用向量的数量积的定义得到角C为钝角，从而否定A；利用单位向量的定义与加法的平行四边形法则判断与的角平分线的关系，从而判断C；注意到与同向的情况，可否定C；利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到的比例，从而利用比例的性质与三角形面积的特点判定D.
【详解】对于A，因为，即，所以，则为钝角，故A错误；
对于B， 因为、分别表示向量、方向上的单位向量，
所以的方向与的角平分线重合，
又，可得，
又，所以向量的方向与的角平分线重合，
所以点的轨迹一定通过的内心，故B正确；
对于C ，因为，，所以，
当时，，此时与同向，夹角不是锐角，故C错误；
对于D，因为，所以，
延长交于，如图所示.

因为共线，所以存在实数，，
因为共线，所以，所以，
所以，所以，所以，
所以，则，故D正确.
故选：BD.
27．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是等腰三角形
B．若，，则为等边三角形
C．若点是边上的点，且，则的面积是面积的
D．若分别是边中点，点是线段上的动点，且满足，则的最大值为
【答案】ABD
【分析】
由单位向量，向量垂直判断A,由夹角公式及模长判断B,由平面向量基本定理确定M位置判断C, 由三点共线及平面向量基本定理将表示为t的二次函数求最大值判断D.
【详解】
对A, 分别表示与 同向的单位向量，
由平面向量加法可知： 为 的平分线表示的向量，
由，可得 的平分线与垂直，
故是等腰三角形，故A正确；
对B, 由题意，,
则，，故，
又，则，即，
故为等边三角形，故B正确；
对C, 若点是边上的点，设，
则，即，
结合，知，则点是边上的靠近B的三等分点，
则的面积是面积的，故C错误；
对D，如图所示：

因为 在 上，即，， 三点共线，
设，
又因为，所以，
因为，则，，
令，
时， 取得最大值为．故D正确．
故选：ABD.
28．对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）
A．若，则
B．若，则符合条件的有两个
C．若点为所在平面内的动点，且，则点的轨迹经过的垂心
D．已知是内一点，若分别表示的面积，则
【答案】ACD
【分析】根据正弦定理及比例的性质判断A，根据正弦定理及大边对大角判断B，根据数量积的运算得垂直判断C，根据向量的运算得出比例关系判断D.
【详解】由正弦定理知，
所以可得，由可得，故A正确；
由正弦定理可知，即，解得，
又，所以，故只有一解，所以三角形一解，故B错误；
因为
，所以，所以点的轨迹经过的垂心，故C正确；
因为，所以，
设的中点分别为，如图，
则，即，所以，故D正确.
故选：ACD
29．若M是内一点，且满足，则与的面积之比为 ．
【答案】/
【分析】设为的中点，连接，则由题意可得为的中点，从而可求得结果.
【详解】设为的中点，连接，则
，
因为，所以，
所以为的中点，
所以，
所以,
故答案为：
30．已知在中，角所对的边分别为，若的面积，.
(1)求角的大小；
(2)若，且，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意结合面积公式得，代入正弦定理把角化成边变形即可.
（2）由可得，结合可得，由，结合向量加法法则变形分析得，继而可得答案.
【详解】（1），得，则，
，
由正弦定理将角化成边得，
移项得，两边同时除以得，
又，.
（2）因为，由（1）知，，
，，
，，
取中点为，连接，延长至点，使，
，，即，
可得，则.
考点04：平面向量之三角形四心问题
一、四心的概念介绍：
（1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1．
（2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等．
（3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
（4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直．
二、三角形四心与推论：
（1）是的重心：．
（2）是的内心：．
（3）是的外心：
．
（4）是的垂心：
．
【方法技巧与总结】
（1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上.
为的内心.
（2）外心：为的外心.
（3）垂心：为的垂心.
（4）重心：为的重心.
31．已知为三角形内一点，且满足和，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据数量积的运算律得到为的垂心，，，利用、得，，解得， 即可求解.
【详解】由题意可得，
所以，同理可得，，故为的垂心，
又，所以，即，
所以，同理.
由为的垂心，得，即，
可知，即．同理有，
即，可知，
即，相乘得，所以（负根舍去），
又，所以.
故选：B
32．已知，，，是平面上的4个定点，，，不共线，若点满足，其中，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】A
【分析】取线段的中点，则，依题可得，即可得答案.
【详解】取线段的中点，则.
动点满足：，，
则，即，所以，
又，所以三点共线，即点的轨迹是直线，
一定通过的重心.
故选：A.
33．已知，向量，，满足条件，．则 是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形
【答案】C
【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状.
【详解】如图，点是的中点，所以，
因为，即，即，
则点三点共线，且，所以点是的重心，
又，所以点是的外心，则，即，
所以，同理，则，

所以是等边三角形.
故选：C
34．已知点P在所在平面内，若，则点P是的（ ）
A．外心B．垂心C．重心D．内心
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义可得平分，平分，结合三角形内心定义判断即得.
【详解】在中，由，得，
即，由，同理得，
显然，即与不重合，否则，同理，
则，即，，
于是平分，同理平分，
所以点P是的内心.
故选：D
35．已知在中，为的垂心，是所在平面内一点，且，则以下正确的是 （ ）
A．点为的内心B．点为的外心
C．D．为等边三角形
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用向量数量积运算律，结合向量加减计算判断得解.
【详解】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件.
故选：B
36．设点O是所在平面内任意一点，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知点O不在的边上，则下列结论正确的是（ ）
A．若点O是的重心，则
B．若点O是的垂心，则
C．若，则点O是的外心
D．若O为的外心，H为的垂心，则
【答案】ACD
【分析】根据重心分中线长度为，结合向量的线性运算可判断A，根据垂心的性质及向量的线性运算判断B，根据向量的线性运算及数量积运算可得O到顶点距离相等即可判断C，根据垂心的性质利用数量积运算，化简可得垂直两个不共线向量，即可得解判断D.
【详解】取中点，如图，
因为点O是的重心，所以，故A正确；
因为点O是的垂心，所以，
故，故B错误；
因为，所以，
同理可得，所以，即为外心，故C正确；
如图，
因为 ，
所以，
两式相减可得，
同理可得，若，该平面向量同时垂直于，，显然不可能，所以，
即，故D正确.
故选：ACD
37．在中，有如下四个命题，其中正确的是（ ）
A．若，则为锐角三角形
B．内一点满足，则是的重心
C．若，则的形状为等腰三角形
D．若，则必为的垂心
【答案】BD
【分析】对于A，由可得角为锐角，对于B，由向量加法和共线及三角形重心概念判断，对于C，对转化为，再两边同平方即可判断，对于D，由向量运算性质和三角形垂心概念可判断
【详解】对A，由可得，所以，由此仅可得为锐角，但可能为钝角三角形，A错；
对B，设的中点为，由可得，
所以，所以G是的重心,B对；
对C，由可得，
两边同平方化简得，由此可得的形状为直角三角形，C错；
对D，由可得，即，故，所以，
所以点在边的高上，同理可得点 也在其它两边的高上，所以点为的垂心，D对.
故选：BD.
38．下列说法中，正确的是（ ）
A．若，则或
B．在平行四边形中，
C．在中，若，则是钝角三角形．
D．内有一点，满足，则点是三角形的重心
【答案】CD
【分析】A选项，举出反例；B选项，利用向量减法法则得到答案；C选项，根据条件得到为钝角，C正确；D选项，作出辅助线，利用向量基本定理得到，故点是三角形的重心.
【详解】A选项，若，满足，但不满足或，A错误；
B选项，在平行四边形中，，故B错误；
C选项，在中，若，则为钝角，故是钝角三角形，C正确；
D选项，取的中点，连接，
则，又，故，
则点是三角形的重心，D正确..
故选：CD
39．点O是平面上一定点，A，B，C是平面上的三个顶点，，分别是边AC，AB的对角.有以下四个命题：
①动点P满足，则的外心一定在满足条件的P点集合中；
②动点P满足，则的内心一定在满足条件的P点集合中；
③动点P满足，则的重心一定在满足条件的P点集合中；
④动点P满足，则的垂心一定在满足条件的P点集合中.其中正确命题的个数为 .
【答案】2
【分析】根据的外心、内心、重心、垂心分别是三边中垂线的交点、角平分线的交点、中线的交点、高的交点，这些几何特征与向量建立联系，进而判断每个命题的正误.
【详解】①当动点P满足时，
则点P是的重心，所以①不正确；
②显然在的角平分线上，而与的平分线所在向量共线，
所以的内心一定在满足条件的点P集合中，因此②正确；
③变形为，
而，表示点A到边的距离，设为，
所以，而表示边的中线向量，
所以表示边的中线向量，
因此的重心一定在满足条件的P点集合中，所以③正确；
④当时，的垂心与点A重合，但显然此时垂心点P不满足公式，所以④不正确；
故答案为：2.
40．中，角A，B，C对边分别为a，b，c，点P是所在平面内的动点，满足.射线BP与边AC交于点D.若，则面积的最小值为 .
【答案】
【分析】首先根据向量的几何意义，确定是的角平分线，再根据余弦定理，以及三角形的面积公式和基本不等式，求得 最小值，即可求解.
【详解】表示与方向相同的单位向量，表示与方向相同的单位向量，
根据向量加法的几何意义可知，点在的角平分线上，即是的角平分线，
由，得，，所以，
依题意，
根据三角形的面积公式有，
整理得，所以，即，当且仅当时等号成立，
所以面积的最小值为.
故答案为：
考点05：极化恒等式解决向量数量积问题
（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ，则，
①
②
①②两式相加得：
（2）极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
①平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
②三角形模式：（M为BD的中点）
A
B
C
M
41．在平行四边形ABCD中，，，，点P在CD边上，，则（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据题意结合数量积的几何意义可得点P与点D重合，再利用余弦定理求出，结合勾股定理逆定理可得，从而可求得答案.
【详解】由，得在上的投影向量的模，
因为，，
所以在上的投影为，
所以如图1，得，点P与点D重合，
因为，，，
所以，
所以，
所以，
所以，
故选：A.
42．窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案.
【详解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值，
延长交的延长线于点，
的最大值为，
其中正八边形的外角为，故，
故，，
故，
所以最大值为.
故选：B
43．已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果.
【详解】因为，
如图，取中点，又，所以，即，
结合平面向量数量积的几何意义，又，得到，
故选：B.
44．在中，已知，，若点为的外心，点满足的点，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】D
【分析】根据几何关系，转化向量，再计算数量积，结合数量积的几何意义，求数量积的值.
【详解】，
,
，
，
，
.
故选：D
45．已知在边长为2的菱形中，，点满足，则 .
【答案】
【分析】根据相似比可得，即可利用数量积的几何意义求解.
【详解】如图，设与交于点，过点作的平行线交于点.因为，
所以，所以，
因为四边形是边长为2的菱形，，
所以，且，所以在上的投影向量为，
所以.
故答案为：

46．已知复数在复平面内对应的点为，且满足，为原点，，求的取值范围 ．
【答案】
【分析】分析可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），注意到三点共线，结合数量积的几何意义分析求解.
【详解】由题意可知：在复平面内对应的点为，
因为，，
可知点的轨迹为以为圆心，半径为2的圆面内（包括边界），
因为，即，可知三点共线，
且，
设在方向上的投影向量为，则，
可得，
所以的取值范围为.
故答案为：.
47．如图，在梯形中，.点在阴影区域（含边界）中运动，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】求出和，根据数量积的几何意义，分析在上的投影向量即可得解.
【详解】作，垂足为F，记的中点为E，
由可知，梯形为等腰梯形，，
所以，，则，
所以，，
所以，
由数量积的几何意义可知，受在上的投影影响，
由图可知，当点P在BC上时，在上的投影向量为，数量积取得最小值，
当点P与点D重合时，在上的投影向量为，数量积取得最大值.
所以，即.
故答案为：
48．如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，则的最大值为 ．

【答案】9
【分析】在上的投影向量是，由向量数量积的几何意义，，求的最大值即可
【详解】如图，过向作垂线，垂足为，则在上的投影向量是，
在上的投影向量可能与同向，也可能与反向，
在本题中与的夹角为锐角，所以是同向的，
由向量数量积的几何意义，．
由等边三角形边长为3，，得，即半圆的直径为2，
过点作直线的垂线，与直线的夹角为，，
则圆心到直线的距离为1，所以直线与圆相切，
记切点为，当点在半圆上运动到与重合时，，最大，
取最大值，最大值为．
故答案为：9.
49．如图，在△ABC中，，，，则 ．
【答案】
【分析】由得，再利用平面向量加法运算结合数量积运算求得结果.
【详解】由,可知，
,则
故答案为：．
50．如图，已知网格小正方形的边长为1，点是阴影区域内的一个动点（包括边界），O，A在格点上，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量数量积的几何意义求解.
【详解】，
即的等于与在方向上的投影的乘积，
，结合图形可知，
所以的取值范围为.
故答案为：.
考点06：等和线解决平面向量系数和问题
题型一：问题（系数为1）
题型二：问题（系数不为1）
题型三：问题
（1）平面向量共线定理
已知，若，则三点共线；反之亦然。
（2）等和线
平面内一组基底及任一向量，，若点在直线上或者在平行于的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线以及与直线平行的直线称为等和线。
①当等和线恰为直线时，；
②当等和线在点和直线之间时，；
③当直线在点和等和线之间时，；
④当等和线过点时，；
⑤若两等和线关于点对称，则定值互为相反数；
51．如图，在中，若为上一点，且满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用将用表示，由共线定理推论即可求得.
【详解】因为所以
由,
因三点共线，由共线定理推论可得，解得
故选：A.
52．如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．15
【答案】B
【分析】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【详解】由题可设，
则由题意得，
因为、、三点共线，故，
所以，
所以，
又、、三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
53．如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平面向量共线的推论直接计算即可.
【详解】由题意可知，，所以，
又，即.
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
54．的重心为O，过点O的直线与AB，BC所在直线交于点E，F，若，（），则xy的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】C
【分析】利用向量线性运算，结合三角形重心的性质及共线向量定理的推论得，再利用基本不等式求解即得.
【详解】由O为的重心，得延长线必过的中点，
则，由，，得，，
即，又E，O，F三点共线，因此，
即，又，则，
即，当且仅当时取等号，
则xy的最小值是.
故选：C
55．在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可.
【详解】因为，所以，即，
又，所以，
因为点是线段上一点，即、、三点共线，
所以，解得.
故选：B
56．已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解.
【详解】，，且，
而三点共线，，即，
，
所以.
故选：A.
57．已知□ABCD中，点P在对角线AC上（不包括端点A，C），点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），若，，记的最小值为m，的最小值为n，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【分析】由四边形ABCD为平行四边形，得及且，再通过二次函数求最小值；由及点Q在对角线BD上，得，再通过基本不等式求最小值.
【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以，
又点P在对角线AC上（不包括端点A，C），所以且，
则，当时，．
同理，因为点Q在对角线BD上（不包括端点B，D），
所以且，，
则，
当且仅当，时取得等号，所以．
故选：A．
58．如图，在三角形中，M、N分别是边、的中点，点R在直线上，且（x，），则代数式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合共线向量定理的推论可得，再消元借助二次函数求出最小值.
【详解】由M、N分别是边、的中点，得，而，
于是，又点R在直线上，因此，即，
则，
所以当时，取得最小值.
故选：C
59．如图所示，是的中点，是平行四边形内（含边界）的一点，且，则当时，的范围是 .
【答案】
【分析】过作，交于，作，交的延长线于，则，由，可得则点为中点，点在上，结合图象可求的范围.
【详解】如图，过作，交于，作，交的延长线于，
则：，
又因为，，则点为中点，
又是的中点，所以，则点在上，
由图形看出，当与重合时：，此时取最小值，
当与重合时：，此时取最大值，
所以的范围是
故答案为：
60．如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ．
【答案】
【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答.
【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则，
而，于是得，
又点M，O，N共线，
因此，，即，又，解得，
所以.
故答案为：