2025年高考数学第一轮复习考点巩固考点巩固卷11复数(五大考点)(原卷版+解析)

这是一份2025年高考数学第一轮复习考点巩固考点巩固卷11复数(五大考点)(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了虚数z满足，则z的虚部为，复数z满足，若复数满足，已知复数满足，则，若，则，复数，则的虚部为 等内容，欢迎下载使用。

考点01：复数与复平面内点的关系
复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义．
复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．
设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．
复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
1．当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
2．已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
4．虚数z满足，则z的虚部为（ ）
A．1B．C．2D．
5．复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
6．在复平面内，复数对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为B．复数对应的点在第一象限
C．当时，复数为纯虚数D．向量对应的复数为
7．若复数满足：（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部是B．
C．D．
8．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为B．
C．为纯虚数D．在复平面内对应的点在第四象限
9．若，则（ ）
A．
B．的虚部为8
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
10．复数，则的虚部为 ．
考点02：复数模及几何意义
复数复平面内的点
复数平面向量
11．已知复数，则下列选项正确的是（ ）．
A．若z为纯虚数﹐则或
B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则
C．若，则
D．若，则
12．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．存在实数，使得为实数
C．若为纯虚数，则D．
13．已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ）
A．
B．若，则，中至少有个是
C．满足的点形成的图形的面积为
D．若，则的最小值为
14．已知复数，则（ ）
A．的实部为B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点位于第一象限
15．已知复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则
16．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．若，则的最大值为
D．若是关于的方程的一个根，则
17．若复数是方程的两根，则（ ）
A．虚部不同B．在复平面内所对应的点关于实轴对称
C．D．在复平面内所对应的点位于第三象限
18．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为4
C．当时，则D．当时，则
19．已知复数，，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．为纯虚数
2 0．设，为复数，下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．若，则D．若是实数，则为纯虚数
考点03：复数相等的充要条件
复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
21．设，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
22．设，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．5
23．已知复数，的模长为1，且，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
24．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
25．已知，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则至少有1个为0
D．若是两个虚数，，，则为共轭复数
26．若，则下列结论正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若，则
C．若，则
D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则
27．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．是关于的方程的一个根，则
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
28．设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
29．已知，且，则 ．
30．已知复数满足，则的最大值为 ．
考点04：复数代数形式的除法运算
设，（），我们规定：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
31．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
32．已知，，则（ ）
A．B．C．2D．
33．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
34．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ．
35．已知复数,,如果为纯虚数,那么 .
36．已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， .
37．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．
(1)若，求；
(2)若，求．
38．解答下列各题：
(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．
39．已知复数是方程的解，
(1)求；
(2)若，且（，为虚数单位），求．
40．已知复数，，其中a是正实数．
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求a的值．
考点05：在复数范围内解方程
复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
注意：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
41．关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
42．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若是关于的方程的根，则
43．已知是虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则
B．若复数满足，则复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上
C．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
D．若是关于的方程的一个根，其中，为实数，则
44．已知是方程在复数范围内的根，则 ．
45．若虚数i是方程的一个根，则 .
46．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则 .
47．已知复数分别为方程的两根，则 .
48．设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足.
(1)若，求与的值；
(2)若，求的值.
49．已知关于的实系数一元二次方程的两根为.
(1)若为虚数，，且，求和的值；
(2)若，求的值.
50．（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值；
（2）在复数范围内，解方程：
考点巩固卷11 复数（五大考点）
考点01：复数与复平面内点的关系
复数集与复平面内点的对应关系
按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．
复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即
复数复平面内的点
这是复数的一种几何意义．
复数集与复平面中的向量的对应关系
在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数．
设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定．
复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即
复数平面向量
1．当时，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】先化简复数，再根据参数范围分别判断实部和虚部范围进而判断点的象限即可.
【详解】因为,且,
所以,
则复数在复平面上对应的点位于第一象限.
故选：A.
2．已知复数的实部为的虚部为，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】由复数的除法得到，从而得到实部的值，由复数的乘法得到，从而得到虚部的值，从而得到，得到对应的点，得到所在象限.
【详解】，所以，所以，
其在复平面内的对应点为，位于第一象限．
故选：A．
3．已知复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由复数的四则运算法则化简求出，再由共轭复数的定义，复数的概念，即可得到所求．
【详解】，，
，，
，
的共轭复数的虚部为，
故选：．
4．虚数z满足，则z的虚部为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据复数相等可得①，②，即可将选项中的值代入验证.或者利用因式分解求解。
【详解】解法一：设复数,
则，化简得，
故，即①，②
此时，对于选项中的值，代入：
若，则，符合要求，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
若，由②得，但不符合①，故舍去，
综上可得
故选：A
解法二：由可得，
故，故或，
由于为虚数，故，
故虚部为1，
故选：A
5．复数z满足（为虚数单位），则复数z的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由复数除法运算法则求出复数z即可得复数z的虚部.
【详解】由题，
故复数z的虚部为.
故选：B.
6．在复平面内，复数对应的向量为，其中是原点，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为B．复数对应的点在第一象限
C．当时，复数为纯虚数D．向量对应的复数为
【答案】BC
【分析】选项A，利用复数的定义可知选项A错误；利用复数的几何意义，即可判断出选项B和D的正误；选项C，利用复数的运算，即可判断出选项C的正误.
【详解】对于选项A，因为，所以复数的虚部为，故选项A错误，
对于选项B，因为，所以，故复数对应的点为，在第一象限，所以选项B正确，
对于选项C，因为，又，所以，故选项C正确，
对于选项D，因为，所以，
得到向量对应的复数为，所以选项D错误，
故选：BC.
7．若复数满足：（其中是虚数单位），复数的共轭复数为，则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部是B．
C．D．
【答案】CD
【分析】利用复数的运算性质，即可作出判断.
【详解】由得：，
所以的虚部是，故A是错误的；
由，故B是错误的；
由，故C是正确的；
由，故D是正确的；
故选：CD.
8．已知复数满足，则（ ）
A．的虚部为B．
C．为纯虚数D．在复平面内对应的点在第四象限
【答案】AD
【分析】根据复数的运算法则，化简复数为，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】由复数，可得，
对于A中，由的虚部为，所以A正确；
对于B中，由，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得不是纯虚数，所以C错误；
对于D中，由在复平面内对应的点为位于第四象限，所以D正确.
故选：AD.
9．若，则（ ）
A．
B．的虚部为8
C．
D．在复平面内对应的点位于第二象限
【答案】BC
【分析】根据化简复数得，即可由模长公式求解A，根据复数的乘方可得，根据虚部的概念即可求解B，根据复数的除法运算即可求解C，根据复数对应的点为即可求解D.
【详解】，故，A错误.
，B正确.
，C正确.
在复平面内对应的点位于第四象限，D错误.
故选：BC
10．复数，则的虚部为 ．
【答案】/-2.2
【分析】由复数的除法化简，再由复数虚部的定义得解.
【详解】复数，则，此复数的虚部为.
故答案为：
考点02：复数模及几何意义
复数复平面内的点
复数平面向量
11．已知复数，则下列选项正确的是（ ）．
A．若z为纯虚数﹐则或
B．若z在复平面内对应的点位于第二象限，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BD
【分析】根据纯虚数特征求参判断A选项；根据复数的象限判断实部虚部范围解不等式判断B选项，应用模长公式计算判断C选项，应用共轭复数判断D选项.
【详解】若z为纯虚数，则，所以，故A不正确；
若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，所以，故B正确；
若，则，所以，故C不正确；
若，则，所以，故D正确．
故选：BD.
12．已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．存在实数，使得为实数
C．若为纯虚数，则D．
【答案】AC
【分析】根据复数的模长计算判断A选项，应用实数和纯虚数定义判断B,C选项，根据模长及乘方运算判断D选项.
【详解】因为所以，A正确；
因为,无实数解，B选项错误；
因为为纯虚数，则，即，C选项正确；
当时，，
则，D选项错误.
故选：AC.
13．已知，且复平面内对应的点为，则下面说法正确的有（ ）
A．
B．若，则，中至少有个是
C．满足的点形成的图形的面积为
D．若，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】设复数，对于A，分别计算即可；对于B，根据可得即可判断；对于C，由可得即可判断；对于D，由得，并计算即可计算最小值.
【详解】设复数，
对于A，，则 ，
所以，
而，故A正确；
对于B，若，
则，即，则或，
则或，则，中至少有个是，故B正确；
对于C，，
所以，所以点形成的图形面积为，故C错误；
对于D，因为，所以，
且，
所以
，且
所以，
所以最小值为，故D正确.
故选：ABD.
14．已知复数，则（ ）
A．的实部为B．的虚部为
C．D．在复平面内对应的点位于第一象限
【答案】AC
【分析】复数除法化简的，再根据复数的实部、虚部、模和共轭复数的几何意义判断各个选项；
【详解】由题意得，所以的实部为，虚部为，故A正确B错误；
在复平面内对应的点位于第四象限．故C正确D错误；
故选：AC.
15．已知复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】举反例排除AD，设，根据复数的运算性质和求模长的公式判断BC，从而得解.
【详解】A选项，令，则，但不满足，A错误；
B选项，设，则，
，B正确；
选项，设，则，则，C正确；
选项，令，则，但不满足D错误.
故选：BC.
16．已知是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．若，则复平面内对应的点位于第二象限
C．若，则的最大值为
D．若是关于的方程的一个根，则
【答案】BCD
【分析】设出复数的代数形式计算判断A；利用复数的几何意义判断B；求出复数判断C；利用复数相等求出判断D.
【详解】对于A，设，则，，A错误；
对于B，，则复平面内对应的点位于第二象限，B正确；
对于C，由知，在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，可看作该单位圆上的点到点的距离，则距离最大值为，C正确；
对于D，依题意，，整理得，
而，因此，解得，D正确．
故选：BCD
17．若复数是方程的两根，则（ ）
A．虚部不同B．在复平面内所对应的点关于实轴对称
C．D．在复平面内所对应的点位于第三象限
【答案】ABC
【分析】利用一元二次方程的虚根是共轭，并加以计算，就可以判断各选项.
【详解】由方程的求根公式可得：，
故A正确；
由在复平面内所对应的点分别为，显然关于实轴对称，故B正确；
由，故C正确；
由，它对应的点位于第一象限，故D错误；
故选：ABC．
18．已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为B．的最小值为4
C．当时，则D．当时，则
【答案】AD
【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项.
【详解】设在复平面内的对应点分别为，
由得，所以在直线上.
由得，所以在圆上.
如图所示：
对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故A正确；
对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离，
所以的最小值为，故B错误；
对于CD：因为是方程在复数范围内的两根，
所以.
若，即或，此时，
由得或，
∴当或时，；
当时，，故C错误；
若，即，此时，为一对共轭虚根，
，故D正确.
故选：AD.
19．已知复数，，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．D．为纯虚数
【答案】ABC
【分析】根据复数除法运算可得，即可判断A，根据复数的减法运算以及几何意义可判断B，根据模长公式可判断C，根据乘法运算，结合纯虚数定义可判断D.
【详解】,故A正确，
，对应的点为，故B正确，
，故，C正确，
，不为纯虚数，故D错误，
故选：ABC
20．设，为复数，下列说法正确的是（ ）．
A．B．
C．若，则D．若是实数，则为纯虚数
【答案】BC
【分析】对于AD：举反例说明即可；对于B：根据乘法运算结合模长公式分析判断；对于C：根据共轭复数的定义结合模长公式分析判断.
【详解】设，，
对于选项A：例如，则，两者不相等，故A错误；
对于选项B：因为，且，
则，
即，故B正确；
对于选项C：若，则，
所以，故C正确；
对于选项D：例如是实数，则也为实数，故D错误；
故选：BC.
考点03：复数相等的充要条件
复数相等的充要条件
两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即：
如果，那么
特别地：．
（1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样．
根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）．
（2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小．
21．设，其中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用复数相等求参数，再根据共轭复数的的形式，即可求解.
【详解】因为，所以，所以，
所以，故．
故选：D
22．设，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．1D．5
【答案】A
【分析】根据给定条件，结合复数乘法运算及复数相等求解即得.
【详解】由，得，而，因此，
所以.
故选：A
23．已知复数，的模长为1，且，则的值是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，分别计算，，，，由可得，即可求得，，即可求解.
【详解】设，，
则，，
所以，
，
因为，，所以，，
因为，所以，所以，
即，所以，
所以，，
所以.
故选：.
24．已知复数，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用复数相等可得和三角函数的平方关系可得，再根据正弦函数的取值范围与二次函数的性质可得的取值范围.
【详解】复数，且，
所以，则
因为，所以，当时，，当时，
所以的取值范围是.
故选：B.
25．已知，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．若，则至少有1个为0
D．若是两个虚数，，，则为共轭复数
【答案】BCD
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据除法运算结合共轭复数概念分析判断；对于C：根据复数乘法结合复数相等分析判断；对于D：根据复数的四则运算结合复数的相关概念分析判断.
【详解】设，
对于选项A：例如，则，
显然，故A错误；
对于选项B：因为，
则，
可得；
又因为，
可得，
所以，故B正确；
对于选项C：因为，
可得，解得或，
即或，所以至少有1个为0，故C正确；
对于选项D：若是两个虚数，则，
因为，则，即，
又因为，
则，即，可得，
所以，即为共轭复数，故D正确；
故选：BCD.
26．若，则下列结论正确的是（ ）
A．若为实数，则
B．若，则
C．若，则
D．若在复平面内对应的点位于第一象限，则
【答案】AC
【分析】根据复数的概念、共轭复数的概念、复数的模长公式、复数相等以及复数的乘除法运算逐个选项判断可得答案.
【详解】若为实数，则虚部为，即，故A正确；
若，则，
则，解得，故B错误；
若，则，解得，
则，，故C正确；
若在复平面内对应的点位于第一象限，则，
解得，故D错误.
故选：AC.
27．已知是虚数单位，则下列说法正确的有（ ）
A．是关于的方程的一个根，则
B．“”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件
C．若复数，且，则
D．若复数满足，则复数的虚部为
【答案】BD
【分析】将代入方程，化简后利用复数相等列式求解即可判断A；根据纯虚数的定义及充分性和必要性得定义即可判断B；根据复数的模的计算求出，即可判断C；设复数，根据复数的加法运算及复数相等的条件即可求出复数，即可判断D.
【详解】对于A，因为是关于的方程的一个根，所以，
即，所以，解得，故A错误；
对于B，当时，若，复数是实数，不是虚数，更不是纯虚数，故充分性不成立；
当是纯虚数，则且，故必要性成立，故正确；
对于C，若复数，则，解得，故C错误；
对于D，设复数，则，
所以，故，所以复数的虚部为，故D正确.
故选：BD.
28．设为虚数单位．若集合，，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，利用集合的包含关系，列出方程组，即可求解.
【详解】由集合，，因为，
当时，此时，方程组无解；
当时，此时，解得，
综上可得，实数的值为.
故答案为：.
29．已知，且，则 ．
【答案】1
【分析】根据复数的乘、除法运算和相等复数建立关于a的方程，解之即可.
【详解】，
所以，解得.
故答案为：1
30．已知复数满足，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】设出的代数形式，利用复数相等求出，再借助复数的几何意义求解即得.
【详解】设复数，由，得，
整理得，于是，即，，
由，得复平面内表示复数的对应点在以表示复数的对应点为圆心，1为半径的圆上，
表示这个圆上的点到表示复数的对应点的距离，
距离的最大值是.
故答案为：
考点04：复数代数形式的除法运算
设，（），我们规定：
（1）两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把换成，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．
（2）在进行复数除法运算时，通常先把除式写成分式的形式，再把分子与分母都乘以分母的共轭复数（分母实数化），化简后写成代数形式．
31．已知为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（ ）
A．－3B．－1C．1D．3
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算，求得的实部和虚部，解方程即可求得答案.
【详解】由题意可得，
故，解得 ，
故选：A
32．已知，，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】将化为，根据复数的相等，求得，求得答案.
【详解】由可得，
即，故 ，
故，
故选：A
33．已知是虚数单位，若复数的实部是虚部的2倍，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算求得复数的实部和虚部，由题意列式，求得答案.
【详解】，所以，
解得，
故选：B.
34．已知是复数的虚数单位，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】计算出，从而求出，以及的值.
【详解】因为，
所以，，
所以，
故答案为：.
35．已知复数,,如果为纯虚数,那么 .
【答案】
【分析】根据为纯虚数,进行化简,使实部为0,求出a即可.
【详解】解:由题知,,
,
为纯虚数,
,
.
故答案为:
36．已知，复数（i是虚数单位），若，则 ， .
【答案】
【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，利用求出，利用模长公式求出模长即可.
【详解】，
因为，故，得，
故.
故答案为：；.
37．在复平面内，复数对应的点在第四象限，设．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可；
（2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解.
【详解】（1）设，
由，得，
即，整理得，
因为，即，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）结合，
可得，所以，
所以.
38．解答下列各题：
(1)已知z是复数，为实数，为纯虚数（i为虚数单位），求复数z；
(2)已知复数，实数为何值时，复数表示的点位于第四象限．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设复数，根据为实数求得，再由为纯虚数求得.
（2）由复数表示的点位于第四象限列出不等式组求解即可.
【详解】（1）（1）设复数，
因为为实数，所以，则复数，
又因为为纯虚数，
则，得，
所以复数．
（2），
由复数表示的点位于第四象限，可得，解得，
当时，复数在复平面内对应的点在第四象限，
∴m的取值范围为.
39．已知复数是方程的解，
(1)求；
(2)若，且（，为虚数单位），求．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）解出方程即可求解；
（2）由，可得，再结合条件求出，，进而求解.
【详解】（1）由，即，
可得，解得，
即
（2）由（1）知，，
因为，所以，，
所以，
所以，解得，，
所以.
40．已知复数，，其中a是正实数．
(1)若，求实数a的值；
(2)若是纯虚数，求a的值．
【答案】(1)2(2)2
【分析】（1）根据复数的定义及复数的运算法则构建关于的方程组，求解的值；
（2）根据复数的除法运算求解，利用复数的定义，构建关于的方程组，求解的值；
【详解】（1）解：∵，，，
∴，从而，解得，
所以实数a的值为2．
（2）依题意得：，
因为是纯虚数，所以：，解得：或；
又因为a是正实数，所以a＝2．
考点05：在复数范围内解方程
复数范围内解方程的一般思路是：依据题意设出方程的根，代入方程，利用复数相等的充要条件求解．对于一元二次方程，也可以利用求根公式求解，要注意在复数范围内负数是能开方的，此外，根与系数的关系也是成立的．注意求方程中参数的取值时，不能利用判别式求解．
注意：由于虚数单位的特殊性，不能用判别式判断复系数一元二次方程有无实数根．
41．关于的方程 在复数范围内的根是，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】首先利用实系数一元二次方程的求根公式求解，再根据复数的运算判断选项.
【详解】由求根公式可知，不妨取，，（本题与的顺序无关），
，所以，且，故BD正确；
，故A正确；
由A可知，，，所以，故C错误.
故选：ABD
42．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．若是关于的方程的根，则
【答案】ACD
【分析】对于A，利用利用复数的乘方运算求解判断，对于B，举例判断，对于C，通过计算判断，对于D，利用根与系数的关系求解.
【详解】对于A，，所以A正确，
对于B，若，则满足，而两个复数不能比较大小，所以B错误，
对于C，，则，，
所以，所以C正确，
对于D，因为是关于的方程的根，
所以是关于的方程的另一个根，
所以，得，所以D正确，
故选：ACD
43．已知是虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若，互为共轭复数，则
B．若复数满足，则复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上
C．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为
D．若是关于的方程的一个根，其中，为实数，则
【答案】ACD
【分析】根据复数的相关概念及复数的运算直接可判断各选项.
【详解】A：设，则，则，A正确；
B：设复数，则其对应的点为，，
所以，即，
所以复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上，B错误；
C：由已知，，
则，对应的复数为，C正确；
D：易知方程的两个根互为共轭复数，
设分别为与，又，
则，且，所以，D正确；
故选：ACD.
44．已知是方程在复数范围内的根，则 ．
【答案】
【分析】求出复数根，后求模即可.
【详解】方程解得，得.
故答案为：.
45．若虚数i是方程的一个根，则 .
【答案】1
【分析】把i代入方程，化简方程，利用相等复数的概念得到p、q的值，即可求解.
【详解】因为i是方程的一个根，
所以，即，
得，解得，
所以.
故答案为：1
46．若关于x的实系数方程有两实部为1的共轭虚根，则 .
【答案】
【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合判别式、根与系数关系、复数与其共轭复数和的关系，可以求出结果.
【详解】因为关于的实系数一元二次方程有两实部为1的共轭虚根，
所以方程的判别式小于零，即，
即，
解得：或
由已知两根是互为共轭的虚根，设为，而由题意可知：
由根与系数的关系可得：，解得.
舍去，满足题意.
故答案为：.
47．已知复数分别为方程的两根，则 .
【答案】
【分析】由题意可得，则，再结合根与系数的关系可求得结果.
【详解】因为分别为方程的两根，
所以，，
所以.
故答案为：
48．设是虚数单位，是关于的方程的两根，且满足.
(1)若，求与的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）由，及，得，即可求解；
（2）当时，则是关于的方程的两根，则，进行分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：由，得，
而，得，
因为是关于的方程的两根，
所以，
得，由，得，
得，则；
（2）当时，则是关于的方程的两根，
则，
当时，则，不满足，
当时，得
得，
由得，
得，
得，
得，
当时，不成立，当时，得，
当时，得，
不妨记，
由得，
得，
故的值为：或
49．已知关于的实系数一元二次方程的两根为.
(1)若为虚数，，且，求和的值；
(2)若，求的值.
【答案】(1)， (2)或.
【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解；
（2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果.
【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为，
可得，即，
设，由，解得，
所以，；
（2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为，
①若方程有两个实根，则，可得，且，
则，解得；
②若方程有两个虚根，则，可得，
设，不妨设，可得，解得，
所以.
综上可得，实数的值为或.
法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为，
则，
，
解得或.
50．（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值；
（2）在复数范围内，解方程：．
【答案】（1）或（2）或
【分析】（1）根据复数模的运算即可求解；
（2）先求出根的判别式，再由求根公式即可求解
【详解】（1）因为，所以，
所以或；
（2）因为，
所以方程的根为，
即或